Άρρητο με κυβικές

#1

Να λυθεί στο $\,\,R\,\,$ το σύστημα :

$\left\{ \begin{array}{l} {y^2} + 8{x^2} = 3 - \left( {1 + 3\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \right)\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} \\ 4 - 3\sqrt[3]{{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} - 2\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} = 12{x^2} + {y^2} - \sqrt {1 - 4{x^2}} \\ \end{array} \right.$

(Από Vietnam , φυσικά )

gavrilos · #2

Καταρχήν επειδή βλέπω ότι είναι από Βιετνάμ,επισημαίνω ότι θα απορρίψω αρνητικές τιμές κυβικών ριζών αν προκύψουν (όχι γιατί μου φαίνεται λογικό,αλλά έτσι έχω συνηθίσει).

Θέτουμε $\displaystyle{a=\sqrt{1-4x^{2}}}$ και $\displaystyle{b=\sqrt[3]{y^{2}-1}}$ και θεωρούμε αρχικά ότι $\displaystyle{a\neq 0}$ .

$\displaystyle{\begin{cases} b^{3}+3b^{2}+b=2a^{2}\\ b^{3}+3b^{2}+2b=3a^{2}+a\end{cases}}$

Αφαιρώντας κατά μέλη λαμβάνουμε $\displaystyle{b=a^{2}+a}$ .

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση με $\displaystyle{2}$ και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{b^{3}+3b^{2}=a^{2}-a\Leftrightarrow (a^{2}+a)^{3}+3(a^{2}+a)^{2}=a^{2}-a\overset{a\neq 0}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{a^{2}(a+1)^{3}+3a(a+1)^{2}=a-1\Leftrightarrow a^{5}+3a^{4}+3a^{3}+a^{2}+3a^{3}+6a^{2}+3a-a+1=0\Leftrightarrow a^{5}+3a^{4}+6a^{3}+6a^{2}+2a+1=0}$ .

Η παραπάνω,αν έχει πραγματικές ρίζες αυτές θα είναι αρνητικές.Όμως $\displaystyle{a\geq 0}$ κι έτσι η μόνη περίπτωση που μένει να εξεταστεί είναι η $\displaystyle{a=0}$ .

Η περίπτωση αυτή δίνει $\displaystyle{b=0}$ και τις λύσεις $\displaystyle{(x,y)=\left(\pm \frac{1}{2},\pm 1\right)}$ .

mathxl · #3

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι η εξής (με πρόλαβε ο Γαβριήλ):
Αρχικά έχουμε ότι $\left| y \right| \geqslant 1 \wedge \left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}$ .

Είναι
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{y^2} + 8{x^2} = 3 - \left( {1 + 3\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \right)\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \\ {4 - 3\sqrt[3]{{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} - 2\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} = 12{x^2} + {y^2} - \sqrt {1 - 4{x^2}} } \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{a = \sqrt[3]{{{y^2} - 1}}}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + a = 2\left( {1 - 4{x^2}} \right)} \\ { - 3{a^2} - 2a = - 3\left( {1 - 4{x^2}} \right) + {a^3} - \sqrt {1 - 4{x^2}} } \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{b = \sqrt {1 - 4{x^2}} }$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + a = 2{b^2}} \\ { - 3{a^2} - 2a = - 3{b^2} + {a^3} - b} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + a = 2{b^2}} \\ {a = {b^2} + b} \end{array}} \right. \Rightarrow$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\ {a = {b^2} + b \geqslant b} \end{array}} \right. \Rightarrow$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\ \begin{gathered} a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 4{a^2} + 2a + 1 \geqslant 4{b^2} + 2b + 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\ \begin{gathered} a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 4{a^2} + 2a + 1 \geqslant {a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\ \begin{gathered} a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 0 \geqslant {a^3} - {a^2} + a \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\ \begin{gathered} a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 0 \geqslant a \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{a \geqslant 0}$

$a = b = 0 \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{1}{2},1} \right) \vee \left( { - \frac{1}{2},1} \right) \vee \left( {\frac{1}{2}, - 1} \right) \vee \left( { - \frac{1}{2}, - 1} \right)$ που είναι δεκτές.

Άρρητο με κυβικές

Άρρητο με κυβικές

Re: Άρρητο με κυβικές

Re: Άρρητο με κυβικές

Μέλη σε σύνδεση