απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

iolis · #21

Αν $f\left( x \right) = 1 - x^2 ,x \in \left[ {0,1} \right]$ , τότε $f^{ - 1} \left( x \right) = \sqrt {1 - x} ,x \in \left[ {0,1} \right]$ . Τα σημεία $A\left( {1,0} \right)$ και $B\left( {0,1} \right)$ ανήκουν στις γραφικές παραστάσεις και των δυο συναρτήσεων;

#22

Με το θέμα είχα ασχοληθεί από την πρώτη μέρα που έπεσε στην αντίληψή μου και πριν ακόμα γραφεί καμία απάντηση επίσημα. Ήμουνα αυτός που μετέφερε τη συζήτηση , μετά από πολύ προσπάθεια , στην ΕΜΕ και αφιέρωσα ατέλειωτες ώρες σκεπτόμενος για το όλο ζήτημα, όχι τόσο για να στηρίξω τις αντιρρήσεις μου , αλλά για να καταλάβω το πνεύμα της επιστολής του κου Πετράκη. .
Βάζω συνημμένη την επικοινωνία που είχα τις πρώτες μέρες με τον κύριο Πετράκη, όταν ακόμα το όλο ζήτημα ήταν στα σπάργανά του . Πιθανόν σήμερα να άλλαζα ελαφρά το κείμενο σε μερικά σημεία ή να προσέθετα κάτι , αλλά η ουσία και ο προβληματισμός μου είναι ο ίδιος. Με τον συντάκτη είχαμε και άλλη προσωπική επικοινωνία την οποία δεν μπορώ να γνωστοποιήσω που αποσκοπούσε στο να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή.
Σήμερα που το θέμα έχει συζητηθεί πολύ, πιθανόν και οι δύο πλευρές να έχουν αναπτύξει πιο ισχυρά επιχειρήματα . Δυστυχώς δεν έχω να προσθέσω κάτι ουσιαστικό. Επαναλαμβάνω και τώρα ότι η χώρα διαθέτει πανεπιστήμια και πως το καλύτερο είναι να αναλάβει επώνυμα μια ομάδα καθηγητών να τοποθετηθεί επί του ζητήματος.
Διαφορετικά ο καθένας διατυπώνει τα επιχειρήματά του καί πείθει τελικά μόνο τον εαυτό του!
Οι επιστημονικές διαφωνίες γεφυρώνονται με διάλογο και νηφαλιότητα . Δεν τιμούν κανέναν οι ακρότητες και οι χαρακτηρισμοί. Ας μιλήσουν λοιπόν ανοικτά και οι καθηγητές των πανεπιστημίων μας . Αυτοί έχουν για την ώρα τον πρώτο λόγο. Θα περιμένω.
Μπάμπης

#23

bas_pap65 έγραψε: Αν εφαρμόσουμε τα γνωστά αυτά συμπεράσματα της γεωμετρίας στην περίπτωση των αντίστροφων συναρτήσεων βγάζουμε το συμπέρασμα ότι, μόνο οι συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x είναι ίσες με τις αντίστροφές τους, και αυτές είναι οι ταυτοτικές συναρτήσεις, όπως πολύ σωστά αναφέρει ο κ. Πετράκης.

Απομόνωσα το σημείο όποιου γίνεται το λογικό σφάλμα.
Αν κανείς δεν το βλέπει αμέσως, βοηθά να έχει στον νου το παράδειγμα της f(x) = -x.
Η αντίστοφή της είναι g(x) = -x (έλεγχος: f(g(x)) = f(-x) = -(-x) = x και g(f(x)) = g(-x) = -(-x) = x).
Βλέπει κανείς οτι f = g και όμως οι γραφικές τους παραστάσεις ΔΕΝ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ευθεία y = x.
Είναι σε κάθετη προς αυτήν ευθεία (σχεδιάστε, βρείτε κλίσεις και λοιπά).

Ο έχων ώτα ακούειν, ακουέτω.

Μιχάλης Λάμπρου.

(Χρωστώ πληρέστερη απάντηση, και θα το κάνω. Αν και νοιώθω ότι μηρυκάζω, από την άλλη ο κάθε δάσκαλος πρέπει να έχει την υπομονή να επαναλαμβάνει κάτι το οποίο ορισμένοι, καλή τη πίστη, παρανοούν).

#24

Να αναφέρω κι εγώ μια πρόταση που ενισχύει τα λεγόμενα του Μιχάλη.
Έστω συνάρτηση απο f: R->R τέτοια ώστε f(R)=R.
1)Αν η f είναι περιττή και 1-1,τότε και η αντίστροφη $\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} }$ είναι περιττή.
2)Αν η f είναι περιττή κσι γνησίως φθίνουσα ,τότε ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία.
$\displaystyle{\displaystyle f(x_0 ) = f^{ - 1} (x_0 ) \Leftrightarrow f(x_0 ) = - x_0 }$ .
Απόδειξη
1)Αφού f(R)=R,τότε για κάθε ψ στο R υπάρχει χ στο R,ώστε ψ=f(x).H f είναι αντιστρέψιμη και περιττή ,αρα
-ψ=-f(x) <=> $\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} ( - \psi ) = f^{ - 1} ( - f(x)) = f^{ - 1} (f( - x)) = - x = - f^{ - 1} (\psi ). }$
2)Έστω πως $\displaystyle{\displaystyle f(x_0 ) = - x_0 }$ (1).Τότε προκύπτει:
$\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} (f(x_0 )) = f^{ - 1} ( - x_0 ) \Rightarrow x_0 = f^{ - 1} ( - x_0 ) \Rightarrow x_0 = - f^{ - 1} (x_0 ) }$ (2).
Τελικά απο τις (1) και (2) προκύπτει $\displaystyle{\displaystyle f(x_0 ) = f^{ - 1} (x_0 ) }$ .
Αντιστρόφως τώρα,έστω πως $\displaystyle{\displaystyle f(x_0 ) = f^{ - 1} (x_0 ) }$ .
Υποθέτω πως f(x0)<-x0.Tότε επειδή και η αντίστροφη της f,είναι γνήσια φθίνουσα(πρόταση που θεώρησα περιττό να αποδείξω μιας και είναι γνωστή) αλλά και περιττή,θα ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle f^{ - 1} (f(x_0 )) > f^{ - 1} ( - x_0 ) \Rightarrow x_0 > - f^{ - 1} (x_0 ) \Rightarrow x_0 > - f(x_0 ) \Rightarrow f(x_0 ) > - x_0 . }$ .
ΑΤΟΠΟ.
Με όμοιο τρόπο καταρρίπτουμε τον ισχυρισμό πως f(x0)>-x0,άρα τι μένει; f(x0)=-x0.
Συνεπώς αν τέμνονται οι γρ.παραστάσεις των δύο συγκεκριμένων συναρτήσεων,αυτό θα το κάνουν επι της ψ=-χ
Καλημέρα σας!
Υ.Γ Παιδεύτηκα για να τη γράψω,αλλά νομίζω πως άξιζε τον κόπο!

Α.Κυριακόπουλος · #25

Αγαπητέ Μπάμπη.
Με αυτά που γράφεις δεν βοηθάς κανέναν. Έχεις γνώμη; Γιατί δεν την λες καθαρά δημόσια; Τι φοβάσαι; Όλα τα άλλα είναι κακώς νοούμενη «διπλωματία» ,που δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά.

a_petrakis · #26

Χαίρομαι ιδιαίτερα που ο Κ. Λάμπρου είπε την άποψή του για το συγκεκριμένο θέμα τόσο διακριτικά με με ευγένεια. Τον ευχαριστώ.
Η διαδικασία που παρουσιάστηκε είναι απόλυτα σωστή για να ελέγξουμε αν δύο συναρτήσεις είναι ή καλύτερα αν μπορούμε να τις θεωρήσουμε σαν αντίστροφες, (fog(x)=x, gof(x)=x).
Προφανώς είχα στο μυαλό μου όχι μόνο την συγκεκριμένη συνάρτηση αλλά και πολλές άλλες που τις αναφέρω στο σχετικό τεύχος που τύπωσα.

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x)=-x με πεδίο ορισμού το διάστημα Β=[1,2] τότε έχει αντίστροφη την f^(-1)(x)=-x πεδίο ορισμού το f(B)=[-2,-1]. Προφανώς οι δύο αυτές συναρτήσεις δεν είναι ίσες.

Ερώτηση 1: Αν δύο αντίστροφες συναρτήσεις δεν είναι ίσες σε ένα σύνολο Β μπορούν να είναι ίσες σε ένα υπερσύνολο του Β;

Ερώτηση 2: Ας επεκτείνουμε τις δύο παραπάνω συναρτήσεις f και f^(-1) στο R, και ας υποθέσουμε ότι είναι ίσες για τους λόγους που αναφέρθηκαν, δηλαδή έχω f(x)=-x και f^(-1)(x)=-x με κοινό πεδίο ορισμού το R.
Αν για οποιοδήποτε λόγο περιορίσω την f στο σύνολο B, τότε η f^(-1) σε ποιο σύνολο θα περιοριστεί; στο B=[1,2] ή στο f(B)=[-2,-1];
Ή γενικά αν περιορίσω την f στο σύνολο Γ η αντίστροφη της σε ποιο σύνολο περιορίζεται; στο Γ στο f(Γ) ή σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο θέλουμε;

#27

a_petrakis έγραψε:Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x)=-x με πεδίο ορισμού το διάστημα Β=[1,2] τότε έχει αντίστροφη την f^(-1)(x)=-x πεδίο ορισμού το f(B)=[-2,-1]. Προφανώς οι δύο αυτές συναρτήσεις δεν είναι ίσες.

Ερώτηση 1: Αν δύο συναρτήσεις δεν είναι ίσες σε ένα σύνολο Β μπορούν να είναι ίσες σε ένα υπερσύνολο του Β;

Η ερώτησή σας είναι άσχετη μέ τό παραπάνω παράδειγμα. Στό παράδειγμα οί δύο συναρτήσεις έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού Β=[1,2] καί Γ=f(B)=[-2,-1], αντίστοιχα, ενώ ή ερώτησή σας αφορά δύο συναρτήσεις μέ τό ίδιο πεδίο ορισμού Β.

Υ.Γ. Έχω πάρει ήδη - από τό φθινόπωρο τού 2004 - θέση επί τού θέματος τών κοινών σημείων μιάς συνάρτησης καί τής αντιστρόφου της.
Άποψή μου είναι ότι οί νέοι ορισμοί-θεάσεις στά Μαθηματικά πρέπει νά δίνουν αποτελέσματα, νά δίνουν λύσεις σέ παλαιά προβλήματα καί όχι νά δημιουργούν νέα προβλήματα. Αλλοιώς θά πρότεινα μέ τήν σειρά μου νά ορίσουμε-δούμε τίς πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής σάν μονοδιάστατες υποπολλαπλότητες ( manifolds ).

#28

a_petrakis έγραψε: Αν για οποιοδήποτε λόγο περιορίσω την f στο σύνολο B, τότε η f^(-1) σε ποιο σύνολο θα περιοριστεί; στο B=[1,2] ή στο f(B)=[-2,-1];

Οι $(f|_B)^{-1}$ και η $f^{-1}|_B$ είναι ασφαλώς διαφορετικές. Δεν πάυει όμως να ισχύει ότι οι συναρτήσεις f|_B

και $f^{-1}|_B$ είναι ίσες.

a_petrakis · #29

Αγαπητέ συνάδελφε Γρηγόρη Κωστάκο, εγώ είπα κάτι πολύ απλό:
Aν δύο συναρτήσεις είναι ίσες πρέπει εφαρμόζοντας σε αυτές οποιοδήποτε ορισμό, πρόταση κλπ να προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα.
Και φυσικά αν θέλεις να πάμε στις πολλαπλότητες ναι, οι ίσες συναρτήσεις πρέπει να παράγουν το ίδιο μονοδιάστατο manifold, διαφορετικά δεν είναι ίσες.

a_petrakis · #30

Η δική μου άποψη είναι ότι αν περιορίσω την συνάρτηση f στο σύνολο Β τότε η αντίστροφη της περιορίζεται «υποχρεωτικά» στο f(B) (μόνο σε αυτό και σε κανένα άλλο), διαφορετικά δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω για τον περιορισμό το σύμβολο f^(-1), γιατί απλούστατα οι συναρτήσεις f και f^(-1) με κοινό πεδίο ορισμού το Β δεν είναι αντίστροφες. Επιπλέον οποιοδήποτε συμπέρασμα και αν βγάλω συγκρίνοντας αυτές τις συναρτήσεις, δεν αφορά αντίστροφες συναρτήσεις, γιατί δεν είναι αντίστροφες.

#31

a_petrakis έγραψε:... παράγουν το ίδιο μονοδιάστατο manifold...

"Ίδιες" πολλαπλότητες είναι οί διαφορομορφικές πολλαπλότητες ?
ή μήπως αυτές πού έχουν τόν ίδιο άτλαντα?
ή μήπως αυτές πού έχουν ίδια διαφορίσιμη δομή?
γιά νά μήν αναφερθώ στό ότι:
άν "δούμε" μία πολλαπλότητα σάν συνάρτηση, χάνουμε τά εργαλεία τής Γεωμετρίας καί άν δούμε μιά συνάρτηση σάν πολλαπλότητα χάνουμε τά εργαλεία τής Ανάλυσης ή επί τό Μαθηματικότερον:
μιά συνάρτηση ΔΕΝ είναι μιά πολλαπλότητα καί αντιστρόφως!

Μέ τόν δέοντα σεβασμό στήν άποψή σας,
επιτρέψτε μου νά μήν επανελθω στό θέμα τών σημείων τομής μιάς συνάρτησης καί τής αντιστρόφου της.

k-ser · #32

a_petrakis έγραψε:Η δική μου άποψη είναι ότι αν περιορίσω την συνάρτηση f στο σύνολο Β τότε η αντίστροφη της περιορίζεται «υποχρεωτικά» στο f(B) (μόνο σε αυτό και σε κανένα άλλο), διαφορετικά δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω για τον περιορισμό το σύμβολο f^(-1), γιατί απλούστατα οι συναρτήσεις f και f^(-1) με κοινό πεδίο ορισμού το Β δεν είναι αντίστροφες. Επιπλέον οποιοδήποτε συμπέρασμα και αν βγάλω συγκρίνοντας αυτές τις συναρτήσεις, δεν αφορά αντίστροφες συναρτήσεις, γιατί δεν είναι αντίστροφες.

Κύριε Πετράκη,
εξηγήστε μου κάτι:
Έχω την $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ και την αντίστροφή της $f^{-1}:f(A)\rightarrow \mathbb{R}$
Τι είναι αυτό που μας "υποχρεώνει" ο περιορισμός της $f^{-1}$ στο Β να είναι η αντίστροφη του περιορισμού της συνάρτησης f στο Β;

mathxl · #33

k-ser έγραψε:
a_petrakis έγραψε:Η δική μου άποψη είναι ότι αν περιορίσω την συνάρτηση f στο σύνολο Β τότε η αντίστροφη της περιορίζεται «υποχρεωτικά» στο f(B) (μόνο σε αυτό και σε κανένα άλλο), διαφορετικά δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω για τον περιορισμό το σύμβολο f^(-1), γιατί απλούστατα οι συναρτήσεις f και f^(-1) με κοινό πεδίο ορισμού το Β δεν είναι αντίστροφες. Επιπλέον οποιοδήποτε συμπέρασμα και αν βγάλω συγκρίνοντας αυτές τις συναρτήσεις, δεν αφορά αντίστροφες συναρτήσεις, γιατί δεν είναι αντίστροφες.
Κύριε Πετράκη,
εξηγήστε μου κάτι:
Έχω την $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ και την αντίστροφή της $f^{-1}:f(A)\rightarrow \mathbb{R}$
Τι είναι αυτό που μας "υποχρεώνει" ο περιορισμός της $f^{-1}$ στο Β να είναι η αντίστροφη του περιορισμού της συνάρτησης f στο Β;

Παρακολουθώντας την ενδιαφέρουσα αντιπαράθεση, δίνω μία απάντηση στην ερώρηση του kser
Το γεγονός ότι πρέπει (fof^-1)(y)=y και (f^-1of)(x)=x, αλλιώς δεν μιλάμε για αντιστροφή.
Αν δεν το δεχτούμε έχουμε το εξής πρόβλημα
Έστω η f(x) = -χ την οποία περιορίζουμε στο [-2,3], εάν και η αντίστροφη περιοριστεί στο ίδιο διάστημα [-2,3] τότε δεν ικανοποιούνται οι σχέσεις (fof^-1)(y)=y (προκύπτουν f^-1(y) που δεν ανήκουν στο [-2,3] )και (f^-1of)(x)=x (ομοίως) δεν ικανοποιούνται. Οπότε "υποχρεωτικά" περιοριζόμαστε στο [-3,2] για την αντίστροφη

k-ser · #34

Είναι απόλυτα σωστό και προφανές ότι:
Ο περιορισμός της $f^{-1}$ στο Β δεν είναι, αναγκαστικά, η αντίστροφη συνάρτηση του περιορισμού της

στο Β.

Το ερώτημά μου όμως παραμένει:
Αν περιορίσω την συνάρτηση f /A στο Β υποσύνολο του Α ποιος και τι με υποχρεώνει να περιορίσω και την $f^{-1}$ σε κατάλληλο διάστημα ώστε αυτός ο περιορισμός να είναι η αντίστροφη συνάρτηση του περιορισμού της f στο Β;;;

#35

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Μπάμπη.
Με αυτά που γράφεις δεν βοηθάς κανέναν .

Συγνώμη αν φαίνεται κάτι τέτοιο , αλλά η πρόθεσή μου ήταν να βοηθήσω!

Έχεις γνώμη;

Νομίζω ότι αυτή φαίνεται ξεκάθαρα -και με επιχειρήματα μάλιστα -στα κείμενα που γράφηκαν πριν τρία χρόνια , τότε που δεν είχε ακόμα κανένας πάρει θέση δημόσια.Και η θέση μου ήταν ότι με την άποψη του καλού φίλου και συναδέλφου Ανδρέα Πετράκη : ΔΙΑΦΩΝΩ !. Διαφωνώ όμως με τον δικό μου τρόπο , και εξακολουθώ να ακούω τις σκέψεις του, για να μην τον αδικήσω σε κάτι , αλλά και γιατί ενδέχεται να κάνω λάθος . Ίσως αυτό να φαίνεται ανοησία σε άλλους , αλλά τι να γίνει ! Δεν θέλω να συμπαρασύρω κανέναν στην θέση μου. Ας βγάλει ο καθένας αβίαστα το δικό του συμπέρασμα.

Γιατί δεν την λες καθαρά δημόσια;

Που αλλού να την πω δηλαδή και πώς ; Εδώ δεν είναι δημόσια ; Και πόσο πιο καθαρά ; Δεν έχω να προσθέσω τίποτα !

Τι φοβάσαι;

Δεν ελπίζω τίποτα, δε βοβάμαι τίποτα , είμαι λεύτερος !(Ν. Καζατζάκης )

Όλα τα άλλα είναι κακώς νοούμενη «διπλωματία» ,που δεν έχουν καμία σχέση με τα μαθηματικά

Έτσι είναι, αν έτσι νομίζεις !

Πιθανόν όμως η διπλωματία να χρειάζεται και στα μαθηματικά .Έχω τη δική μου άποψη και μπορώ να τη διατηρώ , όπως μπορεί ο καθένας να επιλέγει και να χρησιμοποιεί τον τρόπο που αυτός επιθυμεί για να επικοινωνεί με τους συναθρώπους του.

Το θέμα με την αντίστροφη τελειώνει για μένα με αυτό το μήνυμα.Δεν έχω λόγο να επανέλθω ούτε να προσθέσω κάτι. Ας τοποθετηθούν ελεύθερα οι συνάδελφοι και χωρίς κανένα καταναγκασμό. Όλοι έχουν τελειώσει Πανεπιστήμιο και όλοι είναι ισότιμοι συνομιλητές. Όποια άποψη και να καταθέσουν είναι σεβαστή . Ο χρόνος θα αποδείξει σιγά-σιγά το ορθόν , είτε μας αρέσει είτε όχι.

Με απόλυτο σεβασμό(εδώ είμαι απόλυτος !)

Μπάμπης

#36

mathxl έγραψε:
k-ser έγραψε:
a_petrakis έγραψε:Η δική μου άποψη είναι ότι αν περιορίσω την συνάρτηση f στο σύνολο Β τότε η αντίστροφη της περιορίζεται «υποχρεωτικά» στο f(B) (μόνο σε αυτό και σε κανένα άλλο), διαφορετικά δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω για τον περιορισμό το σύμβολο f^(-1), γιατί απλούστατα οι συναρτήσεις f και f^(-1) με κοινό πεδίο ορισμού το Β δεν είναι αντίστροφες. Επιπλέον οποιοδήποτε συμπέρασμα και αν βγάλω συγκρίνοντας αυτές τις συναρτήσεις, δεν αφορά αντίστροφες συναρτήσεις, γιατί δεν είναι αντίστροφες.
Κύριε Πετράκη,
εξηγήστε μου κάτι:
Έχω την $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ και την αντίστροφή της $f^{-1}:f(A)\rightarrow \mathbb{R}$
Τι είναι αυτό που μας "υποχρεώνει" ο περιορισμός της $f^{-1}$ στο Β να είναι η αντίστροφη του περιορισμού της συνάρτησης f στο Β;
Παρακολουθώντας την ενδιαφέρουσα αντιπαράθεση, δίνω μία απάντηση στην ερώρηση του kser
Το γεγονός ότι πρέπει (fof^-1)(y)=y και (f^-1of)(x)=x, αλλιώς δεν μιλάμε για αντιστροφή.
Αν δεν το δεχτούμε έχουμε το εξής πρόβλημα
Έστω η f(x) = -χ την οποία περιορίζουμε στο [-2,3], εάν και η αντίστροφη περιοριστεί στο ίδιο διάστημα [-2,3] τότε δεν ικανοποιούνται οι σχέσεις (fof^-1)(y)=y (προκύπτουν f^-1(y) που δεν ανήκουν στο [-2,3] )και (f^-1of)(x)=x (ομοίως) δεν ικανοποιούνται. Οπότε "υποχρεωτικά" περιοριζόμαστε στο [-3,2] για την αντίστροφη

Έχουμε 5 συναρτήσεις. Τις $f,f|_B,f^{-1},f^{-1}|_B$ και $(f|_B)^{-1}$ . Σίγουρα το πεδίο ορισμού της $(f|_B)^{-1}$ είναι το [-3,2] καμία διαφωνία. Αυτό όμως δεν μας δείχνει ότι οι

και $f^{-1}$ είναι διαφορετικές συναρτήσεις. Αν περιορίσουμε την f στο Β, πρέπει να κάνουμε ακριβώς το ίδιο πράγμα στην $f^{-1}$ . Δηλαδή να πάρουμε την $f^{-1}|_B$ . Αυτή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Β και είναι όντως ίση με την f|_B

. Ότι η $f^{-1}|_B$ και $(f|_B)^{-1}$ είναι διαφορετικές συναρτήσεις δεν είναι καθόλου παράξενο. Όπως δεν είναι παράξενο που οι συναρτήσεις $f \circ g$ και $g \circ f$ είναι συνήθως διαφορετικές.

mathxl · #37

k-ser έγραψε:Είναι απόλυτα σωστό και προφανές ότι:
Ο περιορισμός της $f^{-1}$ στο Β δεν είναι, αναγκαστικά, η αντίστροφη συνάρτηση του περιορισμού της στο Β.
Δηλαδή αν η f και η αντίστροφη της είναι ίσες(στο παράδειγμα που δίνω αυτό συμβαίνει), δεν πρέπει να είναι ίσοι και οι περιορισμοί τους;Και γενικότερα εάν δύο συναρτήσεις είναι ίσες δεν είναι ίσες και στον περιορισμό τους Β;Δεν μου φαίνεται προφανές αυτό που λες...
Το ερώτημά μου όμως παραμένει:
Αν περιορίσω την συνάρτηση f /A στο Β υποσύνολο του Α ποιος και τι με υποχρεώνει να περιορίσω και την $f^{-1}$ σε κατάλληλο διάστημα ώστε αυτός ο περιορισμός να είναι η αντίστροφη συνάρτηση του περιορισμού της f στο Β;;;

Νομίζω ότι το παράδειγμα που δίνω καλύπτει την ερώτηση

k-ser · #38

Αν οι συναρτήσεις f/Α, $f^{-1}$ /f(A) είναι ίσες τότε: ο περιορισμός τους στο οποιοσδήποτε σύνολο Β, το οποίο είναι υποσύνολο του A=f(A), θα δώσει ίσες συναρτήσεις και, ενδεχομένως, όχι αντίστροφες συναρτήσεις
Υπάρχει κάποιο λάθος στην παραπάνω πρόταση;;;

mathxl · #39

Η πρόταση που αναφέρεις είναι σωστή αλλά μόλις χάθηκε η αντιστροφή...

Νομίζω ότι κάνουμε κύκλους...Παρεμπιπτόντως ΠΑΟΚ -ΟΣΦΠ:1-0 (στο ημίχρονο - φόρτσα ΠΑΟΚ)

k-ser · #40

mathxl έγραψε:Η πρόταση που αναφέρεις είναι σωστή αλλά μόλις χάθηκε η αντιστροφή...Νομίζω ότι κάνουμε κύκλους..

Δεν κάνουμε κύκλους. Το κουβάρι ξετυλίγουμε!

.... και ποιος χρειάζεται, εκτός από την ισότητα και την αντιστροφή των περιορισμών για να δεχθεί την ισότητα των f/A, και της αντίστροφής της;;

απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Re: απάντηση Α. Πετράκη στα όσα γράφτηκαν στο τεύχος 69 του Ευκλ

Μέλη σε σύνδεση