Κατασκευές τμημάτων με μέτρο άρρητο αριθμό.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα τις γνώμες και τις γνώσεις σας!

Υπάρχει ενιαία διαδικασία κατασκευής ενός τμήματος με μέτρο ίσο με την τετραγωνική ρίζα τυχαίου (κάθε) ρητού αριθμού;

Επίσης, θα ήθελα πληροφορίες για το εξής:

Η κατασκευή του είναι αδύνατη, αφού είναι υπερβατικός αριθμός.

Όταν, λοιπόν, παριστάνουμε μια τριγωνομετρική συνάρτηση και στον οριζόντιο άξονα έχουμε πολλαπλάσια του , η θέση τους στον άξονα δεχόμαστε ότι τίθεται κατά προσέγγιση;

Στο σχολικό βιβλίο (Άλγεβρα Β΄ Λυκείου σελ. 76) δεν αναφέρεται κάτι. Στην τάξη πώς το διαχειρίζεστε;

Ευχαριστώ προκαταβολικά για τη συμμετοχή σας!

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχει ενιαία διαδικασία κατασκευής ενός τμήματος με μέτρο ίσο με την τετραγωνική ρίζα τυχαίου (κάθε) ρητού αριθμού;

Προφανώς εννοείς "κατασκευή με κανόνα και διαβήτη".

Ναι υπάρχει ενιαίος τρόπος: Είναι εύκολο να κατασκευάσουμε οποιονδήποτε ρητό (γίνεται με χρήση του Θεωρήματος Θαλή). Τώρα, αν κατασκευασμένο τμήμα, είναι εύκολο να κατασκευάσουμε το (παίρνουμε ημικύκλιο με διάμετρο με . Η κάθετος εντός του ημικυκλίου στο στην διάμετρο αυτή έχει μήκος .

Όταν, λοιπόν, παριστάνουμε μια τριγωνομετρική συνάρτηση και στον οριζόντιο άξονα έχουμε πολλαπλάσια του , η θέση τους στον άξονα δεχόμαστε ότι τίθεται κατά προσέγγιση;

Όχι, δεν είναι προσέγγιση. Το γεγονός ότι το δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα ίσο με . Άλλωστε ένα από τα αξιώματα της πραγματικής ευθείας είναι ότι κάθε αριθμός έχει αντίστοιχο σημείο και, αντίστροφα, κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν και μοναδικό αριθμό.

Φιλικά,

Μιχάλης

[Γιώργος Ρίζος]

Μιχάλη, καλησπέρα.

Σε ευχαριστώ για την άμεση και διαφωτιστική απάντηση.

Πράγματι το πρώτο ερώτημα ανάγεται στην κατασκευή που περιγράφεται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 187. (Ασφαλώς όταν λέω κατασκευή εννοώ με κανόνα και διαβήτη).

Έκανα την ερώτηση γιατί δεν θυμάμαι να το έχω δει κάπου διατυπωμένο έτσι, δηλαδή όχι γενικά ως τη μέση ανάλογο τυχαίων γνωστών τμημάτων , αλλά των .

Για το δεύτερο, η ερώτησή μου δεν διατυπώθηκε καλά.
Ερωτώ ξανά:

Όταν διδάσκω την τριγωνομετρική συνάρτηση , στο σύστημα αξόνων με μονάδα το , μπορώ να τοποθετήσω π.χ. τα και να φέρω τις ευθείες , που καθορίζουν τα μέγιστα και ελάχιστα της .
Πώς θα τοποθετήσω το ;

[Γιώργος Ρίζος]

Τα θέματα στο mathematica τρέχουν με μεγάλη ταχύτητα.
Πιθανώς χάθηκε στις πίσω σελίδες το ερώτημά μου. Επιτρέψτε μου να επαναφέρω τον προβληματισμό μου και την αιτία που το δημιούργησε:

Θέλω να διδάξω την τριγωνομετρική συνάρτηση , στο σύστημα αξόνων.

Αν πάρω ως μονάδα το , μπορώ να τοποθετήσω π.χ. τα , αλλά δεν μπορώ να τοποθετήσω (κατασκευάσω) το , εφόσον το είναι υπερβατικός αριθμός.

Όπως επεσήμανε ο Μιχάλης παραπάνω, κάθε αριθμός έχει αντίστοιχο σημείο και, αντίστροφα, κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν και μοναδικό αριθμό.

Αν, λοιπόν, πάρω ένα σημείο στον ημιάξονα ως εικόνα του , τότε κατασκευάζω τα πολλαπλάσια και τις υποδιαιρέσεις του. Όμως, πως θα πάρω (κατασκευάσω) στον κατακόρυφο τα σημεία που ορίζουν τα μέγιστα και ελάχιστα;

Με άλλα λόγια, τοποθετούμε κατά προσέγγιση τα σημεία στους άξονες;

Υ.Γ. Ο Χρήστος Τσιφάκης με παρέπεμψε σε κάποιες εφαρμογές Java αρχείων Geogebra ΕΔΩ, τις οποίες δεν μπορώ να ανοίξω ούτες σε περιβάλλον XP (Mozzila), ούτε σε Windows 7. Υπάρχει κάποια λύση;

[Θεοδωρος Παγωνης]

Καλησπέρα Γιώργο. Αν θέλεις λογισμικό να δουλέψεις στην τάξη , πολύ καλό εiναι το graph , το οποίο μπορείς να βρεις εδώ https://www.padowan.dk/
Έχει ελληνικό μενού και έχεις την δυνατότητα στον ένα άξονα να έχεις 1 , 2 κ.τ.λ. ένω στον άλλο άξονα π , 2π , κ.τ.λ.
Δεν ξέρω αν είναι αυτή η βοήθεια που ζητάς , σε κάθε περίπτωση ενημέρωσε.

[orestisgotsis]

Περιττό

[Θεοδωρος Παγωνης]

Δες εδώ τι ακριβώς εννοώ .

[styt_geia]

Υ.Γ. Ο Χρήστος Τσιφάκης με παρέπεμψε σε κάποιες εφαρμογές Java αρχείων Geogebra ΕΔΩ, τις οποίες δεν μπορώ να ανοίξω ούτες σε περιβάλλον XP (Mozzila), ούτε σε Windows 7. Υπάρχει κάποια λύση;

Δεν ξέρω αν είναι η πλέον ενδεδειγμένη ή ασφαλέστερη λύση αλλά δούλεψε για μένα...
Για win 7:
1) Πληκτρολογούμε configure java στην αναζήτηση και ανοίγει το java control panel-> βάζουμε το security level στο medium

2) Στην ίδια καρτέλα πατάμε το κουμπί edit site list->add και πληκτρολογούμε τη διεύθυνση που θέλουμε να εκτελείται η java, εδώ συγκεκριμένα http://dmentrard.free.fr. Πατάμε ok.

Λογικά τώρα μπορούμε να τρέξουμε τις εφαρμογές java από την εν λόγω σελίδα πατώντας run στην ερώτηση do you want to run this application?

[orestisgotsis]

Περιττό

[Γιώργος Ρίζος]

Δεν είναι ανάγκη το σύστημα να είναι ορθοκανονικό για τη μελέτη π.χ. της .

Σας ευχαριστώ όλους για το ενδιαφέρον σας.

Αυτό που γράφει ο Ορέστης είναι και το δικό μου συμπέρασμα. Απλά δεν έχω δει κάπου (εννοώ σε σχολικό βιβλίο) σχετική αναφορά.
Αντίθετα, στο βιβλίο της Γ΄Λυκείου (σελ. 135) γίνεται απλά αναφορά για "σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο", δίχως να δηλώνεται αν είναι ορθό και κανονικό. Βεβαίως, θα πείτε, εννοείται ότι αναφέρεται σε ορθό. Αλλά "κανονικό" είναι;

Στο βιβλίο της Α΄ Λυκείου, όπου ορίζεται η έννοια του "καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων" (σελ. 152), στη σημείωση αναφέρεται ότι όταν λέμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων θα εννοούμε ορθό και κανονικό, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά.

Πιστεύω, λοιπόν, ότι μια σχετική αναφορά (περί μη κανονικού συστήματος) είναι απαραίτητη όταν στους άξονες πρέπει να απεικονίσουμε υπερβατικούς αριθμούς.

Υ.Γ. Στον Κώστα (styt-geia) ένα θερμό ευχαριστώ. Βάζοντας απλά το επίπεδο ασφάλειας στο medium, δούλεψε ο compiler της java.

[Grosrouvre]

Στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α' Λυκείου και συγκεκριμένα στις σελίδες 50-51, θα μπορούσε κάποιος να βρει κάτι σχετικό.

Εκεί, στη 2η εφαρμογή, αποδεικνύεται ότι ο αριθμός είναι άρρητος και στη συνέχεια γίνεται γεωμετρική παράσταση (με κανόνα και διαβήτη) των αριθμών και στον άξονα των πραγματικών αριθμών.