Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0, + \infty ) \to \mathbb{R} }$ με $\displaystyle{{f^3}(x) + xf(x) = 1,}$ για κάθε $x \ge 0.$
Να βρείτε, αν υπάρχει το όριο: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x).}$

BAGGP93 · #2

Γεια σου Χρήστο. Παρατηρούμε ότι, αν το όριο υπάρχει, τότε από τη δοθείσα σχέση παίρνουμε ότι ισούται με τη μονάδα.

Για τον λόγο αυτό, θα φράξουμε την ποσότητα $\displaystyle{f(x)-1\,,x\geq 0}$ .

Για $\displaystyle{x>0}$ είναι :

$\displaystyle{f^3(x)+x\,f(x)=1\iff\left(f^3(x)-1\right)+x\,\left(f(x)-1\right)=-x\iff \left(f(x)-1\right)\,\left(f^2(x)+f(x)+1+x\right)=-x}$

όπου $\displaystyle{f^2(x)+f(x)+1+x=\left(f(x)+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}+x\geq \dfrac{3}{4}>0}$ και άρα :

$\displaystyle{\left|f(x)-1\right|=\dfrac{x}{f^2(x)+f(x)+1+x}\leq \dfrac{4}{3}\,x}$ .

Εφ' όσον, $\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{4}{3}\,x=0}$ , από το κριτήριο παρεμβολής, έχουμε ότι : $\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}\left(f(x)-1\right)=0}$

ή ισοδύναμα, $\displaystyle{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1}$ .

BAGGP93 · #3

Χρήστο, επίτρεψε μου να θέσω και γω ένα ερώτημα :

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)}$ .

Tolaso J Kos · #4

BAGGP93 έγραψε:Χρήστο, επίτρεψε μου να θέσω και γω ένα ερώτημα :

Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)}$ .

Γεια σας.
Έχουμε ότι:
$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{x+f^2(x)} \leq \frac{1}{x}, \;\; x>0}$ .
Επειδή $f(x)>0, \; x>0$ και επειδή $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ έχουμε αμέσως ότι $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ . (εφαρμόζοντας κριτήριο παρεμβολής)

Χρήστο αν μου επιτρέπεις να βάλω και άλλα δύο ερωτήματα:
γ.Να δείξετε ότι η

είναι συνεχής στο $[0, +\infty)$ .
δ.Να εξεταστεί αν υπάρχει αντίστροφη.

#5

Όλα τα παραπάνω ερωτήματα αντιμετωπίζονται (ομολογουμένως άκομψα) αν λύσουμε ως προς f(x)

την δοθείσα σχέση
$\displaystyle{{f^3}(x) + xf(x) = 1\, (*)$ . Καταγράφω για χάρη της ποικιλίας την μέθοδο που προτείνω.

Λύνοντας την (*)

θα βρούμε (στάνταρ μέθοδος)

$\displaystyle{f(x) = \frac {1}{6} \sqrt [3] {108 + 12 \sqrt {12x^3+81 } } - \frac {2x}{ \sqrt [3] {108 + 12 \sqrt {12x^3+81 }}}$

Τώρα είναι άμεσο το όριο $x\to 0+$ . Ισούται $\displaystyle{ \frac {1}{6} \sqrt [3] {108 + 12 \sqrt {81 } } - \frac {0}{ \sqrt [3] {108 + 12 \sqrt {81 }}}= 1$

Επίσης η συνέχεια της

είναι άμεση. Και τα άλλα δύο ερωτήματα αντιμετωπίζονται απλά, αν και οι πράξεις κάπως κοπιαστικές. Τις αφήνω (δεν τις έκανα λεπτομερώς). Πάντως η

είναι γνήσια φθίνουσα, άρα αντιστρέψιμη.

Φιλικά,

Μιχάλης

styt_geia · #6

Από την αρχική σχέση για x>0

και κοντά στο

είναι

$f(x)\left(f^2(x)+x\right)=1 \Rightarrow f(x)>0.$

Επομένως

$f^3(x)=1-xf(x) \leq 1 \Rightarrow f(x) \leq 1, \,\,(1).$

Λόγω της (1) έχουμε

$1=f^3(x)+xf(x) \leq f(x)+x \Rightarrow 1-x \leq f(x), \,\,(2).$

Από τις σχέσεις (1),(2) και το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+}f(x)=1.$

Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Re: Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Re: Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Re: Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Re: Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Re: Εύρεση ορίου σε "κρυφή" συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση