Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Παρακαλούνται οι "συνήθεις ύποπτοι" του να αφήσουν μία μέρα να περάσει, πριν απαντήσουν.

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\ln \left ( \frac{\left ( 1+\sin x \right )^{1+\cos x}}{1+\cos x} \right )\, dx=2\ln 2-1}$ .

Edit:Ξανά έγινε αλλαγή και μπήκε πάλι το $\pi/2$ στη θέση του άνου άκρου.. ύστερα από σωστή παρατήρηση της Βαρβάρας. Το άλλο ολοκλήρωμα είναι για άλλο φάκελο. Συγνώμη.

dr.tasos · #2

Tolaso J Kos · #3

Έγινε αλλαγή στο πάνω άκρο του ολοκληρώματος.
Ζητώ συγνώμη όσους ταλαιπώρησα.

Οπότε επαναφορά.

barbara · #4

Νομίζω ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται στο 3π/2 και στο π, οπότε πώς μπορούμε να μιλάμε για το ολοκλήρωμα στο [0 ,2π];

BAGGP93 · #5

Μια ιδέα :

Έστω $\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\,\left(\dfrac{\left(1+\sin\,x\right)^{1+\cos\,x}}{1+\cos\,x}\right)\,\mathrm{d}x$ .

Επειδή $\displaystyle{1+\sin\,x>0\,,1+\cos\,x>0\,,x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ , η ολοκληρωτέα συνάρτηση

είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ και άρα το ολοκλήρωμα υπάρχει.

Θέτουμε $\displaystyle{u=\frac{\pi}{2}-x\,,u\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ και έχουμε :

$\displaystyle{I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\ln\,\left(\dfrac{\left(1+\cos\,u\right)^{1+\sin\,u}}{1+\sin\,u}\right)\,\mathrm{d}u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\,\left(\dfrac{\left(1+\cos\,x\right)^{1+\sin\,x}}{1+\sin\,x}\right)\,\mathrm{d}x}$ .

Με πρόσθεση και εφαρμογή της $\displaystyle{\ln\,x+\ln\,y=\ln\,x\,y\,,x\,,y>0}$ λαμβάνουμε :

$\displaystyle{2\,I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\,\left[\left(1+\sin\,x\right)^{\cos\,x}\,\left(1+\cos\,x\right)^{\sin\,x}\right]\,\mathrm{d}x$

οπότε :

$\displaystyle{\begin{aligned}2\,I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,x\,\ln\,\left(1+\sin\,x\right)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,\sin\,x\,\ln\,\left(1+\cos\,x\right)\,\mathrm{d}x\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin\,x)'\,\ln\,\left(1+\sin\,x\right)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,-(1+\cos\,x)'\,\ln\,\left(1+\cos\,x\right)\,\mathrm{d}x\\&=\left[(1+\sin\,x)\,\ln\,\left(1+\sin\,x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,x\,\mathrm{d}x-\left[(1+\cos\,x)\,\ln\,\left(1+\cos\,x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,(1+\cos\,x)\,\dfrac{-\sin\,x}{1+\cos\,x}\,\mathrm{d}x\\&=2\,\ln\,2-\left[\sin\,x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+2\,\ln\,2+\left[\cos\,x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=2\,\left(2\,\ln\,2-1\right)\end{aligned}}$

Εν τέλει, $\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\,\left(\dfrac{\left(1+\sin\,x\right)^{1+\cos\,x}}{1+\cos\,x}\right)\,\mathrm{d}x=2\ln\,2-1}$ .

barbara · #6

Διαμορφώνοντας κάπως το ολοκλήρωμα μπορείτε να δείξετε ότι:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \frac{\left(1+\sin x \right)^{1+\cos x}}{\left(1+\cos x \right)^{1+\sin x}} dx}$ = 0

Tolaso J Kos · #7

barbara έγραψε:Διαμορφώνοντας κάπως το ολοκλήρωμα μπορείτε να δείξετε ότι:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\ln \frac{\left(1+\sin x \right)^{1+\cos x}}{\left(1+\cos x \right)^{1+\sin x}} dx}$ = 0

Έστω

το ζητούμενο ολοκλήρωμα:
Τότε εφαρμόζοντας την κλασσική αντικατάσταση $u=\pi/2-x$ γράφουμε το ολοκλήρωμα στη μορφή:
$\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}\ln \left ( \frac{\left ( 1+\cos x \right )^{1+\sin x}}{\left ( 1+\sin x \right )^{1+\cos x}} \right )\,dx}$ .
το οποίο είναι το

άρα τελικά το ολοκλήρωμα κάνει

.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση