Άσκηση προς συζήτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\displaystyle{w =\left ( \frac{3}{2}+2i \right )z-\frac{5}{2}zi}$ και $z=a+i\beta, \; a, \beta \in \mathbb{R}$ .

α.Να βρεθούν τα $\mathfrak{Re}(w), \; \mathfrak{Im}(w)$ .
β.Να βρείτε πού κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών

. (το βιβλίο εδώ δίνει ως απαντήση την y=-1/3 x

. Δε μπορώ να το βγάλω)
γ.Να βρεθεί το μέτρο $\left | w \right |$ . (εδώ δίνει ότι $\displaystyle{\left | w \right |=\frac{\sqrt{10}}{2}\left | a-3\beta \right |}$ . Δε βγάζω τόσο)
δ.Να βρεθεί πού κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών

αν ισχύει $\displaystyle{\left | w \right |=\frac{\sqrt{10}}{2}}$ . (εδώ δίνει ως απάντηση δύο ευθείες. Βγάζω κύκλο)

Edit:Αλλάχθηκε ο τίτλος της άσκησης και μπήκαν κάποιες διευκρινίσεις.

Γιώργος Απόκης · #2

Για ευκολία χρησιμοποιώ $\displaystyle{b}$ αντί για $\displaystyle{\beta}$

α) Αντικαθιστώντας τον $\displaystyle{z}$ και μετά από πράξεις καταλήγουμε στο $\displaystyle{w=\frac{3a+b}{2}+\frac{3b-a}{2}i}$

άρα $\displaystyle{Re(w)=\frac{3a+b}{2},~Im(w)=\frac{3b-a}{2}}$

β) Δε μπορεί να απαντηθεί αφού πρέπει να είναι γνωστή κάποια σχέση των $\displaystyle{a,b}$ ή κάποια πληροφορία για τον $\displaystyle{z}$ .

γ) Έχουμε $\displaystyle{|w|=\sqrt{\left(\frac{3a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{3b-a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{9a^2+6ab+b^2+9b^2-6ab+a^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

δ) Έχουμε $\displaystyle{|w|=\frac{\sqrt{10}}{2}\overset{\gamma)}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{10}\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2=1}$

δηλαδή κύκλος με κέντρο $\displaystyle{(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .

Edit : Τυπογραφικό. Απόστολε ευχαριστώ

Tolaso J Kos · #3

κ. Γιώργο ευχαριστώ.

Ερώτηση:

Γιώργος Απόκης έγραψε: β) Δε μπορεί να απαντηθεί αφού πρέπει να είναι γνωστή κάποια σχέση των $\displaystyle{a,b}$ ή κάποια πληροφορία για τον $\displaystyle{z}$ .

Ο κινείται σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να δούμε πού κινείται ο

; Ουσιαστικά να απαντήσουμε το δεύτερο ερώτημα.

Γιώργος Απόκης · #4

Tolaso J Kos έγραψε:κ. Γιώργο ευχαριστώ.

Ερώτηση:
Γιώργος Απόκης έγραψε: β) Δε μπορεί να απαντηθεί αφού πρέπει να είναι γνωστή κάποια σχέση των $\displaystyle{a,b}$ ή κάποια πληροφορία για τον $\displaystyle{z}$ .

Ο κινείται σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{1}$ .
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να δούμε πού κινείται ο ; Ουσιαστικά να απαντήσουμε το δεύτερο ερώτημα. Δε το έχω ψάξει.

Tώρα ναι! Κάτι γίνεται!

Aν $\displaystyle{w=x+yi}$ , από το α) έχουμε τις σχέσεις $\displaystyle{x=\frac{3a+b}{2},y=\frac{3b-a}{2}}$ . Λύνοντας ως προς $\displaystyle{a,b}$ έχουμε :

$\displaystyle{a=\frac{3x-y}{5},b=\frac{x+3y}{5}}$ και με αντικατάσταση στην $\displaystyle{a^2+b^2=1}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\left(\frac{3x-y}{5}\right)^2+\left(\frac{x+3y}{5}\right)^2=1\Leftrightarrow 9x^2-6xy+y^2+x^2+6xy+9y^2=25\Leftrightarrow 10x^2+10y^2=25\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{5}{2} }$

δηλαδή κύκλος με κέντρο $\displaystyle{(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{2}}$

Tolaso J Kos · #5

Βασικά τώρα που το ξανά βλέπω, είναι εντελώς τετριμμένο από το ερώτημα $\gamma$ .
Αφού $a^2 + \beta^2 =1$ άρα είναι κύκλος.

Τέλος πάντων....κ. Γιώργο ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Καλό απόγευμα.

Θεοδωρος Παγωνης · #6

Καλησπέρα Γιώργο και Τόλη.

Η εκφώνηση , για να βγαίνει $y=-\frac{1}{3}x$ , πρέπει να είναι : $w=\left( \frac{3}{2}+2i \right)z-\frac{5}{2}i\,\bar{z}$ .

#7

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Καλησπέρα Γιώργο και Τόλη.

Η εκφώνηση , για να βγαίνει $y=-\frac{1}{3}x$ , πρέπει να είναι : $w=\left( \frac{3}{2}+2i \right)z-\frac{5}{2}i\,\bar{z}$ .

Έχεις δίκιο

. Με αυτή την εκφώνηση επαληθεύονται όλες οι απαντήσεις που δίνει το βιβλίο.

α) $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) = \frac{{3a - 9b}}{2},{\mathop{\rm Im}\nolimits} (w) = \frac{{3b - a}}{2}}$

β) $\displaystyle{y = - \frac{1}{3}x}$

γ) $\displaystyle{|w| = \frac{{\sqrt {10} }}{2}|a - 3b|}$

δ) $\displaystyle{{\varepsilon _1}:x - 3y - 1 = 0}$ ή $\displaystyle{{\varepsilon _2}:x - 3y + 1 = 0}$

Tolaso J Kos · #8

κ. Θοθωρή ευχαριστώ πολύ για το χρόνο που κάτσατε και ασχοληθήκατε και βρήκατε ποια πρέπει να είναι η εκφώνηση.

Θεοδωρος Παγωνης · #9

Τόλη η σωστή έκφραση δεν είναι "βρήκα" αλλά "θυμήθηκα" . Κάπου , κάποτε την είχα λύσει.

Άσκηση προς συζήτηση

Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Re: Άσκηση προς συζήτηση

Μέλη σε σύνδεση