Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

chris · #1

Με αφορμή την εξίσωση D' Alembert και την ανισοτική σχέση από εδώ.

$\displaystyle{\rule{400pt}{1pt}}$

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle f\left( x+y \right)+f\left(x-y \right)=2f(x)g(y) , \forall x,y \in \mathbb{R}$ .
Αν η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση να αποδειχθεί ότι $\displaystyle g(x)\geq -1 , \forall x \in \mathbb{R}$ .

#2

chris έγραψε:Με αφορμή την εξίσωση D' Alembert και την ανισοτική σχέση από εδώ.

$\displaystyle{\rule{400pt}{1pt}}$

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle f\left( x+y \right)+f\left(x-y \right)=2f(x)g(y),\quad (1) , \forall x,y \in \mathbb{R}$ .
Αν η δεν είναι η μηδενική συνάρτηση να αποδειχθεί ότι $\displaystyle g(x)\geq -1 , \forall x \in \mathbb{R}$ .

$x:=x+y \quad (1)\Rightarrow f(x+2y)+f(x)=2f(x+y)g(y),\quad (2)$

$x:=x-y \quad (1)\Rightarrow f(x)+f(x-2y)=2f(x-y)g(y)\quad (3)$

$(2)+(3)\Rightarrow 2f(x)+f(x+2y)+f(x-2y)=4f(x)g^2(y)\stackrel{(1)}\Rightarrow$

$2f(x)+2f(x)g(2y)=4f(x)g^2(y)\geq 0\Rightarrow$

Έστω $u\in \mathbb R : f(u)\neq 0$

$2f(u)+2f(u)g(2y)=4f(u)g^2(y)\geq 0\Rightarrow$

$1+g(2y)=2g^2(y)\geq 0\Rightarrow g(2y)\geq -1\Rightarrow g(y)\geq -1,y\in \mathbb R$

Λάμπρος Μπαλός · #3

Όμορφη άσκηση.
Αναρωτιέμαι αν μπορεί να αποδειχθεί (χωρίς να δοθούν επιπλέον συνθήκες) ότι η

είναι περιττή. Χλωμό το κόβω..

chris · #4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Όμορφη άσκηση.
Αναρωτιέμαι αν μπορεί να αποδειχθεί (χωρίς να δοθούν επιπλέον συνθήκες) ότι η είναι περιττή. Χλωμό το κόβω..

Λάμπρο οι

ικανοποιούν την άσκηση αλλά η

δεν είναι περιττή. Αυτό που μπορεί να αποδειχθεί είναι πως η

είναι άρτια.

Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

Re: Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

Re: Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

Re: Ανισοτική Σχέση σε Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση