2ο Θεματάκι

KARKAR · #1

Ας γράψουμε κι ένα δεύτερο - από τα τρία συνολικά - θεματάκι για σχολικό διαγώνισμα :

Αν για το μιγαδικό

, είναι $|z-1|\leq 1$ , δείξτε ότι $\dfrac{2}{|z-4|}\leq 1$ . Πότε ισχύει η ισότητα ?

#2

Είναι

$|z-4|=|4-z|=|3+1-z|\geq |3|-|1-z|=3-|z-1|\geq 2.$

H ισότητα ισχύει αν-ν |z-1|=1

και

Η δεύτερη ισχύει αν-ν z=1

ή

όπου $l\in \Bbb{R}_{<0}.$

Για z=1

δεν αληθεύει η |z-1|=1

οπότε έχουμε z=1-3l

και

Άρα $\displaystyle{|3l|=1 \stackrel{l\in \Bbb{R}_{<0}}{\implies} l=-\frac{1}{3}}$ και z=2.

BAGGP93 · #3

Γεια σας.

Προφανώς, $\displaystyle{z\neq 4+i\,0}$ , διότι αν $\displaystyle{z=4+i\,0}$ τότε : $\displaystyle{\left|z-1\right|=\left|3+i\,0\right|=3>1}$ , άτοπο .

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\left|z-1\right|\leq 1}$ και θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\left|z-4\right|\geq 2}$ .

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\left|z-4\right|<2}$ . Τότε :

$\displaystyle{3=\left|\left(z-1\right)-\left(z-4\right)\right|\leq \left|z-1\right|+\left|z-4\right|\leq 1+\left|z-4\right|<1+2=3}$ ,

το οποίο δεν αληθεύει. Επομένως : $\displaystyle{\left|z-4\right|\geq 2}$ .

Αν $\displaystyle{\left|z-4\right|=2}$ , τότε προκύπτει ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού $\displaystyle{z}$

ανήκει και στον δίσκο κέντρου $\displaystyle{K\,\left(1,0\right)}$ και ακτίνας $\displaystyle{r=1}$ και στον κύκλο

κέντρου $\displaystyle{A\,\left(4,0\right)}$ και ακτίνας $\displaystyle{r=2}$ . Το μοναδικό σημείο τομής αυτών των

συνόλων είναι το $\displaystyle{\left(2,0\right)}$ , οπότε : $\displaystyle{z=2+i\,0}$ .

Αντίστροφα, αν $\displaystyle{z=2+i\,0}$ , τότε $\displaystyle{\left|z-1\right|=\left|1+i\,0\right|=1\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\left|z-4\right|=\left|-2+i\,0\right|=2}$ .

Συνεπώς, η ισότητα ισχύει αν, και μόνο αν, $\displaystyle{z=2+i\,0}$ .

Ακόλουθεί η απόδειξη του ότι $\displaystyle{\left\{z\in\mathbb{C}:\left|z-1\right|\leq 1\right\}\cap \left\{z\in\mathbb{C}:\left|z-4\right|=2\right\}=\left\{2+i\,0\right\}$ .

Όπως είδαμε παραπάνω, ο μιγαδικός $\displaystyle{2+i\,0}$ ανήκει και στα δύο σύνολα, άρα και στην τομή των.

Έστω τώρα $\displaystyle{w=x+i\,y\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$ ένας μιγαδικός που ανήκει στην παραπάνω τομή. Τότε έχουμε :

$\displaystyle{\left(x-1\right)^2+y^2\leq 1\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\left(x-4\right)^2+y^2=4}$ , οπότε :

$\displaystyle{\left(x-1\right)^2+4-\left(x-4\right)^2\leq 1\implies -2\,x+1+4+8\,x-16\leq 1\implies 6\,x\leq 12\implies x\leq 2}$ .

Επίσης, $\displastyle{\left(x-4\right)^2=4-y^2\leq 4\implies \left|x-4\right|\leq 2\implies -2\leq x-4\leq 2\implies 2\leq x\leq 6}$ .

Ώστε, $\displaystyle{x=2}$ και συνεπώς $\displaystyle{(2-4)^2+y^2=4\implies 4+y^2=4\implies y=0}$ , που σημαίνει

ότι $\displaystyle{w=2+i\,0}$ , όπως θέλαμε.

2ο Θεματάκι

2ο Θεματάκι

Re: 2ο Θεματάκι

Re: 2ο Θεματάκι

Μέλη σε σύνδεση