2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17736
Δίνεται η παράσταση : με .
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα
Λύση
α)
β) Από το ερώτημα α), για η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
και αφού
έχουμε (δεκτές)
Δίνεται η παράσταση : με .
α) Να αποδείξετε ότι
β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα
Λύση
α)
β) Από το ερώτημα α), για η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την
και αφού
έχουμε (δεκτές)
Γιώργος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Γιώργη καλησπέρα.exdx έγραψε: GI_V_ALG_2_17650
(....)
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος , πλάτος ,
Επομένως οι διαστάσεις του είναι
Δεν το είδα αναλυτικά, αλλά αναρωτιέμαι αν είναι σωστό να βγει το μήκος πιο μικρό από το πλάτος.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17664
Δίνονται οι γωνίες για τις οποίες ισχύει: .
Να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 10)
β) (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι
β) Για τις τιμές των , που ορίζονται οι , δηλαδή για
είναι
ΣΧΟΛΙΟ:
Νομίζω ότι οι περιορισμοί που γράψαμε παραπάνω θα έπρεπε ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ είτε να ζητούνται (θα δυσκόλευε το θέμα) είτε να δίνονται στην εκφώνηση.
Επειδή παρατηρώ ότι στο φάκελο αυτό τις λύνουμε λιγάκι ανακατεμένες, μήπως θα μπορούσε κάποιος να γράψει ποιες απομένουν ;
Δίνονται οι γωνίες για τις οποίες ισχύει: .
Να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 10)
β) (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι
β) Για τις τιμές των , που ορίζονται οι , δηλαδή για
είναι
ΣΧΟΛΙΟ:
Νομίζω ότι οι περιορισμοί που γράψαμε παραπάνω θα έπρεπε ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ είτε να ζητούνται (θα δυσκόλευε το θέμα) είτε να δίνονται στην εκφώνηση.
Επειδή παρατηρώ ότι στο φάκελο αυτό τις λύνουμε λιγάκι ανακατεμένες, μήπως θα μπορούσε κάποιος να γράψει ποιες απομένουν ;
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17664.doc
- (32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 190 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Νοέμ 11, 2014 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17688
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να δείξετε ότι . (Μονάδες 8)
β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι , οπότε η έχει Πεδίο Ορισμού όλο το .
Είναι
που ισχύει για κάθε με το ίσον να ισχύει όταν
β) Όπως δείξαμε παραπάνω είναι , οπότε η έχει μέγιστο το , όταν .
γ) Η έχει Π.Ο. όλο το , οπότε για κάθε θα είναι και με , άρα η είναι περιττή.
edit: Έκανα μια διόρθωση - συμπλήρωση με υπόδειξη του Κώστα Τηλέγραφου, τον οποίο ευχαριστώ.
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να δείξετε ότι . (Μονάδες 8)
β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι , οπότε η έχει Πεδίο Ορισμού όλο το .
Είναι
που ισχύει για κάθε με το ίσον να ισχύει όταν
β) Όπως δείξαμε παραπάνω είναι , οπότε η έχει μέγιστο το , όταν .
γ) Η έχει Π.Ο. όλο το , οπότε για κάθε θα είναι και με , άρα η είναι περιττή.
edit: Έκανα μια διόρθωση - συμπλήρωση με υπόδειξη του Κώστα Τηλέγραφου, τον οποίο ευχαριστώ.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17688.doc
- (46.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 218 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:41 am, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Ετοιμάζω την 17692,17693
Να δηλώνει ο καθένας ποιά κάνει
Να δηλώνει ο καθένας ποιά κάνει
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 2-17692
α) Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει:
(Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
Α) Ισχύει :
( Αφού )
Όμως
( γωνίες συμπληρωματικές )
Δηλαδή .
Ακόμη
(γωνίες που διαφέρουν κατά π )
Συνεπώς
Β) Είναι ( Από το α ερώτημα )
, .
Όμως , επομένως
•
, με
Άρα και
•
, με
Άρα και
ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΛΥΣΗ ( ) ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π. Μ. ΤΟΥ dimkat
α) Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει:
(Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
Α) Ισχύει :
( Αφού )
Όμως
( γωνίες συμπληρωματικές )
Δηλαδή .
Ακόμη
(γωνίες που διαφέρουν κατά π )
Συνεπώς
Β) Είναι ( Από το α ερώτημα )
, .
Όμως , επομένως
•
, με
Άρα και
•
, με
Άρα και
ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΛΥΣΗ ( ) ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π. Μ. ΤΟΥ dimkat
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Παρ Νοέμ 14, 2014 3:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17656
Δίνεται η συνάρτηση
α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της ;
(Μονάδες )
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.
(Μονάδες 10)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή . Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας. (Μονάδες )
Λύση.
α) Η έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη τιμή . Κάθε τιμή της συνάρτησης επαναλαμβάνεται όταν το
αυξηθεί κατά , οπότε το αυξάνεται κατά . Επομένως η περίοδος της είναι .
β) γ) Η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή , επειδή έχει μέγιστη τιμή το . Αυτό άλλωστε φαίνεται και πιο πάνω στη γραφική παράσταση. Η δεν μπορεί να πάρει τιμές εκτός του διαστήματος .
ΣΧΟΛΙΟ: Το β) ερώτημα είναι κάπως ασαφές. Το διάστημα πλάτους μιας περιόδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάστημα έχει πλάτος , π. χ το .
Δίνεται η συνάρτηση
α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της ;
(Μονάδες )
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου.
(Μονάδες 10)
γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή . Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας. (Μονάδες )
Λύση.
α) Η έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη τιμή . Κάθε τιμή της συνάρτησης επαναλαμβάνεται όταν το
αυξηθεί κατά , οπότε το αυξάνεται κατά . Επομένως η περίοδος της είναι .
β) γ) Η συνάρτηση δεν μπορεί να πάρει την τιμή , επειδή έχει μέγιστη τιμή το . Αυτό άλλωστε φαίνεται και πιο πάνω στη γραφική παράσταση. Η δεν μπορεί να πάρει τιμές εκτός του διαστήματος .
ΣΧΟΛΙΟ: Το β) ερώτημα είναι κάπως ασαφές. Το διάστημα πλάτους μιας περιόδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάστημα έχει πλάτος , π. χ το .
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17656.docx
- (138.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 200 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Νοέμ 11, 2014 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι .
β) .
Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: καθίσματα.
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι .
β) .
Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: καθίσματα.
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 2 - 17717.docx
- (24.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 188 φορές
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
18632
Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το . Η γραφική παράσταση της προκύπτει από τη γραφική παράσταση της με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα:
α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της και την τιμή του. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της προκύπτει η . (Μονάδες 15)
Λύση
α) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για την .
β) Παρατηρούμε ότι η προκύπτει από την , αν αυτή μετατοπιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες κάτω.
Δηλαδή: για κάθε .
Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το . Η γραφική παράσταση της προκύπτει από τη γραφική παράσταση της με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα:
α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της και την τιμή του. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της προκύπτει η . (Μονάδες 15)
Λύση
α) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα
Παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για την .
β) Παρατηρούμε ότι η προκύπτει από την , αν αυτή μετατοπιστεί κατά 4 μονάδες δεξιά και 4 μονάδες κάτω.
Δηλαδή: για κάθε .
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17663
Αν και , τότε:
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Αφού (1ο τεταρτημόριο), είναι .
ή ή .
Αφού , δεκτό είναι μόνο το .
β) Ισχύει ότι .
Άρα ή . Επειδή , για κάθε x με , είναι τελικά .
Επίσης και .
Αν και , τότε:
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Αφού (1ο τεταρτημόριο), είναι .
ή ή .
Αφού , δεκτό είναι μόνο το .
β) Ισχύει ότι .
Άρα ή . Επειδή , για κάθε x με , είναι τελικά .
Επίσης και .
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:45 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Θοδωρής Καραμεσάλης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Νομίζω ότι απομένουν οι παρακάτω:
2_16954
2_17659
2_17681
2_17683
2_17698
2_17699
2_17703
2_17704
2_17709
2_17725
Ας το ελέγξει όμως και κάποιος άλλος.
2_16954
2_17659
2_17681
2_17683
2_17698
2_17699
2_17703
2_17704
2_17709
2_17725
Ας το ελέγξει όμως και κάποιος άλλος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17659
α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα
(Μονάδες )
β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α).
(Μονάδες )
Λύση.
α)
ή
β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα σημεία τομής της παραβολής με εξίσωση και της ευθείας με εξίσωση , όπως φαίνεται παρακάτω.
α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα
(Μονάδες )
β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α).
(Μονάδες )
Λύση.
α)
ή
β) Οι λύσεις του συστήματος είναι τα σημεία τομής της παραβολής με εξίσωση και της ευθείας με εξίσωση , όπως φαίνεται παρακάτω.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17659.docx
- (142.13 KiB) Μεταφορτώθηκε 196 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Νοέμ 11, 2014 11:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17725
Δίνεται η συνάρτηση .
α) Να δείξετε ότι
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
Λύση
α) Έχουμε και άρα
με αντικατάσταση προκύπτει .
β) Η συνάρτηση έχει μέγιστο , ελάχιστο και περίοδο
Δίνεται η συνάρτηση .
α) Να δείξετε ότι
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της .
Λύση
α) Έχουμε και άρα
με αντικατάσταση προκύπτει .
β) Η συνάρτηση έχει μέγιστο , ελάχιστο και περίοδο
- Συνημμένα
-
- 17725.png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 5470 φορές
Γιώργος
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17699
Δίνεται , όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος.
α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Ισχύει
ή .
Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι και επομένως .
β) Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, οπότε .
Έτσι και .
Επίσης , οπότε
και .
* Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν παρατηρούσαμε ότι (ίσως να λυνόταν στο πι και φι)
* Μήπως τα θέματα της Β΄ Λυκείου (Άλγεβρας και Γεωμετρίας) είναι ευκολότερα από τα αντίστοιχα της Α΄ Λυκείου ή εμένα μου φαίνεται;
Δίνεται , όπου φ η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος.
α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Ισχύει
ή .
Αφού η γωνία φ είναι οξεία, είναι και επομένως .
β) Παρατηρούμε ότι η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, οπότε .
Έτσι και .
Επίσης , οπότε
και .
* Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν παρατηρούσαμε ότι (ίσως να λυνόταν στο πι και φι)
* Μήπως τα θέματα της Β΄ Λυκείου (Άλγεβρας και Γεωμετρίας) είναι ευκολότερα από τα αντίστοιχα της Α΄ Λυκείου ή εμένα μου φαίνεται;
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Τετ Νοέμ 12, 2014 12:49 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Θοδωρής Καραμεσάλης
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17709
Δίνονται οι ευθείες
α) i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των
ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των είναι σημείο της
Λύση
α) i) Λύνουμε το σύστημα . Προσθέτουμε κατά μέλη :
και με αντικατάσταση στη 1η : άρα το σημείο τομής είναι το .
ii) Λύνουμε το σύστημα . Προσθέτουμε κατά μέλη :
και με αντικατάσταση στη 1η : άρα το σημείο τομής είναι το .
β) Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το , άρα προφανώς το κοινό σημείο των
(που είναι μοναδικό αφού αυτές δεν είναι παράλληλες, ούτε συμπίπτουν) είναι σημείο της
Edit : Tα μπλε. Ευχαριστώ τον dimkat για την επισήμανση
Δίνονται οι ευθείες
α) i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των
ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να δείξετε ότι το κοινό σημείο των είναι σημείο της
Λύση
α) i) Λύνουμε το σύστημα . Προσθέτουμε κατά μέλη :
και με αντικατάσταση στη 1η : άρα το σημείο τομής είναι το .
ii) Λύνουμε το σύστημα . Προσθέτουμε κατά μέλη :
και με αντικατάσταση στη 1η : άρα το σημείο τομής είναι το .
β) Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν κοινό σημείο το , άρα προφανώς το κοινό σημείο των
(που είναι μοναδικό αφού αυτές δεν είναι παράλληλες, ούτε συμπίπτουν) είναι σημείο της
Edit : Tα μπλε. Ευχαριστώ τον dimkat για την επισήμανση
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Πέμ Δεκ 04, 2014 2:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17683
Δίνεται το σύστημα : με παράμετρο .
α) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση.
β) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.
γ) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε.
Λύση
α) Για έχουμε (άπειρες λύσεις).
Για έχουμε άρα μια λύση είναι η .
β) Για έχουμε (αδύνατο).
γ) Για έχουμε . Προσθέτουμε κατά μέλη:
και με αντικατάσταση στην 1η :
Δίνεται το σύστημα : με παράμετρο .
α) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μία λύση.
β) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο.
γ) Αν , να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε.
Λύση
α) Για έχουμε (άπειρες λύσεις).
Για έχουμε άρα μια λύση είναι η .
β) Για έχουμε (αδύνατο).
γ) Για έχουμε . Προσθέτουμε κατά μέλη:
και με αντικατάσταση στην 1η :
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_16954
Δίνεται η εξίσωση :
α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1)
β) Να παραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
Λύση
α) Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο, άρα επιλέγουμε π.χ.
β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο
Δίνεται η εξίσωση :
α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1)
β) Να παραστήσετε γραφικά τις δύο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
Λύση
α) Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο, άρα επιλέγουμε π.χ.
β) Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο
- Συνημμένα
-
- 16954.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 5450 φορές
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 2-17693
α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς:
(Μονάδες 12)
β) Αν , να συγκρίνετε τους αριθμούς:
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Α) Κάνω αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο για το
Χρησιμοποιώντας διαδοχικά γωνίες που διαφέρουν κατά
Και στην συνέχεια γωνίες που έχουν άθροισμα παίρνουμε:
( Αφού )
Έτσι οι γωνίες ανήκουν στο διάστημα
που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως:
Β) Α ΤΡΟΠΟΣ
Ισχύει ότι ( Γωνίες συμπληρωματικές )
Και ( Γωνίες συμπληρωματικές )
Ισχύει ότι δηλαδή .
Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση του είναι γνησίως αύξουσα.
Επομένως:
Β ΤΡΟΠΟΣ
Αφού
Άρα οι γωνίες
ανήκουν στο διάστημα
που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως: .
α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς:
(Μονάδες 12)
β) Αν , να συγκρίνετε τους αριθμούς:
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Α) Κάνω αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο για το
Χρησιμοποιώντας διαδοχικά γωνίες που διαφέρουν κατά
Και στην συνέχεια γωνίες που έχουν άθροισμα παίρνουμε:
( Αφού )
Έτσι οι γωνίες ανήκουν στο διάστημα
που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως:
Β) Α ΤΡΟΠΟΣ
Ισχύει ότι ( Γωνίες συμπληρωματικές )
Και ( Γωνίες συμπληρωματικές )
Ισχύει ότι δηλαδή .
Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση του είναι γνησίως αύξουσα.
Επομένως:
Β ΤΡΟΠΟΣ
Αφού
Άρα οι γωνίες
ανήκουν στο διάστημα
που όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση του είναι γνησίως φθίνουσα.
Επομένως: .
- Συνημμένα
-
- 2_ 17692 , 17693.docx
- (95.87 KiB) Μεταφορτώθηκε 171 φορές
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Παρ Νοέμ 14, 2014 4:03 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17681
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Για ποια τιμή του η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;
Λύση
α) H συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη , άρα η
θα έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη .
β) Έχουμε
και αφού έχουμε
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της
β) Για ποια τιμή του η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή;
Λύση
α) H συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη , άρα η
θα έχει ελάχιστη τιμή και μέγιστη .
β) Έχουμε
και αφού έχουμε
Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες