Κάθετος απ' το μέσο

KARKAR · #1

: Κάθετος απ' το μέσο.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 1154 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , προεκτείνουμε την πλευρά

, κατά τμήμα

CS=AC

. Δείξτε ότι η κάθετη της

στο

, διέρχεται από το μέσο

, της

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κάθετος απ' το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , προεκτείνουμε την πλευρά , κατά τμήμα

. Δείξτε ότι η κάθετη της στο , διέρχεται από το μέσο , της

Γεια σου Θανάση. Γεια σε όλους.

Το πάω λίγο ανάποδα. Παίρνω

το μέσο της

και θα αποδείξω ότι $\displaystyle{AM \bot AB}$ .

Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

: $\displaystyle{{a^2} = 2{b^2}\left( {1 - \sigma \upsilon \nu {{120}^0}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = b\sqrt 3 }$ (1)

Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο BCS

: $\displaystyle{B{S^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\sigma \upsilon \nu {150^0}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{BS = b\sqrt 7 }$ (2)

Θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ABS

: $\displaystyle{A{M^2}\mathop = \limits^{(2)} \frac{{2{b^2} + 8{b^2} - 7{b^2}}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AM = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}}$ (3)

Από τις σχέσεις (2), (3)

και το αντίστροφο του Πυθαγορείου στο ABM

, εύκολα διαπιστώνουμε ότι $B\widehat AM=90^0$

: Κάθετος απ' το μέσο.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές

ealexiou · #3

Έστω

το σημείο τομής των

και

Επειδή το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές έπεται ότι AB=AC

. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABK

,

$(\widehat{B}=30°)$ , όμως επειδή το τρίγωνο AKC

είναι ισοσκελές, (ίσες γωνίες 30°)

είναι $AK=KC \Rightarrow BK=2BC$ . Επειδή

διάμεσος του τριγώνου ABS

και

, άρα το

είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Άρα και

που διέρχεται από το σημείο τομής των διαμέσων είναι διάμεσος του τριγώνου ABS

, άρα

μέσον του

#4

ealexiou έγραψε:Έστω το σημείο τομής των και
Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές έπεται ότι . Στο ορθογώνιο τρίγωνο , $(\widehat{B}=30°)$ , όμως επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, (ίσες γωνίες είναι $AK=KC \Rightarrow BK=2BC$ . Επειδή διάμεσος του τριγώνου και , άρα το είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Άρα και που διέρχεται από το σημείο τομής των διαμέσων είναι διάμεσος του τριγώνου , άρα μέσον του

STOPJOHN · #5

Kαλησπέρα σε όλη την ομάδα
Φέρουμε την $ST\perp AM$ ;Aρα θα είναι

$ST//AB,CST=60^{0},TS=\frac{AS}{2}\Leftrightarrow TAS=30^{0}$

Οπότε TS=AB,TS//AB,

και το

είναι παραλληλόγραμμο και το σημείο

θα είναι το μέσο της

Γιάννης

ArgirisM · #6

Στην ίδια λογική με την πρώτη λύση αλλά καθαρά συνθετικά. Αφού C, M

τα μέσα των AS, BS

αντίστοιχα, προκύπτει πως $CM // = \frac{AB}{2} (1)$ . Ακόμη είναι $\hat{ABC} = \hat{BCM} = 30^0 \Longrightarrow \hat{ACM} = 60^0$ . Θεωρούμε το συμμετρικό

του

ως προς το

. Τότε θα είναι AC = CC' (2)

και αφού $\hat{ACM} = 60^0$ , το τρίγωνο ACC'

είναι ισόπλευρο. Έτσι προκύπτει πως η

εκτός από διάμεσος είναι και ύψος στο συγκεκριμένο τρίγωνο, γεγονός που λόγω της παραλληλίας μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι $\hat{AMC} = \hat{BAM} = 90^0$

#7

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κάθετος απ' το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , προεκτείνουμε την πλευρά , κατά τμήμα

. Δείξτε ότι η κάθετη της στο , διέρχεται από το μέσο , της

Καλημέρα σας κύριοι.

Όλα τα ωραία τα είπαν οι Γιώργος ,Ευθύμης, Γιάννης και Αργύρης.

Ας το δούμε ανακόλουθα .

: Κάθετος απ΄ το μέσο_3.png (26.19 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Έστω

τα μέσα των BC,BS

αντίστοιχα . Ας πούμε δε AK = y

, επειδή τα τρίγωνα KAB,KAC

είναι «τύπου» ${90^0}{,60^0}{,30^0}$ θα είναι $\boxed{AB = AC = CS = 2y}$ .

Όμως $KM// = \dfrac{{CS}}{2} = y\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,MC// = \dfrac{{AB}}{2} = y$ δηλαδή το τετράπλευρο AKMC

είναι ισοσκελές τραπέζιο και μάλιστα κανονικό ημιεξάγωνο.

Αποτέλεσμα η

να είναι διχοτόμος της εγγεγραμμένης στο ημικύκλιο διαμέτρου

, γωνίας $K\widehat AC$ και άρα κάθετος στην

.

Φιλικά Νίκος

Υ. Γ . Δυο-τρεις λύσεις ακόμη που ανακατεύουν Θ. διχοτόμων και κύκλους, επειδή

κατ’ ουσία είναι παραλλαγές των προηγουμένων δεν τις γράφω .

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κάθετος απ' το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , προεκτείνουμε την πλευρά , κατά τμήμα

. Δείξτε ότι η κάθετη της στο , διέρχεται από το μέσο , της

Καλημέρα σας…μια από τα ίδια!

: Κάθετος απ' το μέσο.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 1018 φορές

Έστω

το σημείο τομής της κάθετης της

στο

με την

. Θέτω

το σημείο τομής της κάθετης της

στο

με την

.

Το εγγράψιμο ACDB

είναι ισοσκελές τραπέζιο, το $\triangleleft CDS$ ισόπλευρο, το $\triangleleft ADS\,({30^ \circ },{90^ \circ },{60^ \circ })$ και απ’ το παραλληλόγραμμο ASDB

το

θα είναι το σημείο τομής των διαγωνίων.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κάθετος απ' το μέσο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{B}=\hat{C}=30^0$ , προεκτείνουμε την πλευρά , κατά τμήμα

. Δείξτε ότι η κάθετη της στο , διέρχεται από το μέσο , της

Άλλη μια...

Έστω $\displaystyle{E}$ συμμετρικό του $\displaystyle{M}$ ως προς $\displaystyle{C}$ .Τότε $\displaystyle{AESM}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow ES//AM \Rightarrow SEN \bot BN}$ και προφανώς $\displaystyle{\vartriangle NCA}$ ισόπλευρο ,άρα $\displaystyle{BA = AN \Rightarrow A}$ μέσον του $\displaystyle{BN}$ άρα και $\displaystyle{M}$ μέσον του $\displaystyle{BS}$

Κάθετος απ' το μέσο

Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Re: Κάθετος απ' το μέσο

Μέλη σε σύνδεση