f(f(x))=f(x)-x
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
f(f(x))=f(x)-x
Έστω μιά συνάρτηση , γιά τήν οποία ισχύει: , γιά κάθε .
Νά αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι 1-1.
Άν επιπλέον η συνάρτηση έχει τό ίδιο είδος μονοτονίας σέ όλο τό , νά βρεθεί τό είδος μονοτονίας τής .
Νά αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι 1-1.
Άν επιπλέον η συνάρτηση έχει τό ίδιο είδος μονοτονίας σέ όλο τό , νά βρεθεί τό είδος μονοτονίας τής .
Re: f(f(x))=f(x)-x
Για το πρώτο παίρνουμε με . Τότε .
Επομένως αφαιρώντας τις δύο τελευταίες έχουμε . Συνεπώς η είναι 1-1.
Αν θέσουμε τώρα όπου x το 0, παίρνουμε και αφού η η είναι 1-1, θα έχουμε .
Ας υποθέσουμε ότι η είναι αύξουσα. Λόγω του 1-1 θα είναι γνησίως αύξουσα.
Παίρνουμε ένα . Τότε , άρα άρα λόγω της μονοτονίας έχουμε ότι .
Όμως τότε , το οποίο είναι άτοπο, αφού λόγω της μονοτίας έχουμε ότι αφού θα είναι . Oπότε ξανά λόγω της μονοτονίας
Επομένως αφαιρώντας τις δύο τελευταίες έχουμε . Συνεπώς η είναι 1-1.
Αν θέσουμε τώρα όπου x το 0, παίρνουμε και αφού η η είναι 1-1, θα έχουμε .
Ας υποθέσουμε ότι η είναι αύξουσα. Λόγω του 1-1 θα είναι γνησίως αύξουσα.
Παίρνουμε ένα . Τότε , άρα άρα λόγω της μονοτονίας έχουμε ότι .
Όμως τότε , το οποίο είναι άτοπο, αφού λόγω της μονοτίας έχουμε ότι αφού θα είναι . Oπότε ξανά λόγω της μονοτονίας
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: f(f(x))=f(x)-x
Καλό μεσημέριgrigkost έγραψε:Έστω μιά συνάρτηση , γιά τήν οποία ισχύει: , (1) γιά κάθε .
Νά αποδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι 1-1.
Άν επιπλέον η συνάρτηση έχει τό ίδιο είδος μονοτονίας σέ όλο τό , νά βρεθεί τό είδος μονοτονίας τής .
Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.
Μπορεί και να κάνω λάθος αλλά νομίζω πως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: f(f(x))=f(x)-x
Ελπίζω η παρακάτω αιτιολόγηση νά είναι επαρκής:hsiodos έγραψε:Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.
Γιά τήν συνάρτηση , ισχύει: (1), γιά κάθε .
Επειδή η συνάρτηση είναι 1-1, άν επιπλέον είναι μονότονη στό , πρέπει νά είναι γνησίως μονότονη στό .
Από τήν (1), γιά προκύπτει
(2).
Από τήν (2), γιά προκύπτει (3).
Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Τότε οί συναρτήσεις καί είναι γνησίως αύξουσες καί η είναι γνησίως φθίνουσα. Αδύνατον λόγω τής (3).
Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε οί συναρτήσεις καί είναι γνησίως φθίνουσες. Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.
Βέβαια οποιαδήποτε περαιτέρω παρατήρηση είναι καλοδεχούμενη.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: f(f(x))=f(x)-x
Οντως λιγο δυσκολο να υπαρχει τετοια μονοτονη συναρτηση. Αν για παραδειγμα ειναι παραγωγισιμη τοτε εχουμε f'(f(x))*f'(x) = f'(x) - 1 και f'(x) = 1/[1 - f'(f(x))], κατι που προφανως δεν μπορει να ισχυει για f' < 0 και, με λιγη σκεψη ακομη, δεν μπορει να ισχυει ουτε για f' > 0: η συνθηκη f' > 0 επιβαλλει την f' < 1, αλλα τοτε 1/(1-f') > 1!
Γιωργος Μπαλογλου
Γιωργος Μπαλογλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: f(f(x))=f(x)-x
Και πάλι καλό μεσημέρι.grigkost έγραψε:Ελπίζω η παρακάτω αιτιολόγηση νά είναι επαρκής:hsiodos έγραψε:Έχω ένα προβληματισμό αν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί την (1) και να είναι γνησίως μονότονη.
Γιά τήν συνάρτηση , ισχύει: (1), γιά κάθε .
Επειδή η συνάρτηση είναι 1-1, άν επιπλέον είναι μονότονη στό , πρέπει νά είναι γνησίως μονότονη στό .
Από τήν (1), γιά προκύπτει
(2).
Από τήν (2), γιά προκύπτει (3).
Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Τότε οί συναρτήσεις καί είναι γνησίως αύξουσες καί η είναι γνησίως φθίνουσα. Αδύνατον λόγω τής (3).
Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Τότε οί συναρτήσεις καί είναι γνησίως φθίνουσες. Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.
Βέβαια οποιαδήποτε περαιτέρω παρατήρηση είναι καλοδεχούμενη.
Για ποια x ορίζεται η αντίστροφη;
Ο προβληματισμός μου έγκειται στο εξής , παρακαλώ διορθώστε με όπου κάνω λάθος.
Η f είναι 1-1 άρα θα είναι γνησίως μονότονη. Ας δεχθούμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω τώρα
\displaystyle{\displaystyle{
\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} f(x_1 ) - x_1 < f(x_2 ) - x_2 }}
Άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα , που δεν μπορεί να είναι !
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: f(f(x))=f(x)-x
Νά ευχαριστήσω τόν Γιώργο Μπάλογλου γιά τήν εύστοχη παρατήρηση καί βέβαια τόν Γιώργο (hsiodos) γιά τήν απόδειξη τού αδυνάτου τής ύπαρξης μιάς τέτοιας συνάρτησης.
Η συγκεκριμένη άσκηση (ιδέα) προέκυψε πρόσφατα καί δέν μπόρεσα νά τήν διερευνήσω πλήρως.
Νά ευχαριστήσω, ακόμα μιά φορά, γιά τήν συμβολή στήν διερεύνηση.
Η συγκεκριμένη άσκηση (ιδέα) προέκυψε πρόσφατα καί δέν μπόρεσα νά τήν διερευνήσω πλήρως.
Νά ευχαριστήσω, ακόμα μιά φορά, γιά τήν συμβολή στήν διερεύνηση.
Re: f(f(x))=f(x)-x
Νομίζω ότι μια μικρή αναδιατύπωση της ιδέας του Γρηγόρη δίνει μια ωραία άσκηση.
Έστω συνάρτηση f που ικανοποιεί την σχέση
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι μονότονη.
Γιώργος
Έστω συνάρτηση f που ικανοποιεί την σχέση
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1
β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι μονότονη.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: f(f(x))=f(x)-x
Ενας αλλος τροπος για να διαπιστωσουμε οτι η δε μπορει να ειναι αυξουσα ειναι να θεσουμε οπου το και να αποδειξουμε οτι .
Μολις ειδα οτι το ιδιο αποτελεσμα στην ουσια υπαρχει στην απαντηση του Γρηγόρη Κωστακου, οποτε ακυρο!
Αλλα δυο υποερωτηματα :
γ) Να αποδειξετε οτι η δεν ειναι συνεχης.
δ) Να αποδειξετε οτι η ειναι επι.
Δημητρης Σκουτερης
Μολις ειδα οτι το ιδιο αποτελεσμα στην ουσια υπαρχει στην απαντηση του Γρηγόρη Κωστακου, οποτε ακυρο!
Αλλα δυο υποερωτηματα :
γ) Να αποδειξετε οτι η δεν ειναι συνεχης.
δ) Να αποδειξετε οτι η ειναι επι.
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: f(f(x))=f(x)-x
Δημήτρη, επειδή δέν καθορίσθηκε αρχικά σύνολο τιμών, εννοείς ότι η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών τό ;dement έγραψε:....δ) Να αποδειξετε οτι η ειναι επι...
Re: f(f(x))=f(x)-x
Ναι, θεωρησα την ως (αλλα, απ' ο,τι βλεπω, το συνολο αφιξεως υπαρχει στην αρχικη εκφωνηση).
Δημητρης
Δημητρης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες