Φράγματα και ακρότατα!

#1

Αν και μάλλον ακατάλληλη για τη σχολική τάξη:

Αν $\displaystyle{\rm z,w\in \mathbb{C}}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{\rm |z+w|=1,~|z^2+w^2|=3,}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\rm 4\leq |z^3+w^3|\leq 5.}$

Είναι οι τιμές $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{5}$ η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\rm |z^3+w^3|}$ ;

#2

matha έγραψε:Αν και μάλλον ακατάλληλη για τη σχολική τάξη:

Αν $\displaystyle{\rm z,w\in \mathbb{C}}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{\rm |z+w|=1,~|z^2+w^2|=3,}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\rm 4\leq |z^3+w^3|\leq 5.}$

Είναι οι τιμές $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{5}$ η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\rm |z^3+w^3|}$ ;

Μια γρήγορη απάντηση για το δεξί σκέλος της ανισότητας:

Είναι:

$\displaystyle{{z^3} + {w^3} = \left( {z + w} \right)\left( {{z^2} - zw + {w^2}} \right) \Rightarrow \left| {{z^3} + {w^3}} \right| = \left| {z + w} \right|\left| {{z^2} - zw + {w^2}} \right| = \left| {{z^2} - zw + {w^2}} \right| \le \left| {{z^2} + {w^2}} \right| + \left| {zw} \right| = 3 + \left| {zw} \right|}$

Αρκεί να δείξω ότι:

$\displaystyle{\left| {zw} \right| \le 2.}$

Είναι:

$\displaystyle{zw = \frac{{{{\left( {z + w} \right)}^2} - \left( {{z^2} + {w^2}} \right)}}{2} \Rightarrow \left| {zw} \right| = \left| {\frac{{{{\left( {z + w} \right)}^2} - \left( {{z^2} + {w^2}} \right)}}{2}} \right| \le \frac{{{{\left| {z + w} \right|}^2} + \left| {{z^2} + {w^2}} \right|}}{2} = 2}$

Φράγματα και ακρότατα!

Φράγματα και ακρότατα!

Re: Φράγματα και ακρότατα!

Μέλη σε σύνδεση