BOLZANO

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:R \to R}$ και ο πραγματικός $\displaystyle{c \in (0, + \infty )}$ .
Αν $\displaystyle{{f^2}(x) + {g^2}(x) = c}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ , τέτοιος ώστε:
$\displaystyle{\left| {f\left( {{x_0}} \right)} \right| = \sigma \upsilon \nu {x_0}\sqrt c }$ και $\displaystyle{\left| {g\left( {{x_0}} \right)} \right| = \eta \mu {x_0}\sqrt c }$

Φιλικά Χρήστος

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Έχουμε συνάρτηση $\displaystyle{ h\left( x \right) = \left( {\left| {f\left( x \right)} \right| - \sqrt c \sigma \upsilon \nu \chi } \right)^2 - \left( {\left| {g\left( x \right)} \right| - \sqrt c \eta \mu \chi } \right)^2 }$ για $\displaystyle{ x \in \Re }$
η h είναι συνεχής στο [0, π/2 ] ως άθροισμα συνεχών
και $\displaystyle{ h(0) = 2\left| {f\left( 0 \right)} \right|\left( {\left| {f\left( 0 \right)} \right| - \sqrt c } \right) < 0 }$
αφού (λίγο γρήγορα και όχι αυστηρά) $\displaystyle{ f^2 + g^2 = c \Leftrightarrow g^2 = c - f^2 > 0 \Leftrightarrow f^2 < c \Leftrightarrow \left| f \right| < \sqrt c }$

επίσης $\displaystyle{ h\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\left| {g\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right|\left( {\sqrt c - \left| {g\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right|} \right) > 0 }$
αφού $\displaystyle{ f^2 + g^2 = c \Leftrightarrow f^2 = c - g^2 > 0 \Leftrightarrow g^2 < c \Leftrightarrow \left| g \right| < \sqrt c }$
άρα η εξίσωση h(x)=0 έχει μια λύση στο (0, π/2) άρα και σε όλο το R. Οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ...

dr.tasos · #3

Συγνώμη εαν η ερώτηση μου είναι χαζή αλλά πως προκύπτει το ζητούμενο ;

maiksoul · #4

Μάλλον λόγω βιασύνης έγινε κάποια απροσεξεία . Οι κύριες σκέψεις είναι σωστές, δηλαδή : οι τιμές των δύο συναρτήσεων σε όλο τον άξονα των πραγματικών αριθμών υπακούουν.... σχεδόν.. στο περιορισμό που αναφέρεται καθώς και σε έναν ακόμα περιορισμό . Το ζητούμενο επιτυγχάνετα με χρήση ενός bolzano, σε μία από τις συναρτήσεις που υπονοούνται από τα ζητούμενα και στη συνέχεια χρησιμοποιόντας τον αριθμό που προκύπτει από το bolzano στην ΑΡΧΙΚΗ σχέση τετραγώνων προκύπτει ότι ο ΙΔΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ θα ικανοποιεί και τη δεύτερη ζητούμενη ισότητα.Θα έλεγα πως με την ποιο πάνω παρεμβαση αναδείχτηκε μια ενδιαφέρουσα άσκηση.

kochris · #5

Υποθέτω οτι ο κ. Χατζόπουλος ήθελε να γράψει την h(x) ως άθροισμα τετραγώνων και όχι ως διαφορά.

Λάμπρος Μπαλός · #6

Για την $h\left(x \right)=f^{2}(x)-cos^{2}x\cdot c$ με Bolzano στο $\left[0,\frac{\pi }{2} \right]$ δείχνουμε ότι υπάρχει ρίζα.

Δηλαδή $f^{2}(x_{0})=cos^{2}x_{0}\cdot c$ οπότε $c-g^{2}(x_{0})=(1-sin^{2}x_{0})c$

δηλαδή $c\cdot sin^{2}x_{0}=g^{2}(x_{0})$

Μάκης Χατζόπουλος · #7

dr.tasos έγραψε:Συγνώμη εαν η ερώτηση μου είναι χαζή αλλά πως προκύπτει το ζητούμενο ;

Τώρα το βλέπω και απορώ και εγώ τι έκανα...

kochris έγραψε:Υποθέτω οτι ο κ. Χατζόπουλος ήθελε να γράψει την h(x) ως άθροισμα τετραγώνων και όχι ως διαφορά.

Μάλλον στο μυαλό μου θα είχα άθροισμα τετραγώνων για την h(x)

όπως καλά σκέφτηκε ο Kochris, τότε θα ήταν μια χαρά το συμπέρασμα, όμως με άθροισμα δεν προκύπτει το Θεώρημα Bolzano

, άρα άκυρη η λύση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BOLZANO

BOLZANO

Re: BOLZANO

Re: BOLZANO

Re: BOLZANO

Re: BOLZANO

Re: BOLZANO

Re: BOLZANO

Μέλη σε σύνδεση