'Ορια Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων στο άπειρο

[nsmavrogiannis]

'Οταν διδάσκω τα όρια αναφέρω επικαλούμενος την γραφική παράσταση ότι οι ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη δεν έχουν όριο στο .
Απόδειξη δεν δίνω. Ωστόσο είναι δυνατόν να δοθεί απόδειξη που να χρησιμοποιεί μόνο γνώσεις της Γ' Λυκείου (χωρίς λ.χ. ακολουθίες και υπακολουθίες). Πρόκειται για μία άσκηση που την δίνω μαζί με τις άλλες που δίνω στα παιδιά μήπως κεντρίσει το ενδιαφέρον μαθητών που προσανατολίζονται προς τα Μαθηματικά. Μετά από πρόσφατη συζήτηση με καλό συνάδελφο που με ρώτησε αν είναι δυνατόν να δοθεί τέτοια απόδειξη σκέφτηκα ότι υπάρχει περιθώριο και στο mathematica για να συζητηθεί το θέμα.
Συγκεκριμένα λοιπόν:

ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθεί ότι οι οι ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη δεν έχουν όριο στο .

Μαυρογιάννης

[Μάκης Χατζόπουλος]

Νίκο, αν κατάλαβα σωστά, το θέμα είναι η απόδειξη (πως γίνεται) ή αν θα πρέπει να γίνεται η απόδειξη (δηλ. αν είναι παιδαγωγικό και χρήσιμο σε αυτή την φάση);

[Φωτεινή]

ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθεί ότι οι οι ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη δεν έχουν όριο στο .

Μαυρογιάννης

καλημέρα σε όλους. Να κοιτάξουμε ...ΕΔΩ να δούμε τι έχουν γράψει οι συνάδελφοι

[nsmavrogiannis]

Μάκη είναι όπως το γράφεις: Το ερώτημα είναι πως γίνεται η απόδειξη. Φυσικά και δεν θεωρώ (με την παρούσα διάρθρωση της ύλης) ότι πρέπει να γίνει απόδειξη στην παράδοση.
Μαυρογιάννης

[Μάκης Χατζόπουλος]

Φωτεινή ξεπέρασες τον εαυτό σου, αυτή ήταν η επόμενη διαπίστωση, μα αυτό το θέμα το έχουμε συζητήσει!!

[Φωτεινή]

Φωτεινή ξεπέρασες τον εαυτό σου, αυτή ήταν η επόμενη διαπίστωση, μα αυτό το θέμα το έχουμε συζητήσει!!

είδες Μάκη που και εγώ κάτι...θυμάμαι

[nsmavrogiannis]

Ζητώ απ΄όλους συγνώμη, το είχα εντελώς ξεχάσει, και ευχαριστώ την Φωτεινή για την επισήμανση.
Τέλος πάντων μιας και η διάταξη που είχα στο μυαλό ήταν κάπως διαφορετική ανεβάζω την διατύπωση που χρησιμοποιώ. Μπορεί να ανατεθεί και σαν μικρή εργασία:

ΑΣΚΗΣΗ
Στην άσκηση αυτή θα αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις
, και δεν έχουν όριο για και για .
'Εστω .
1) Nα αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του ισχύει:

2) Nα αποδείξετε ότι αν η έχει όριο για
τότε το θα είναι πραγματικός αριθμός και

3) Nα αποδείξετε ότι η δεν έχει όριο για .
4) Nα αποδείξετε ότι η δεν έχει όριο για .
5) Nα αποδείξετε ότι η δεν έχει όριο για ή για .
6) Με την βοήθεια της, γνωστής, σχέσης να αποδείξετε ότι η δεν
έχει όριο για ή για .
Μαυρογιάννης

[Μάκης Χατζόπουλος]

Πολύ έξυπνη προσέγγιση, με υποερωτήματα που δείχνουν τα βήματα της απόδειξης

[polysot]

Γενίκευση :
Καμία περιοδική, μη σταθερή συνάρτηση δεν έχει όριο στο .

[nsmavrogiannis]

Πράγματι ισχύει αυτή η, γνωστή, γενίκευση. Αποδεικνύεται όμως με "εντός ύλης" εργαλεία;
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Γενίκευση :
Καμία περιοδική, μη σταθερή συνάρτηση δεν έχει όριο στο .

Πράγματι ισχύει αυτή η, γνωστή, γενίκευση. Αποδεικνύεται όμως με "εντός ύλης" εργαλεία;
Μαυρογιάννης

Νίκο, σου κάνει το εξής;

Έστω α και β, με α > β δύο τιμές της συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είχε όριο L, τότε θα έπρεπε, από ένα Μ και πέρα να ισχύει
L - (α-β)/3 < f(x) < L +(α-β)/3 .
Ειδικά (αφού η f παίρνει, λόγω περιοδικότητας τις τιμές α και β για κάποια χ μετά το Μ) πρέπει L - (α-β)/3 < β < α < L + (α-β)/3 . Οι δύο ακριανές δίνουν 2α/3 + β/3 < L < α/3 + 2β/3, οπότε α < β, άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης

[nsmavrogiannis]

Μιχάλη είναι ωραίο και απλούστατο αυτό που γράφεις ("στοιχειώδες αγαπητέ Γουώτσον") αλλά γίνεται χρήση του ορισμού του ορίου που είναι ξορκισμένος από την Γ' Λυκείου γιαυτό εξέφρασα επιφυλάξεις.
Μαυρογιάννης

[socrates]

Πράγματι ισχύει αυτή η, γνωστή, γενίκευση. Αποδεικνύεται όμως με "εντός ύλης" εργαλεία;
Μαυρογιάννης

Με ακολουθίες (όχι αμιγώς σχολικά)...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω ώστε .Αν , όπου Τ μια περίοδος τότε...

[nsmavrogiannis]

socrates αυτή είναι η άλλη προσέγγιση που είχα στο μυαλό μου. Αλλά δυστυχώς ούτε αυτή "παίζει". Για τις ακολουθίες το βιβλίο έχει μία παράγραφο που καλά-καλά δεν διδάσκεται.
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη είναι ωραίο και απλούστατο αυτό που γράφεις ("στοιχειώδες αγαπητέ Γουώτσον") αλλά γίνεται χρήση του ορισμού του ορίου που είναι ξορκισμένος από την Γ' Λυκείου γιαυτό εξέφρασα επιφυλάξεις.
Μαυρογιάννης

Νίκο,
Βλέπω στο Σχολικό βιβλίο την ιδιότητα (για όρια στο x(0) που ανήκουν στο R) ότι αν τότε f(x) < 0 σε περιοχή του x(0).
Ερώτηση: μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αντίστοιχο αν x(0) = ;
Αν ναι, τότε η απόδειξη που έδωσα παραπάνω, μπαλώνεται.
Θα το κοιτάξω αύριο.

Καληνύχτα.

Μιχάλης

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη είναι ωραίο και απλούστατο αυτό που γράφεις ("στοιχειώδες αγαπητέ Γουώτσον") αλλά γίνεται χρήση του ορισμού του ορίου που είναι ξορκισμένος από την Γ' Λυκείου γιαυτό εξέφρασα επιφυλάξεις.
Μαυρογιάννης

Βλέπω στο Σχολικό βιβλίο την ιδιότητα (για όρια στο x(0) που ανήκουν στο R) ότι αν τότε f(x) < 0 σε περιοχή του x(0).
Ερώτηση: μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αντίστοιχο αν x(0) = ;
Αν ναι, τότε η απόδειξη που έδωσα παραπάνω, μπαλώνεται.
Θα το κοιτάξω αύριο.

Νίκο,

Συνεχίζω από εκεί που έμεινα χθες βράδυ, υποθέτοντας ότι επιτρέπεται η χρήση του εξής (*)

Αν τότε σε περιοχή του απείρου είναι f(x) < c.

Έστω λοιπόν ότι υπάρχει το όριο και ότι ισούται με L και έστω a, b δύο διαφορτικές τιμές της περιοδικής f, με a > b. Tότε θα έχουμε

α) γιατί αν ίσχυε τότε για την τιμή a της f θα ήταν , άτοπο.

β) Όμοια αλλά εργαζόμενοι με το b θα είναι .

Συμπεραίνουμε ότι θα ισχύει . Άτοπο γιατί δίνει a b.

Φιλικά,

Μιχάλης


(*) Λεει κάπου το βιβλίο ότι επεκτείνονται στην περίπτωση του απείρου οι ιδιότητες των ορίων στο , οπότε η χρήση του είναι μάλλον νόμιμη. Νίκο, τι λες;

[polysot]

Λεει κάπου το βιβλίο ότι επεκτείνονται στην περίπτωση του απείρου οι ιδιότητες των ορίων στο , οπότε η χρήση του είναι μάλλον νόμιμη. Νίκο, τι λες;

Πράγματι, το λέει στη σελίδα 184 πάνω πάνω και νομίζω ότι μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε.

Εγώ είχα στο μυαλό μου απόδειξη με ακολουθίες, όπως γράφτηκε παραπάνω.

[nsmavrogiannis]

Μιχάλη έκτακτα (για τους νεώτερους, και μόνον, αναφέρω ότι η φράση ήταν του συρμού την δεκαετία του '60)
(Could you imagine) A more general problem?
(Μπορείς να φανταστείς) 'Ενα πιό γενικό πρόβλημα;
έγραψε ο Georg Polya στο εμβληματικό "How to Solve it" το 1945 πριν 64 χρόνια δηλαδή (Ας σημειωθεί ότι ο με ανησυχίες περί την διδακτική Polya ήταν ένας πρώτης κλάσεως καθαρός μαθηματικός).
Με ένα πολύ ωραίο χειρισμό μας έδωσες μία "όλα σε ένα" απάντηση για το θέμα του ορίου στο άπειρο. Δεν μου είχε περάσει από το μυαλό πως θα ξεπεράσουμε τον σκόπελο του ορισμού του ορίου. Σε ευχαριστούμε. Αδημονώ να το περάσω στην τάξη μου.

Ας μου επιτρέψετε να φλυαρήσω λίγο: 'Εφερα το θέμα στο mathematica γιατί θεώρησα ότι είχε κάποιο ενδιαφέρον ύστερα από μία κουβέντα με κάποιο καλό συνάδελφο στο τέλος της περασμένης εβδομάδας. Το θέμα το αντιμετώπιζα, εδώ και καιρό με τον τρόπο που ανέφερα. Η Φωτεινή μας υπενθύμισε ανάλογη αντιμετώπιση από τoν Αντώνη Κυριακόπουλο και τον Κώστα Σερίφη. O polysot έδωσε μία πάσα ότι το θέμα μπορεί να ειδωθεί πιο γενικά το ίδιο και ο socrates και ο Μιχάλης μας χάρισε μια απλή προσαρμογή απολύτως σχολική. Γιατί τα λέω όλα αυτά; Μα για τον απλό λόγο ότι για μια άλλη φορά φάνηκε η αξία της επικοινωνίας και του διαλόγου ακόμη και για τις μικροβελτιώσεις της Τέχνης μας. Το να κάνουμε ένα μικρό κομμάτι των Μαθηματικών διδάξιμο ή να φωτίσουμε μια παραμελημένη υγρή ακρούλα των Μαθηματικών δεν είναι λίγο. Για άλλη μια φορά προς επίρρωσιν των λεγομένων μου θα επικαλεσθώ δύο σπουδαίους ανθρώπους
Freeman Dyson: "Οι τεχνολογίες που είχαν τις πιό βαθιές επιδράσεις στη ζωή ήταν συνήθως απλές. Ένα καλό παράδειγμα απλής τενολογίας με βαθιές ιστορικές συνέπειες είναι ο σανός. "
Bertolt Brecht: "Ο Καίσαρας νίκησε τους Γαλάτες. Δεν είχε ούτε ένα μάγειρα μαζί του;"
To mathematica είναι ένα μεγάλο μαγειρείο (εγώ και κατά πως υποπτεύομαι και αρκετοί άλλοι το προτιμώ ως οινομαγειρείο) και για άλλη μια φορά του είμαι ευγνωμων

Μαυρογιάννης

[polysot]

... Μα για τον απλό λόγο ότι για μια άλλη φορά φάνηκε η αξία της επικοινωνίας και του διαλόγου ακόμη και για τις μικροβελτιώσεις της Τέχνης μας. Το να κάνουμε ένα μικρό κομμάτι των Μαθηματικών διδάξιμο ή να φωτίσουμε μια παραμελημένη υγρή ακρούλα των Μαθηματικών δεν είναι λίγο. Για άλλη μια φορά προς επίρρωσιν των λεγομένων μου θα επικαλεσθώ δύο σπουδαίους ανθρώπους
Freeman Dyson: "Οι τεχνολογίες που είχαν τις πιό βαθιές επιδράσεις στη ζωή ήταν συνήθως απλές. Ένα καλό παράδειγμα απλής τενολογίας με βαθιές ιστορικές συνέπειες είναι ο σανός. "
Bertolt Brecht: "Ο Καίσαρας νίκησε τους Γαλάτες. Δεν είχε ούτε ένα μάγειρα μαζί του;"
To mathematica είναι ένα μεγάλο μαγειρείο (εγώ και κατά πως υποπτεύομαι και αρκετοί άλλοι το προτιμώ ως οινομαγειρείο) και για άλλη μια φορά του είμαι ευγνωμων

Μαυρογιάννης

Αναμφίβολα, όλοι κερδίζουμε από το διάλογο, όταν έχουμε καλή διάθεση, διότι όπως έλεγε και ένας συνάδελφος στο στρατό :
"Τα μυαλά και τα αλεξίπτωτα λειτουργούν μόνο όταν είναι ανοικτά".