4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

pap65 · #21

Ετοιμάζω το 19027 (της ντροπής )

pap65 · #22

Υποβάλω την 19027 σε word , είχα ένα μικρό πρόβλημα με τ ο Latex. Θα το λύσω πιστεύω.

pap65 · #23

Έτοιμο και το Latex

ΘΕΜΑ 19027

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, ώστε $\frac{A\Delta }{AB}=\frac{AE}{A\Gamma }=\frac{1}{3}$ . Από το σημείο Α φέρνουμε ευθεία (ε) παράλληλη στη ΒΓ.

Η ευθεία (ε) τέμνει τις προεκτάσεις των ΒΕ και ΓΔ στα σημεία Ζ, Η αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:
α) $\displaystyle{\Delta E//\Gamma B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ (Μονάδες 5)

β) $ZE=\frac{1}{2}EB$ (Μονάδες 7)

γ) $AZ=\frac{1}{2}B\Gamma$ (Μονάδες 7)

δ) $\displaystyle{\left( BHZ \right)=2\left( ABZ \right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$ (Μονάδες 6)

: 19027.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 5121 φορές

ΛΥΣΗ

Α) Οι ευθείες $HZ//B\Gamma$ και ακόμη $HZ,\Delta E$ και $B\Gamma$ τέμνουν τις

και $A\Gamma$ και ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα, αφού ισχύει $\frac{A\Delta }{AB}=\frac{AE}{A\Gamma }$ .

Επομέμως από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή προκύπτει $\displaystyle{\Delta E//\Gamma B//AZ~}$ .

Β) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Θαλή για τις παράλληλες $\displaystyle{\Delta E,AZ~}$ $B\Gamma$ και που τέμνουν τις

και

παίρνομε τις αναλογίες:

$\frac{A\Delta }{AB}=\frac{ZE}{ZB}\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{ZE}{ZB}\Leftrightarrow ZB=3ZE$

$\Leftrightarrow ZE+EB=3ZE\Leftrightarrow EB=2ZE\Leftrightarrow ZE=\frac{1}{2}EB$ .

Γ) Το τρίγωνο EAZ

ορίζεται από την προέκταση των πλευρών

και $E\Gamma$ του τριγώνου $AE\Gamma$
και την

που είναι παράλληλη προς την τρίτη του πλευρά $B\Gamma$ .

Έτσι σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα οι πλευρές των δύο τριγώνων θα είναι ανάλογες.

Δηλαδή $\frac{ZE}{EB}=\frac{AZ}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{AZ}{\Beta \Gamma }\Leftrightarrow A\Gamma =\frac{1}{2}B\Gamma$ . (1)

Δ) Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\Delta HA$ και $\Delta B\Gamma$ έχουν πλευρές ανάλογες.

Δηλαδή $\frac{A\Delta }{\Delta B}=\frac{HA}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{\Delta B+A\Delta }=\frac{HA}{B\Gamma +HA}\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{AB}=\frac{HA}{B\Gamma +HA}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{HA}{B\Gamma +HA}\Leftrightarrow B\Gamma +HA=3HA\Leftrightarrow HA=\frac{1}{2}B\Gamma$ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι HA=AZ

.

Επομένως στο τρίγωνο BHZ

η

αποτελεί διάμεσο και χωρίζει το τρίγωνο

( σύμφωνα με εφαρμογή του βιβλίου ) σε δύο τρίγωνα ίδιου εμβαδού .

$\displaystyle{\left( ABZ \right)~=\left( AHB \right)~}$ .

Άρα $\displaystyle{\left( BHZ \right)=\left( ABZ \right)~+~\left( AHB \right)~=2\left( ABZ \right)~~}$

pap65 · #24

Ετοιμάζω την 4_19020
Νομίζω είναι η τελευταία

pap65 · #25

ΠΡΟΣΟΧΗ!!

Συνάδελφοι θα ήθελα την γνώμη σας. Δεν βλέπω σε τι εξυπηρετεί το ερώτημα β .
Ένας μαθητής μπορεί να υπολογίσει ταυτόχρονα την απόσταση ΚΕ και να δείξει ότι αυτή είναι ανεξάρτητη της απόστασης ΑΒ .
Προφανώς και μπορεί να υπολογισθεί το ΚΕ κάνοντας χρήση του ΑΒ= 10 ( καταχρηστικά ) .
Επίσης το στοιχείο ΚΖ = 4 είναι σε κάθε περίπτωση παντελώς άχρηστο.

ΘΕΜΑ 4_19020

Σε δυο σημεία ενός ευθύγραμμου δρόμου ΑΒ βρίσκονται δύο κατακόρυφοι στύλοι ύψους 2 και 3 μέτρων αντίστοιχα.
Χρησιμοποιούμε δυο σύρματα για να ενώσουμε την κορυφή του καθενός με τη βάση του άλλου, ώστε τα δυο σύρματα να διασταυρώνονται σε ένα σημείο Κ (σχήμα).

: 19020 -1.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 5084 φορές

α) Να βρείτε τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων που σχηματίζονται.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Προκειμένου να μετρήσουμε πόσο απέχει από το έδαφος το σημείο Κ στο οποίο διασταυρώνονται τα σύρματα, μετρήσαμε την απόσταση του Κ από τον μικρότερο στύλο και τον βρήκαμε 4 μέτρα. Αν η απόσταση ΑΒ των στήλων ήταν 10 μέτρα, πόσο απείχε το σημείο Κ από το έδαφος; (Μονάδες 9)

γ) Δείξτε ότι όποια και αν είναι η απόσταση ΑΒ που απέχουν οι δύο στύλοι μεταξύ τους, η απόσταση του Κ , όπου διασταυρώνονται τα δύο σύρματα από το έδαφος, θα είναι η ίδια. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

Α) Στο αρχικό Σχήμα σχηματίζεται ένα ζεύγος όμοιων τριγώνων.

Είναι τα $AK\Gamma$ και $KB\Delta$ .

Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες. Εδώ μας αρκούν οι δύο γωνίες :

• ${{\widehat{K}}_{1}}={{\widehat{K}}_{2}}$ ως κατά κορυφήν. Και

• $\widehat{KA\Gamma }=\widehat{B\Delta K}$ ως εντός εναλλάξ των παράλληλων στυλών $AE,B\Delta$ με την τέμνουσα $A\Delta$

: 19020 -2.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 5084 φορές

Β)

Γ) Καταρχήν πρέπει να πούμε ότι αφού οι στύλοι είναι κατακόρυφοι, οι γωνίες $\widehat{A}=\widehat{B}={{90}^{0}}$ .

Αν φέρουμε από το

κάθετη στην $A\Gamma$ αυτή θα τέμνει κάθετα και την παράλληλή της $B\Delta$ .

Έτσι το ABHZ

είναι ορθογώνιο , καθώς έχει 4 ορθές γωνίες .

Συνεπώς AZ=BH

.

Ακόμη η κάθετη απόσταση του

από το έδαφος $B\Gamma$ θα είναι ίση με τις AZ,BH

αφού το $\Kappa \Epsilon \Alpha \Zeta$ είναι επίσης ορθογώνιο.

Επομένως KE=AZ=BH=x

Τα τρίγωνα $KZA,KH\Delta$ είναι όμοια αφού έχουν

• $\widehat{Z}=\widehat{H}={{90}^{0}}$

• $\widehat{KA\Gamma }=\widehat{B\Delta K}$

Άρα θα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες

$\displaystyle{\frac{AZ}{\Delta Z}=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{x}{3-x}=\frac{AK}{\Delta K}}$ (1)

Όμως από στο α ερώτημα δείξαμε ότι $AK\Gamma$ και $KB\Delta$ είναι επίσης όμοια.

Συνεπώς $\frac{A\Gamma }{B\Delta }=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{2}{3}=\frac{AK}{\Delta K}$ ( 2 )

Από (1) και ( 2) έχουμε $\displaystyle{\frac{x}{3-x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3x=2\left( 3-x \right)\Leftrightarrow 3x=6-2x}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 5x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}}$

Δείξαμε δηλαδή ότι $KE=\frac{6}{5}=1,2$ μέτρα , ανεξάρτητα από την απόσταση των δύο στύλων.

(Δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά το στοιχείο AB=10

)

KARKAR · #26

: 19020.png (5.38 KiB) Προβλήθηκε 5048 φορές

Είναι $\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{k}{k+m} , \frac{x}{2}=\frac{m}{k+m}$ και προσθέτοντας :

$\displaystyle \frac{x}{3}+ \frac{x}{2}=1\Leftrightarrow \frac{5x}{6}=1\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}$

#27

Οι εκφωνήσεις του 4ου θέμοτος σε word

pap65 · #28

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ
ΘΕΜΑ 4_19020

Γενικά αν οι δύο στύλοι έχουν μήκος $\alpha$ και $\beta$ ( σχήμα )

[attachment=1]19020 -2 - Αντίγραφο.png[/attachment]

από τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων

$KZA,KH\Delta$ και $AK\Gamma$ , $KB\Delta$

Όπως αποδείχθηκαν παραπάνω προκύπτουν οι αναλογίες :

$\displaystyle{\frac{AZ}{\Delta Z}=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{x}{\beta -x}=\frac{AK}{\Delta K}}$ (1)

$\frac{A\Gamma }{B\Delta }=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{AK}{\Delta K}$ ( 2 )

Από (1) και ( 2) έχουμε

$\displaystyle{\frac{x}{\beta -x}=\frac{\alpha }{\beta }\Leftrightarrow \beta x=\alpha \left( \beta -x \right)\Leftrightarrow \beta x=\alpha \beta -\alpha x}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta \right)x=\alpha \beta \Leftrightarrow x=\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta }}$

Επομένως η ζητούμενη απόσταση είναι σταθερή και εξαρτάται

απο τις διαστάσεις των δύο στύλων και όχι από την μεταξύ τους απόσταση.

Όμως το πρόβλημα με το β ερώτημα παραμένει.

Αν ένας μαθητής απαντήσει απευθείας στο γ ερώτημα , τι γίνεται;

KARKAR · #29

Το θέμα αυτό είναι το διάσημο πρόβλημα "Crossed Ladders " , δείτε π.χ. εδώ

#30

Η πρώτη ανάρτηση του 4ου θέματος.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=752

pap65 · #31

Υποβάλλω ξανά ( και σε WORD ) την ωραία εναλλακτική λύση του KARKAR
για το Θέμα 19020.

Σε μια επόμενη έκδοση του Χρήστου Τσιφάκη θα μπορούσε να ενσωματωθεί

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ

[attachment=1]19020 -2 - ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ.png[/attachment]

Φέρνω $KE\bot AB$ . Επομένως $KE//A\Gamma //B\Delta$ .

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και είναι όμοια αφού έχουν τουλάχιστον δύο γωνίες ίσες

( $\widehat{A}=\widehat{E}$ και $\widehat{B}$ κοινή )

Επομένως παίρνουμε την αναλογία : $\frac{KE}{A\Gamma }=\frac{EB}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{EB}{AB}\quad \left( 1 \right)$

Με τον ίδιο τρόπο, από τα όμοια τρίγωνα $AB\Delta$ και

παίρνουμε την αναλογία : $\frac{KE}{\Delta B}=\frac{AE}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{AE}{AB}\quad \left( 2 \right)$

Προσθέτοντας τις σχέσεις ( 1) και ( 2) παίρνουμε:

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{AE}{AB}+\frac{EB}{AB}\Leftrightarrow \quad \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{AB}{AB}=1$

$\Leftrightarrow \quad 3x+2x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}=1,2$

#32

ανεβάζω το νέο αρχείο

denTsoyk · #33

Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του

Έχω βρει μια ασάφεια στο θέμα 19016. Στο πού θα μπούνε τα σημεία Δ και Ε. Σύμφωνα με την εκφώνηση, το γ ερώτημα θα μπορούσε να είχε θετική απάντηση, ενώ από το σχήμα όχι. Πιθανόν κάποιο σφάλμα στην εκφώνηση.
Τέλος να πω και εγώ μια γνώμη για το θέμα 19020. Ίσως το β ερώτημα να είναι για να πάρουν κανένα βαθμό και οι πιο αδύνατοι μαθητές. Γιατί λύνεται με μια απλή αναλογία. Οι καλοί μαθητές θα λύσουν και το β ερώτημα και το γ.
ΥΓ: Πολύ καλή δουλειά από όλους!!!

Antonis_A · #34

Συγνώμη αλλά το θέμα 19020, έχει "πρόβλημα" και στο α) ερώτημα. Το αρχικό σχήμα δεν έχει γράμμα σε όλες τις κορυφές. Πρώτο ατόπημα, εντελώς εκτός πνεύματος. Που έχουμε ξαναδεί (πόσο μάλλον ο μαθητής...) να δίνεται σχήμα στο οποίο ο μαθητής πρέπει να ονοματίσει τις κορυφές. Μικρό το κακό θα μου πείτε και θα συμφωνίσω. Όμως υπάρχει κάποιος λόγος που δεν δίνονται όλες οι κορυφές; Προκαλεί άσκοπη σύγχηση χωρίς να παράγει τίποτα ουσιαστικό. Το δεύτερο κομμάτι που βλέπω "εκτός πνεύματος" είναι η διατύπωση του ερωτήματος. Χρειάζεται να δικαιολογηθεί ότι τα τρίγωνα ΚΑΓ, ΚΒΔ είναι όμοια, όπως βλέπουμε στις απαντήσεις που δόθηκαν εδώ. Πρέπει όμως πρώτα ο λύτης να περάσει απο την περιπέτεια του να δεί ότι τα 5 σχηματισμένα τρίγωνα δίνουν 10 πιθανά ζεύγη για σύγκριση. Για κάθε ζεύγος χρειάζεται να σκεφτεί αν είναι ή δεν είναι όμοια. Για κάποια απο τα ζεύγη δεν είναι προφανής η αιτολόγηση -και διατύπωση- ότι δεν είναι όμοια. Η άσκηση μπορεί να είναι καλή για κάποιο διαγωνισμό (γυμνασίου;) αλλά δεν νομίζω ότι είναι κατάλληλη (υπο αυτή την διατύπωση) για εξετάσεις.

Φυσικά τίθεται το θέμα ότι ένας μαθητής που θα συγκρίνει τα δύο σωστά τρίγωνα και θα τα βρεί όμοια, θα βαθμολογηθεί το ίδιο με τον μαθητή που θα δικαιολογήσει και όλους τους υπόλοιπους συνδιασμούς.
Είναι πλήρης απάντηση του ερωτήματος αν δοθεί μόνο το ζεύγος των ομοίων;

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #35

Καλημέρα. Κοιτάζοντας τις ασκήσεις του 4ου θέματος, βρήκα την 4-18985 η οποία έχει μία κακώς διατυπωμένη εκφώνηση. Λύνοντάς την στην τάξη για να τονίσω το λάθος, είδα ότι οι μαθητές δεν καταλάβαιναν, βεβαίως, τι ακριβώς ήθελε να εξετάσεικαι. Στο συννημένο Έχω την δυσαρμονία της και την πρόταση αλλαγής

xrysa1988 · #36

Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?

#37

xrysa1988 έγραψε:Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?

Αγαπητή Χρύσα, τα ύψη θα μπορούσαν να τέμνονται και εξωτερικά.

Το ότι η γωνία

είναι οξεία προκύπτει από τη συνθήκη του δεύτερου ερωτήματος.

Πάντως, νομίζω ότι το ερώτημα αυτό θα έπρεπε να προηγείται, ώστε κατόπιν η μελέτη να γίνει σε οξυγώνιο.

#38

xrysa1988 έγραψε:Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?

Καλημέρα!
Μόνο αν η γωνία

είναι οξεία, αλλιώς αν είναι αμβλεία τα ύψη τέμνονται έξω από το τρίγωνο ή αν είναι ορθή πάνω στην κορυφή

. Δες το παρακάτω σχήμα.

: 19037.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 4593 φορές

Βλέπω ότι ήδη απάντησε ο Γιώργος Ρίζος, τον οποίο και καλημερίζω.

#39

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλημέρα. Κοιτάζοντας τις ασκήσεις του 4ου θέματος, βρήκα την 4-18985 η οποία έχει μία κακώς διατυπωμένη εκφώνηση. Λύνοντάς την στην τάξη για να τονίσω το λάθος, είδα ότι οι μαθητές δεν καταλάβαιναν, βεβαίως, τι ακριβώς ήθελε να εξετάσεικαι. Στο συννημένο Έχω την δυσαρμονία της και την πρόταση αλλαγής

ΑΛΛΑΞΑ ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΜΕ ΑΥΤΗΝ ΠΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΕΙ Ο ΓΙΩΡΓΟΣ
και περιμένουμε την απόφαση της επιτροπής

xrysa1988 · #40

Eυχαριστώ πολύ , έχετε δίκιο! είδα την εκφώνηση από εδώ και νόμιζα ότι το σχήμα ήταν στην εκφώνηση, γι αυτό απόρησα.

4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση