Ισότητα-Συνδυαστική

Mathletic · #1

Γειά

Θέλω να δείξω ότι $\sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} , n,r \in \mathbb{N}$ .

$\sum_{k=0}^r C(n+k,k)= \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k}=\sum_{k=0}^r \frac{(n+k)!}{k! n!}=\\ \frac{n!}{n!}+ \frac{(n+1)!}{n!}+ \frac{(n+2)!}{2! n!}+ \frac{(n+3)!}{3! n!}+ \dots +\frac{(n+r)!}{r!n!}= n! \left ( \frac{1}{n!}+ \frac{(n+1)}{n!}+ \frac{(n+1)(n+2)}{2!n!}+ \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3!n!}+ \dots + \frac{(n+1)(n+2) \cdots (n+r)}{r!n!}\right ) = \left ( 1+(n+1)+\frac{(n+1)(n+2)}{2!}+ \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3!}+ \dots + \frac{(n+1)(n+2) \cdots (n+r)}{r!}\right)$

Πώς μπορώ να συνεχίσω;

ealexiou · #2

Δοκίμασε με βάση τις σχέσεις $\begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n+1\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}n+2 \\1\end{pmatrix}$ και γενικά $\begin{pmatrix}n+r \\r-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n+r\\r\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}n+r+1 \\r\end{pmatrix}$
οι οποίες αποδεικνύονται εύκολα, αν δεν θεωρείται δεδομένο, και κάποια επαγωγή πιθανόν...
και μάλλον θα σου βγει η απόδειξη της ισότητας.

#3

Mathletic έγραψε:Γειά

Θέλω να δείξω ότι $\sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} , n,r \in \mathbb{N}$ .

Αν ξέρεις τι είναι το τρίγωνο Pascal και ποια είναι η βασική του ιδιότητα, δεν θα έχεις ΚΑΜΙΑ δυσκολία να απαντήσεις μόνος σου στο ερώτημα.

Το θέτω ως υπόδειξη:

$\displaystyle{\begin{matrix} .& .& . & \binom {1}{0} & . &\binom {1}{0} &. &.&. \\ \, . & .& \binom {2}{0}&.& \binom {2}{1} & .& \binom {2}{2}&.& . \\ . & \binom {3}{0} & . & \binom {3}{1} &. & \binom {3}{2} &. & \binom {3}{3}&.\\ \binom {4}{0} & . & \binom {4}{1} &. & \binom {4}{2} &. & \binom {4}{3}&.& \binom {4}{4} \end{matrix}}$

Σχεδίασε πάνω στο τρίγωνο το αποδεικτέο και θα δεις ότι η απόδειξη είναι τετριμμένη.

Π.χ. μία περίπτωση είναι η
$\displaystyle{ \binom {1}{0}+ \binom {2}{1} +\binom {3}{2}=\binom {4}{2}}$ . Πού βρίσκονται αυτοί οι αριθμοί στο τρίγωνο;

Ισότητα-Συνδυαστική

Ισότητα-Συνδυαστική

Re: Ισότητα-Συνδυαστική

Re: Ισότητα-Συνδυαστική

Μέλη σε σύνδεση