Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

mariapas · #1

Καλησπερα,

Θα ηθελα να ρωτήσω, ένας τροπος για να βρούμε το σύνολο τιμων μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού ανοιχτό διαστημα, ειναι και μέσω των οριων. Συγκεκριμένα αν τα όρια της συνάρτησης στα άκρα του ανοιχτού διαστήματος του πεδίου ορισμού της τείνουν στο συν και πριν άπειρο και με την βοήθεια της μονοτονιας, καταλήγουμε ότι το σύνολο τιμών ειναι το R.

Αυτο πρέπει να το αποδεικνύουμε όταν το χρεισιμοποιουμε;

Φιλικά,
Μαρία Π.

Γιώργος Απόκης · #2

mariapas έγραψε:Καλησπερα,

Θα ηθελα να ρωτήσω, ένας τροπος για να βρούμε το σύνολο τιμων μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού ανοιχτό διαστημα, ειναι και μέσω των οριων. Συγκεκριμένα αν τα όρια της συνάρτησης στα άκρα του ανοιχτού διαστήματος του πεδίου ορισμού της τείνουν στο συν και πριν άπειρο και με την βοήθεια της μονοτονιας, καταλήγουμε ότι το σύνολο τιμών ειναι το R.

Αυτο πρέπει να το αποδεικνύουμε όταν το χρεισιμοποιουμε;

Φιλικά,
Μαρία Π.

Καλησπέρα. Δεν χρειάζεται απόδειξη. Είναι απαραίτητη όμως η μονοτονία και η συνέχεια της συνάρτησης στο διάστημα αυτό.

Δες το γενικότερο συμπέρασμα στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 196

mariapas · #3

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Καλησπέρα. Δεν χρειάζεται απόδειξη. Είναι απαραίτητη όμως η μονοτονία και η συνέχεια της συνάρτησης στο διάστημα αυτό.

Δες το γενικότερο συμπέρασμα στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 196

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Ναι για την συνέχεια έχετε δίκιο, το γνώριζα αλλά από την βιασύνη μου δεν το ανέφερα.

Μαρία Π.

Christos.N · #4

Αν πάλι μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα έχει ετερόσημα μη πεπερασμένα όρια στα άκρα του διαστήματος, τότε πάλι μπορούμε να αποφανθούμε για το σύνολο τιμών, χωρίς να χρειάζεται η γνώση της μονοτονίας της.

Το έχουμε συναντήσει στο χώρο πάμπολλες φορές, αν θες Μαρία απέδειξε το.

Υ.Γ. Οι περιπτώσεις να αποφανθούμε για το σύνολο τιμών είναι πάρα πολλές, παρακάτω ένα παράδειγμα μιας μη συνεχούς συνάρτησης που εύκολα μπορούμε να γνωρίσουμε το σύνολο τιμών της.

$\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1,x < 0 \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0 \\ x - 1,x > 0 \\ \end{array} \right. }$

Νομίζω ότι σε αυτό το παράδειγμα θα αντιληφθείς την αξία της πρότασης του βιβλίου που παραθέτει ο Γιώργος ο Απόκης τον οποίο και χαιρετώ...

Όμως όπως λέει ο κ.Στεργίου σε άλλη δημοσίευση, ο χρόνος που δαπανάται στην διερεύνηση των διαφόρων περιπτώσεων είναι δυσανάλογος του ωφέλιμου αποτελέσματος.

mariapas · #5

Christos.N έγραψε:Αν πάλι μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα έχει ετερόσημα μη πεπερασμένα όρια στα άκρα του διαστήματος, τότε πάλι μπορούμε να αποφανθούμε για το σύνολο τιμών, χωρίς να χρειάζεται η γνώση της μονοτονίας της.

Το έχουμε συναντήσει στο χώρο πάμπολλες φορές, αν θες Μαρία απέδειξε το.

Υ.Γ. Οι περιπτώσεις να αποφανθούμε για το σύνολο τιμών είναι πάρα πολλές, παρακάτω ένα παράδειγμα μιας μη συνεχούς συνάρτησης που εύκολα μπορούμε να γνωρίσουμε το σύνολο τιμών της.

$\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x + 1,x < 0 \\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0 \\ x - 1,x > 0 \\ \end{array} \right. }$

Νομίζω ότι σε αυτό το παράδειγμα θα αντιληφθείς την αξία της πρότασης του βιβλίου που παραθέτει ο Γιώργος ο Απόκης τον οποίο και χαιρετώ...

Όμως όπως λέει ο κ.Στεργίου σε άλλη δημοσίευση, ο χρόνος που δαπανάται στην διερεύνηση των διαφόρων περιπτώσεων είναι δυσανάλογος του ωφέλιμου αποτελέσματος.

Καλησπέρα,

Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση που μου δώσατε και τα σχόλια που μου κάνετε.

Φυσικά συμφωνώ στο ότι ο χρόνος που δαπανάται από την πλευρά του μαθητή στην διερεύνηση των διαφόρων περιπτώσεων είναι δυσανάλογος του ωφέλιμου αποτελέσματος, είναι όμως απορίες περισσότερο δικές μου για να διαλευκάνω κάποια σκοτεινά για εμένα σημεία και λιγότερο για να τα διδάξω στους μαθητές. Από την άλλη προσπαθώ από την πλευρά μου να είμαι όσο μπορώ πιο προετοιμασμένη σε περίπτωση που μου ζητηθεί να απαντήσω σε τυχόν απορίες κάποιων μαθητών που σχετίζονται με τα παραπάνω ερωτήματα.

Όπως και να έχει, σας είμαι ευγνώμων για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσφέρεται.

Με εκτίμηση,
Μαρία Π.

mariapas · #6

Christos.N έγραψε:Αν πάλι μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ανοικτό διάστημα έχει ετερόσημα μη πεπερασμένα όρια στα άκρα του διαστήματος, τότε πάλι μπορούμε να αποφανθούμε για το σύνολο τιμών, χωρίς να χρειάζεται η γνώση της μονοτονίας της.

Το έχουμε συναντήσει στο χώρο πάμπολλες φορές, αν θες Μαρία απέδειξε το.

Καλησπέρα σας,

Θα προσπαθήσω να δώσω μία διαισθητική απάντηση σε αυτό που μου υποδείξατε ότι θα με βοηθούσε να το αποδείξω.

Αφού η συνεχής συνάρτηση έχει ετερόσημα μη πεπερασμένα όρια στα άκρα του διαστήματος έστω $\displaystyle{[a,b]}$ ,

τότε Χ.Β.Τ.Γ έστω:

$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$

συνεπώς οι τιμές της συνάρτησης ελαττώνονται απεριόριστα καθώς το $\displaystyle{x}$ πλησιάζει από τα δεξιά το $\displaystyle{a}$ ,

ενώ στην περίπτωση που ισχύει:

$\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$

οι τιμές της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα καθώς το $\displaystyle{x}$ πλησιάζει από τα αριστερά το $\displaystyle{b}$ ,

άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Μαρία Π.

#7

mariapas έγραψε: Θα προσπαθήσω να δώσω μία διαισθητική απάντηση <....>

<...> οι τιμές της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα

Ωραία μέχρι εδώ. Και γιατί δεν δίνεις τώρα μία σωστή απόδειξη (όχι διαισθητική) χωρίς τους μη αυστηρούς όρους "αυξάνονται απεριόριστα" και λοιπά. Το θέμα είναι αρκετά απλό και διδακτικό. Θα χρειαστείς Bolzano.

#8

Μαρία, όπως σου είπε και ο Μιχάλης, το καλύτερο είναι να επιχειρήσεις να δώσεις μια αυστηρή απόδειξη μόνη σου . Αφού διδάσκεις το μάθημα, σιγά σιγά και με υπομονή, αλλά και με τη δική μας βοήθεια, θα κατακτήσεις σε βάθος όλες αυτές τις δύσκολες και λεπτές έννοιες και θα πατάς καλά στα πόδια σου .

Σκέψου ότι τα ίδια ερωτήματα είχαμε και μεις πριν από 25-30 σχεδόν χρόνια, αλλά παλεύαμε μόνοι μας, γιατί τότε δεν υπήρχε η χαρά της διαδικτυακής επικοινωνίας που έχουμε τώρα, ώστε να ρωτήσουμε κάποιον . Κι όσα σου λέμε τώρα, δεν είναι γιατί είμαστε σοφοί ή πιο έξυπνοι , αλλά γιατί περάσαμε ατέλειωτες νύχτες προσπαθώντας να δώσουμε μόνοι μας ή με λίγους φίλους συναδέλφους από τις 11 μέχρι τις 3 τα μεσάνυχτα - όταν τελειώναμε τα φροντιστηριακά μας μαθήματα -αυστηρές απαντήσεις σε παρόμοια στριφνά ζητήματα.

Αυτή όμως η πορεία μάς κάνει να νοιώθουμε πολύ υπεύθυνοι και φιλικοί απέναντι σε όλους τους νέους συναδέλφους ,όπως εσύ, και να θέλουμε με ζήλο να βοηθήσουμε, γιατί μας θυμίζετε τα πρώτα μας βήματα και τις πρώτες αγωνίες να σταθούμε σωστά απέναντι στους μαθητές.Να συνεχίσεις λοιπόν να ρωτάς, χωρίς να διστάζεις, αλλά να θυμάσαι πάντα : δεν υπάρχει εύκολος δρόμος για την γνώση, παρά μόνο με σκληρό αγώνα. Χαίρομαι που αγωνίζεσαι και μελετάς με πείσμα και επιμονή.Σε λίγο καιρό, συνεχίζοντας με την ίδια επιμονή , δεν θα γνωρίζεις τον εαυτό σου. Κι όταν μελετάς να έχεις μπροστά σου τουλάχιστον τρία βιβλία, από τα οποία το ένα να είναι απαραίτητα πανεπιστημιακό !

Λοιπόν, ρίξε μια ματια στο παρακάτω θέμα και θα δεις γιατί ο Μιχάλης σού έκανε αυτή την υπόδειξη.Αξίζει να υιοθετήσεις την αυστηρή και σύντομη απόδειξη του Μιχάλη. Τα άλλα σχόλια θα σε βοηθήσουν να καταλάβεις που χρειάζεται η κάθε προϋπόθεση αυτής της πρότασης.

viewtopic.php?f=52&t=36679&p=169247

Μπάμπης

Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών απο ορια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών απο ορια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Re: Εύρεση συνόλου τιμών από όρια

Μέλη σε σύνδεση