2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 2:18 pm

GI_V_ALG_2_17736

Δίνεται η παράσταση : \displaystyle{A=\frac{\eta\mu^2 x}{1-\sigma \upsilon \nu x}} με \displaystyle{x\ne 2\kappa \pi,~\kappa\in\mathbb Z}.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A=1+\sigma\upsilon\nu x}

β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{\frac{\eta\mu^2 x}{1-\sigma \upsilon \nu x}=\frac{1}{2}} στο διάστημα \displaystyle{(0,2\pi)}

Λύση

α) \displaystyle{A=\frac{\eta\mu^2 x}{1-\sigma \upsilon \nu x}=\frac{1-\sigma \upsilon \nu ^2 x}{1-\sigma \upsilon \nu x}=\frac{(1+\sigma \upsilon \nu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)}{1-\sigma \upsilon \nu x}=1+\sigma \upsilon \nu x}

β) Από το ερώτημα α), για \displaystyle{x\ne 2\kappa \pi,~\kappa\in\mathbb Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

\displaystyle{1+\sigma \upsilon \nu x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=-\frac{1}{2}=\sigma \upsilon \nu\frac{2\pi}{3}} και αφού \displaystyle{x\in (0,2\pi) }

έχουμε \displaystyle{x=\frac{2\pi}{3}~\acute{\eta}~x=\frac{4\pi}{3}} (δεκτές)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4426
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 11, 2014 5:51 pm

exdx έγραψε: GI_V_ALG_2_17650
(....)
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος \displaystyle{x\,\,cm}, πλάτος \displaystyle{y\,\,cm},

Επομένως οι διαστάσεις του είναι \displaystyle{x = 5,y = 14}
Γιώργη καλησπέρα.

Δεν το είδα αναλυτικά, αλλά αναρωτιέμαι αν είναι σωστό να βγει το μήκος πιο μικρό από το πλάτος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4426
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 11, 2014 6:05 pm

GI_V_ALG_2_17664

Δίνονται οι γωνίες \displaystyle  
\omega ,\;\theta για τις οποίες ισχύει:\displaystyle  
\omega  + \theta  = 135^\circ .
Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle  
\varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) =  - 1 (Μονάδες 10)
β) \displaystyle  
\varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta  + 1 = \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ:
α) Είναι \displaystyle  
\varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) = \varepsilon \phi 135^\circ  = \varepsilon \phi \left( {180^\circ  - 45^\circ } \right) =  - \varepsilon \phi 45^\circ  =  - 1

β) Για τις τιμές των \displaystyle  
\omega ,\;\theta , που ορίζονται οι \displaystyle  
\varepsilon \phi \omega ,\;\varepsilon \phi \theta , δηλαδή για \displaystyle  
\left\{ \begin{array}{l} 
 \omega  \ne \kappa  \cdot 180^\circ  + 90^\circ  \\  
 \theta  \ne \lambda  \cdot 180^\circ  + 90^\circ  \\  
 \omega  + \theta  = 135^\circ  \\  
 \end{array} \right.,\;\;\kappa ,\;\lambda  \in {\rm Z}
είναι
\displaystyle \varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{\varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta }}{{1 - \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta }} =  - 1 \Leftrightarrow \varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta  + 1 = \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta

ΣΧΟΛΙΟ:
Νομίζω ότι οι περιορισμοί που γράψαμε παραπάνω θα έπρεπε ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ είτε να ζητούνται (θα δυσκόλευε το θέμα) είτε να δίνονται στην εκφώνηση.


Επειδή παρατηρώ ότι στο φάκελο αυτό τις λύνουμε λιγάκι ανακατεμένες, μήπως θα μπορούσε κάποιος να γράψει ποιες απομένουν ;
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17664.doc
(32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 143 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Νοέμ 11, 2014 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4426
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 11, 2014 6:43 pm

GI_V_ALG_2_17688


Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle  
f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x^2  + 1}}

α) Να δείξετε ότι \displaystyle  
f\left( x \right) \le 1 . (Μονάδες 8)
β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ:

α) Είναι \displaystyle  
x^2  + 1 > 0, οπότε η \displaystyle  
f\left( x \right) έχει Πεδίο Ορισμού όλο το \displaystyle  
R.

Είναι \displaystyle  
f\left( x \right) \le 1 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x^2  + 1}} \le 1 \Leftrightarrow 2x \le x^2  + 1 \Leftrightarrow 0 \le x^2  - 2x + 1

\displaystyle  
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)^2  \ge 0 που ισχύει για κάθε \displaystyle  
x \in R με το ίσον να ισχύει όταν \displaystyle  
x = 1

β) Όπως δείξαμε παραπάνω είναι f(x) \le 1 \Leftrightarrow f(x) \le f(1), οπότε η f(x) έχει μέγιστο το 1, όταν x=1.

γ) Η \displaystyle  
f\left( x \right) έχει Π.Ο. όλο το R, οπότε για κάθε \displaystyle  
x \in R θα είναι και \displaystyle  
 - x \in R με \displaystyle  
f\left( { - x} \right) = \frac{{2\left( { - x} \right)}}{{\left( { - x} \right)^2  + 1}} =  - \frac{{2x}}{{x^2  + 1}} =  - f\left( x \right) , άρα η \displaystyle  
f\left( x \right) είναι περιττή.

edit: Έκανα μια διόρθωση - συμπλήρωση με υπόδειξη του Κώστα Τηλέγραφου, τον οποίο ευχαριστώ.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17688.doc
(46.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 168 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:41 am, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τρί Νοέμ 11, 2014 7:52 pm

Ετοιμάζω την 17692,17693
Να δηλώνει ο καθένας ποιά κάνει


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τρί Νοέμ 11, 2014 8:35 pm

ΘΕΜΑ 2-17692

α) Να αποδείξετε ότι: \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)+\sigma \upsilon \nu \left( \pi +x \right)=0 (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{x\in \left[ 0,2\pi  \right)} για τις οποίες ισχύει: \sigma \upsilon \nu x=-\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

Α) Ισχύει : \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-x \right)

( Αφού \left( \frac{\pi }{2}+ \right)+\left( \frac{\pi }{2}- \right)=\pi )
Όμως \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\sigma \upsilon \nu x
( γωνίες συμπληρωματικές )
Δηλαδή \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=\sigma \upsilon \nu x.

Ακόμη \sigma \upsilon \nu \left( \pi +x \right)=-\sigma \upsilon \nu x
(γωνίες που διαφέρουν κατά π )

Συνεπώς \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)+\sigma \upsilon \nu \left( \pi +x \right)=\sigma \upsilon \nu x-\sigma \upsilon \nu x=0

Β) Είναι \sigma \upsilon \nu x=-\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}+x \right)\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=-\sigma \upsilon \nu x ( Από το α ερώτημα )
\Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=0

\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow x=2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{2} , \kappa \in \mathbb{Z} .

Όμως \displaystyle{x\in \left[ 0,2\pi  \right)}, επομένως

\displaystyle{0\le 2\kappa \pi +\frac{\pi }{2}<2\pi \overset{\cdot 2}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le 4\kappa +<4}

\displaystyle{\Leftrightarrow 0\le 4\kappa +1<4\Leftrightarrow -1\le 4\kappa <3\Leftrightarrow \frac{-1}{4}\le \kappa <\frac{3}{4}} , με \kappa \in \mathbb{Z}

Άρα \kappa =0 και x=\frac{\pi }{2}

\displaystyle{0\le 2\kappa \pi -\frac{\pi }{2}<2\pi \overset{\cdot 2}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le 4\kappa -<4}

\displaystyle{\Leftrightarrow 0\le 4\kappa -1<4\Leftrightarrow 1\le 4\kappa <5\Leftrightarrow \frac{1}{4}\le \kappa <\frac{5}{4}}, με \kappa \in \mathbb{Z}

Άρα \kappa =1 και x=2\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}


ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΛΥΣΗ ( x=\frac{\pi }{2} ) ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π. Μ. ΤΟΥ dimkat
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Παρ Νοέμ 14, 2014 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8485
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 11, 2014 9:53 pm

GI_V_ALG_2_17656

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2x,x \in R}
α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f;
(Μονάδες 9)
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.
(Μονάδες 10)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας. (Μονάδες 6)

Λύση.

α) Η f έχει ελάχιστη τιμή \displaystyle{ - \frac{1}{2}} και μέγιστη τιμή \displaystyle{  \frac{1}{2}}. Κάθε τιμή της συνάρτησης επαναλαμβάνεται όταν το 2x

αυξηθεί κατά 2\pi, οπότε το x αυξάνεται κατά \pi. Επομένως η περίοδος της f είναι T=\pi.

β)
2_17656.png
2_17656.png (5.7 KiB) Προβλήθηκε 3483 φορές
γ) Η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή 1, επειδή έχει μέγιστη τιμή το \displaystyle{  \frac{1}{2}}. Αυτό άλλωστε φαίνεται και πιο πάνω στη γραφική παράσταση. Η f δεν μπορεί να πάρει τιμές εκτός του διαστήματος \displaystyle{\left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]}.

ΣΧΟΛΙΟ: Το β) ερώτημα είναι κάπως ασαφές. Το διάστημα πλάτους μιας περιόδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάστημα έχει πλάτος \pi, π. χ το \displaystyle{\left[ {\frac{{3\pi }}{4},\frac{{7\pi }}{4}} \right]}.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17656.docx
(138.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 150 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Νοέμ 11, 2014 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:08 pm

ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}.

β) \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
16(25-y)+14y=374 & \\  
x=25-y &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
y=13 & \\  
x=12 &  
\end{matrix}\right\}.

Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: 16 \cdot 12=192 καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: 14 \cdot 13=182 καθίσματα.
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 - 17717.docx
(24.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 142 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:22 pm

18632

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές C_f , C_g που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το \mathbb{R}. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα:
α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της C_f προκύπτει η C_g. (Μονάδες 15)
18632.JPG
18632.JPG (17.78 KiB) Προβλήθηκε 3486 φορές
Λύση

α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-\infty , -2] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [-2, +\infty)
Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για x=-2 την f(-2) = 3.

β) Παρατηρούμε ότι η C_g προκύπτει από την C_f, αν αυτή μετατοπιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες κάτω.
Δηλαδή: g(x) = f(x-4) -4 για κάθε x \in \mathbb{R}.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:45 pm

GI_V_ALG_2_17663

Αν 0<x<\frac{\pi }{2} και (2 \sigma\upsilon \nu x+1)\cdot (5 \sigma\upsilon \nu x-4)=0, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι \sigma\upsilon \nu x=\frac{4}{5}. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Αφού 0<x<\frac{\pi }{2} (1ο τεταρτημόριο), είναι \sigma\upsilon \nu x>0.

(2 \sigma\upsilon \nu x+1)\cdot (5 \sigma\upsilon \nu x-4)=0 \Leftrightarrow 2 \sigma\upsilon \nu x+1=0 ή 5 \sigma\upsilon \nu x-4=0 \Leftrightarrow \sigma\upsilon \nu x=-\frac{1}{2} ή \sigma\upsilon \nu x=\frac{4}{5}.

Αφού \sigma\upsilon \nu x>0, δεκτό είναι μόνο το \sigma\upsilon \nu x=\frac{4}{5}.

β) Ισχύει ότι \eta \mu ^{2}x+\sigma \upsilon \nu ^{2}x=1\Leftrightarrow \eta \mu ^{2}x + \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}=1\Leftrightarrow \eta \mu ^{2}x + \left  \frac{16}{25} \right =1 \Leftrightarrow \eta \mu ^{2}x =\frac{9}{25}.

Άρα \eta \mu x=\frac{3}{5} ή \eta \mu x=-\frac{3}{5}. Επειδή \eta \mu x>0, για κάθε x με 0<x<\frac{\pi }{2}, είναι τελικά \eta \mu x=\frac{3}{5}.

Επίσης \varepsilon \phi x=\frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4} και \sigma  \phi x=\frac{1}{\varepsilon \phi x}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:45 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Θοδωρής Καραμεσάλης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8485
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:10 pm

Νομίζω ότι απομένουν οι παρακάτω:

2_16954
2_17659
2_17681
2_17683
2_17698
2_17699
2_17703
2_17704
2_17709
2_17725


Ας το ελέγξει όμως και κάποιος άλλος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8485
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:13 pm

GI_V_ALG_2_17659

α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα \displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
y = {x^2} + 1\\ 
x - y =  - 1 
\end{array} \right.}
(Μονάδες 15)
β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α).
(Μονάδες 10)

Λύση.

α) \displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
y = {x^2} + 1\\ 
x - y =  - 1 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
y = {x^2} + 1\\ 
y = x + 1 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x + 1 = {x^2} + 1\\ 
y = x + 1 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x(x - 1) = 0\\ 
y = x + 1 
\end{array} \right. \Leftrightarrow }

(x=0,y=1) ή (x=1,y=2)

β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα σημεία τομής της παραβολής με εξίσωση y=x^2+1 και της ευθείας με εξίσωση y=x+1, όπως φαίνεται παρακάτω.
2_17659.png
2_17659.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 3445 φορές
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17659.docx
(142.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 136 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Νοέμ 11, 2014 11:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:27 pm

GI_V_ALG_2_17725

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\eta \mu (\pi-3x)+\sigma \upsilon \nu \left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}.

α) Να δείξετε ότι \displaystyle{f(x)=2\eta\mu 3x}

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f}.

Λύση

α) Έχουμε \displaystyle{\eta \mu (\pi-3x)=\eta \mu 3x} και \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\eta \mu 3x} άρα

με αντικατάσταση προκύπτει \displaystyle{f(x)=2\eta\mu 3x}.


β) Η συνάρτηση έχει μέγιστο \displaystyle{2}, ελάχιστο \displaystyle{-2} και περίοδο \displaystyle{T=\frac{2\pi}{3}}
Συνημμένα
17725.png
17725.png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 3450 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:31 pm

GI_V_ALG_2_17699

Δίνεται \eta \mu \phi =\frac{3}{5}, όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος.
Εικόνα
α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει \eta \mu^{2} \phi +\sigma \upsilon \nu ^{2}\phi =1\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}+\sigma \upsilon \nu ^{2}\phi =1 \Leftrightarrow \frac{9}{25}+\sigma \upsilon \nu ^{2}\phi =1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu ^{2}\phi = \frac{16}{25}

\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \phi =\frac{4}{5} ή \sigma \upsilon \nu \phi =-\frac{4}{5}.

Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι \sigma \upsilon \nu \phi >0 και επομένως \sigma \upsilon \nu \phi =\frac{4}{5}.

β) Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, οπότε \omega =\pi -\phi.

Έτσι \eta \mu \omega =\eta \mu(\pi -\phi )=\eta \mu \phi =\frac{3}{5} και \sigma \upsilon \nu \omega =\sigma \upsilon \nu (\pi -\phi )=-\sigma \upsilon \nu \phi  =-\frac{4}{5}.

Επίσης \theta =2\pi -\omega , οπότε

\eta \mu \theta = \eta \mu(2\pi -\omega )=\eta \mu( -\omega )=-\eta \mu \omega =-\frac{3}{5}

και \sigma \upsilon \nu  \theta = \sigma \upsilon \nu (2\pi -\omega )=\sigma \upsilon \nu ( -\omega )=\sigma \upsilon \nu  \omega =-\frac{4}{5} .


* Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν παρατηρούσαμε ότι \theta =\pi +\phi (ίσως να λυνόταν στο πι και φι)

* Μήπως τα θέματα της Β΄ Λυκείου (Άλγεβρας και Γεωμετρίας) είναι ευκολότερα από τα αντίστοιχα της Α΄ Λυκείου ή εμένα μου φαίνεται;
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:49 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Θοδωρής Καραμεσάλης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:39 pm

GI_V_ALG_2_17709

Δίνονται οι ευθείες \displaystyle{\epsilon_1:2x+y=5,~~\epsilon_2:-2x+3y=-9,~~\epsilon_1:3x+2y=7}

α) i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των \displaystyle{\epsilon_1,~\epsilon_2}

ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των \displaystyle{\epsilon_1,~\epsilon_3}

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των \displaystyle{\epsilon_2,~\epsilon_3} είναι σημείο της \displaystyle{\epsilon_1}

Λύση

α) i) Λύνουμε το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} ~~~2x+y=5\\-2x+3y=-9 \end{cases}}. Προσθέτουμε κατά μέλη : \displaystyle{4y=-4\Leftrightarrow y=-1}

και με αντικατάσταση στη 1η : \displaystyle{2x-1=5\Leftrightarrow x=3} άρα το σημείο τομής είναι το \displaystyle{A(3,-1)}.


ii) Λύνουμε το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 2x+y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}-4x-2y=-10\\3x+2y=7 \end{cases}}. Προσθέτουμε κατά μέλη : \displaystyle{-x=-3\Leftrightarrow x=3}

και με αντικατάσταση στη 1η : \displaystyle{6+y=5\Leftrightarrow y=-1} άρα το σημείο τομής είναι το \displaystyle{A(3,-1)}.


β) Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το \displaystyle{A(3,-1)}, άρα προφανώς το κοινό σημείο των \displaystyle{\epsilon_2,~\epsilon_3}

(που είναι μοναδικό αφού αυτές δεν είναι παράλληλες, ούτε συμπίπτουν) είναι σημείο της \displaystyle{\epsilon_1}

Edit : Tα μπλε. Ευχαριστώ τον dimkat για την επισήμανση
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Πέμ Δεκ 04, 2014 2:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:56 pm

GI_V_ALG_2_17683

Δίνεται το σύστημα : \displaystyle{\begin{cases} (\lambda+1)x+2y=3\\4x+(\lambda-1)y=-6 \end{cases}} με παράμετρο \displaystyle{\lambda \in \mathbb R}.

α) Αν \displaystyle{\lambda=-3}, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση.

β) Αν \displaystyle{\lambda=3}, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.

γ) Αν \displaystyle{\lambda=0}, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε.

Λύση

α) Για \displaystyle{\lambda=-3 } έχουμε \displaystyle{\begin{cases} -2x+2y=3\\4x-4y=-6 \end{cases}\Leftrightarrow y=x+\frac{3}{2},~x\in \mathbb R} (άπειρες λύσεις).

Για \displaystyle{x=\frac{1}{2}} έχουμε \displaystyle{y=2} άρα μια λύση είναι η \displaystyle{(x,y)=\left(\frac{1}{2},2\right)}.


β) Για \displaystyle{\lambda=3 } έχουμε \displaystyle{\begin{cases} 4x+2y=3\\4x+2y=-6 \end{cases} (αδύνατο).


γ) Για \displaystyle{\lambda=0 } έχουμε \displaystyle{\begin{cases} x+2y=3\\4x-y=-6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x+2y=3\\8x-2y=-12 \end{cases}. Προσθέτουμε κατά μέλη:

\displaystyle{9x=-9\Leftrightarrow x=-1} και με αντικατάσταση στην 1η : \displaystyle{-1+2y=3\Leftrightarrow y=2}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 12:04 am

GI_V_ALG_2_16954

Δίνεται η εξίσωση : \displaystyle{8x+2y=7~(1)}

α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1)

β) Να παραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.

Λύση

α) Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο, άρα επιλέγουμε π.χ. \displaystyle{8x+2y=11}

β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο
Συνημμένα
16954.png
16954.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 3430 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 12:08 am

Μένουν οι παρακάτω:

17681
17698
17703
17704


Γιώργος
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 1:13 am

ΘΕΜΑ 2-17693

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς:

\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6},\quad \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4},\quad \sigma \upsilon \nu \frac{17\pi }{10} (Μονάδες 12)

β) Αν \pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\frac{3\pi }{2} , να συγκρίνετε τους αριθμούς:

\displaystyle{\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{1}} \right),\quad \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{2}} \right)} (Μονάδες 13)



ΛΥΣΗ

Α) Κάνω αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο για το \sigma \upsilon \nu \frac{17\pi }{10}

Χρησιμοποιώντας διαδοχικά γωνίες που διαφέρουν κατά \pi

Και στην συνέχεια γωνίες που έχουν άθροισμα \pi παίρνουμε:

\sigma \upsilon \nu \frac{17\pi }{10}=\sigma \upsilon \nu \left( \pi +\frac{7\pi }{10} \right)=-\sigma \upsilon \nu \frac{7\pi }{10}=\sigma \upsilon \nu \frac{3\pi }{10}

( Αφού \frac{7\pi }{10}+\frac{3\pi }{10}=\pi )

Έτσι οι γωνίες \frac{\pi }{6},\quad \frac{\pi }{4},\quad \frac{3\pi }{10} ανήκουν στο διάστημα \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]

που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του \sigma \upsilon \nu είναι γνησίως φθίνουσα.

Επομένως: \frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{10}\Rightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6}>\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4}>\sigma \upsilon \nu \frac{3\pi }{10}

Β) Α ΤΡΟΠΟΣ

Ισχύει ότι \displaystyle{\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{1}} \right)=\sigma \upsilon \nu {{x}_{1}}} ( Γωνίες συμπληρωματικές )

Και \displaystyle{\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{2}} \right)=\sigma \upsilon \nu {{x}_{2}}} ( Γωνίες συμπληρωματικές )

Ισχύει ότι \pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\frac{3\pi }{2} δηλαδή {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right).

Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση του \sigma \upsilon \nu είναι γνησίως αύξουσα.

Επομένως: {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow \sigma \upsilon \nu {{x}_{1}}<\sigma \upsilon \nu {{x}_{2}}\Leftrightarrow \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{1}} \right)<\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{2}} \right)

Β ΤΡΟΠΟΣ

Αφού \pi <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\frac{3\pi }{2}\overset{\cdot \left( -1 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,-\pi >-{{x}_{1}}>-{{x}_{2}}>-\frac{3\pi }{2}

\overset{+\frac{\pi }{2}}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\frac{\pi }{2}-\pi >\frac{\pi }{2}-{{x}_{1}}>\frac{\pi }{2}-{{x}_{2}}>\frac{\pi }{2}- 
\frac{3\pi }{2}
\Leftrightarrow -\frac{\pi }{2}>\frac{\pi }{2}-{{x}_{1}}>\frac{\pi }{2}-{{x}_{2}}>-\pi

Άρα οι γωνίες \displaystyle{\frac{\pi }{2}-{{x}_{1}},\quad \frac{\pi }{2}-{{x}_{2}}}

ανήκουν στο διάστημα \left( -\pi ,-\frac{\pi }{2} \right)

που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του \eta \mu είναι γνησίως φθίνουσα.

Επομένως: \frac{\pi }{2}-{{x}_{1}}>\frac{\pi }{2}-{{x}_{2}}\Leftrightarrow \eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{1}} \right)<\eta \mu \left( \frac{\pi }{2}-{{x}_{2}} \right).
Συνημμένα
2_ 17692 , 17693.docx
(95.87 KiB) Μεταφορτώθηκε 121 φορές
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Παρ Νοέμ 14, 2014 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 9:18 am

GI_V_ALG_2_17681

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=2\eta\mu x+1,~x\in\mathbb R}

α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της \displaystyle{f}

β) Για ποια τιμή του \displaystyle{x\in[0,2\pi]} η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;

Λύση

α) H συνάρτηση \displaystyle{g(x)=2\eta\mu x} έχει ελάχιστη τιμή \displaystyle{-2} και μέγιστη \displaystyle{2}, άρα η \displaystyle{f(x)=g(x)+1}

θα έχει ελάχιστη τιμή \displaystyle{-2+1=-1} και μέγιστη \displaystyle{2+1=3}.

β) Έχουμε \displaystyle{f(x)=3\Leftrightarrow 2\eta\mu x+1=3\Leftrightarrow 2\eta\mu x=2\Leftrightarrow \eta\mu x=1=\eta\mu \frac{\pi}{2} }

και αφού \displaystyle{x\in[0,2\pi]} έχουμε \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες