Άρρητες εξισώσεις 38,39 και 40

mathxl · #1

38. viewtopic.php?f=21&t=20485&p=103100#p103100
39. viewtopic.php?f=21&t=33050&p=152929#p152929
40. Να λύσετε την εξίσωση $\left[ {\sqrt {{{(1 + x)}^3}} - \sqrt {{{(1 - x)}^3}} } \right]\sqrt {2(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )} = 5x$

nikoszan · #2

... $\left[ {\sqrt {{{(1 + x)}^3}} - \sqrt {{{(1 - x)}^3}} } \right]\sqrt {2(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )} = 5x:\left( 1 \right),\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$
Θέτουμε $a = \sqrt {1 + x} ,b = \sqrt {1 - x}$ ,οπότε έχουμε
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow$ \displaystyle{\left[ {\sqrt {{{(1 + x)}^3}} - \sqrt {{{(1 - x)}^3}} } \right]\sqrt {{{\left( {\sqrt {1 + x} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2} + 2\sqrt {1 + x} \sqrt {1 - x} } = 5x} $\Leftrightarrow 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} = 5\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow$ \displaystyle{\Leftrightarrow 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 5\left( {{a^2} - {b^2}} \right)} $\Leftrightarrow$

$\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( {a + b > 0} \right)} 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right)\left( {a + b} \right) - 5\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow$ \displaystyle{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)\left( {2\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow

\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( {a + b > 0} \right)} \left( {a = b \vee 2\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 5 = 0} \right) \Leftrightarrow} $\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ \left( {\sqrt {1 + x} = \sqrt {1 - x} \vee 2\left( {1 + x} \right) + 2\sqrt {1 - {x^2}} + 2\left( {1 - x} \right) - 5 = 0} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ \left( {x = 0 \vee \sqrt {1 - {x^2}} = \frac{1}{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left( {x = 0 \vee x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \vee x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$
Ν.Ζ.

mathxl · #3

Γεια σου Νικόλα έχουμε ίδιες απαντήσεις στις ασκήσεις που απάντησες δίνω και την πηγή viewtopic.php?f=21&t=6397&p=36184#p36184

Άρρητες εξισώσεις 38,39 και 40

Άρρητες εξισώσεις 38,39 και 40

Re: Άρρητες εξισώσεις 38,39 και 40

Re: Άρρητες εξισώσεις 38,39 και 40

Μέλη σε σύνδεση