Ευκολότερη εκδοχή...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x+y))=2x+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ArgirisM · #2

Μία λύση που έκανα, ελπίζω σωστή.
Θέτουμε x = 0

οπότε προκύπτει $f(f(y)) = f(y), \forall y \in R (1)$ . Η προηγούμενη σχέση μας εξαφαλίζει πως ισχύει $f(x) = x, \forall x \in f(R)$ .
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως f(R) = R

. Για

από την αρχική σχέση προκύπτει $f(x + f(x)) = 2x + f(0), \forall x \in R (2)$ . Όμως η παράσταση

μπορεί, για τις διάφορες τιμές του

, να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Συνεπώς προκύπτει πως f(R) = R

.
Άρα με βάση την (1)

είναι $f(x) = x, \forall x \in R$ .

maiksoul · #3

Μια προσέγγιση!

Στην αρχική ισότητα :
*για $\displaystyle{ \,\,\,x = 0\,\,\, }$ παίρνουμε $\displaystyle{ \,\,f\,[\,f(y)\,\,] = \,\,f(y)\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\,\,\,(1)\,\, }$

*για $\displaystyle{ \,\,x = 0\,\, }$ παίρνουμε $\displaystyle{ \,f\,[\,\,x + f\,(\,x\,)\,\,\,]\,\,\, = \,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\, }$ $\displaystyle{ \,\,(\,2\,)\,\, }$

Στην $\displaystyle{ \,\,(\,1\,)\,\, }$ για $\displaystyle{ \,\,y = \,\,x\,\, + \,\,f(\,x\,)\,\,\, }$ παίρνουμε

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,f\,\,[\,\,\,f\,(\,x\,\, + \,\,f(\,x\,)\,)\,\,\,]\, = f(\,\,x\,\, + f(\,x\,)\,\,\,)\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{(\,2\,)} \,\, \\ \\ f\,(\,\,2\,x\,\, + \,\,f(\,0\,)\,\,) = \,\,\,\,2\,x + f\,(\,0\,)\,\,\,\,\, \\ \\ f\,[\,\,g(x)\,\,]\, = \,\,\,g\,(\,x\,)\,\,\,\forall x \in \Re \,\,\,\,\,(3)\,\,,\,\,.....\,g(x) = 2x + f(0)\,\,\, \\ \end{array} }$

Η $\displaystyle{ \,\,g\,\, }$ είναι συνεχής και $\displaystyle{ \,\, \uparrow \Re \,\, }$ ενώ $\displaystyle{ \,\,g\,(\,\Re \,) = \,\,\Re \,\, }$

Επομένως ορίζεται η $\displaystyle{ \,\,g^{ - 1} :\Re \to \Re \,\, }$

Η $\displaystyle{ \,(3)\, }$ για $\displaystyle{ \,\,x = g^{ - 1} (y)\,\,\,,\,\,\,\,y \in \Re \, }$ δίνει :

$\displaystyle{ \,\,\,\,f\,\,[\,\,g\,(\,\,g^{ - 1} (y)\,\,\,)\,\,]\, = g\,(\,\,\,g^{ - 1} (\,y\,)\,\,\,) \Leftrightarrow \,\,f(\,y\,)\,\, = \,y\,\,\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\,\, }$

δηλαδή είναι

$\displaystyle{ \,\,\,\,f(\,x\,)\,\, = \,x\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\,\, }$

Ευκολότερη εκδοχή...

Ευκολότερη εκδοχή...

Re: Ευκολότερη εκδοχή...

Re: Ευκολότερη εκδοχή...

Μέλη σε σύνδεση