2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#21

GI_V_GEO_2_19011

Από ένα σημείο $\Sigma$ που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $\Sigma A$ και $\Sigma B$ και μία τέμνουσα $\Sigma \Gamma\Delta$ .
Να αποδείξετε ότι:
α)i. Τα τρίγωνα $\Sigma B\Gamma$ και $\Sigma\Delta B$ είναι όμοια.
ii. Τα τρίγωνα $\Sigma A\Gamma$ και $\Sigma\Delta A$ είναι όμοια. (Μονάδες

)
β) $A\Gamma⋅B\Delta=A\Delta⋅B\Gamma$ (Μονάδες

)

Λύση.

α)i. Τα τρίγωνα $\Sigma B\Gamma$ και $\Sigma\Delta B$ είναι όμοια γιατί έχουν τη γωνία $\widehat\Sigma_1$ κοινή και $\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Sigma = \Gamma \widehat {\rm B}\Sigma = \varphi }$ (σχέση εγγεγραμμένης γωνίας και γωνίας χορδής κι εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο).

ii. Για τον ίδιο λόγο τα τρίγωνα $\Sigma A\Gamma$ και $\Sigma\Delta A$ είναι όμοια ( $\widehat\Sigma_2$ κοινή και $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta \Sigma = \Gamma \widehat {\rm A}\Sigma = \omega }$ )

: 2_19011.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 7455 φορές

β) Είναι $\Sigma A=\Sigma B$ . Από τις παραπάνω ομοιότητες των τριγώνων, έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm B}}} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm A}}}}$ και $\displaystyle{\frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm A}}}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}\Delta = {\rm A}\Delta \cdot {\rm B}\Gamma }$

pap65 · #22

Ετοιμάζω την
GI_V_GEO_2_19014

#23

pap65 έγραψε:Κάποια συννημένα είναι σε doc και όλες οι εξισώσεις είναι εικόνες. ( όπως και οι εκφωνήσεις )
Αυτός που θα κάνει την μορφοποίηση δεν θα έχει πρόβλημα ;
πρέπει να ξαναγραφούν;

Θανάση έχεις δίκιο. Αντιμετωπίσαμε αυτό το πρόβλημα και στην κατεύθυνση, αλλά το λύσαμε με τον πλέον φυσικό τρόπο. Ξαναγράψαμε τις εξισώσεις...

Χαιρόμαστε για την ευρεία συμμετοχή των φίλων του forum και την προσφορά τους. Κάποια προβλήματα συμβατότητας τα αντιμετωπίζουμε όπως μπορύμε.

Πάντως αν είναι εύκολο, οι συμβατές μορφές είναι word με εξισώσεις στο Mathtype ή απλό κείμενο Latex, το οποίο μεταγλωτίζεται εύκολα.

pap65 · #24

ΘΕΜΑ 19014

Τα παρακάτω τρίγωνα $\displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma }$ και $\displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta }$ έχουν: $\widehat{A}=\widehat{Z}$ $\widehat{B}=\widehat{E}$ και $\displaystyle{\Alpha \Gamma =25,\text{ }\!\!\Epsilon\!\!\text{ }\!\!\Zeta\!\!\text{ }=12,\text{ E }\!\!\Delta\!\!\text{ }=18}$ και $\displaystyle{\Zeta \Delta =15}$

[attachment=1]2_19014.png[/attachment]

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma }$ και $\displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta }$ είναι όμοια.
(Μονάδες 8)
β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγων με τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου $\displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta }$ : $\displaystyle{\frac{BA}{.....}\text{= }\frac{A\Gamma }{.....}=\frac{\Gamma B}{.....}}$ (Μονάδες 9)
γ) Να υπολογίσετε τα και . (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα $\displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma }$ και $\displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta }$ είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες τους

( $\widehat{A}=\widehat{Z}$ και $\widehat{B}=\widehat{E}$ ) μία προς μία ίσες .

β) Επομένως θα έχουν τις αντίστοιχες ( ομόλογες ) πλευρές τους ανάλογες :

$\displaystyle{\frac{BA}{ZE}\text{= }\frac{A\Gamma }{Z\Delta }=\frac{\Gamma B}{E\Delta }}$ (1)

γ) Από την σχέση ( 1) αντικαθιστώντας $\displaystyle{\frac{y}{12}\text{= }\frac{x}{18}=\frac{25}{15}}$

• $\displaystyle{\frac{y}{12}\text{= }\frac{25}{15}\Leftrightarrow \frac{y}{12}\text{=}\frac{5}{3}\Leftrightarrow 3y=60\Leftrightarrow y=\frac{60}{3}=20}$

• $\displaystyle{\frac{x}{18}=\frac{25}{15}\Leftrightarrow \frac{x}{18}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow 3x=90\Leftrightarrow x=30}$

pap65 · #25

Ετοιμάζω το

GI_V_GEO_2_19015

Mirisiotis · #26

Ασχολήθηκα με το Θέμα 2 GI_V_GEO_2_19017
Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά.
Αναρτώ μόνο το pdf αρχείο.
Παρακαλώ ενημερώστε με αν κάτι έχω κάνει παράτυπο ή λάθος, για να συνεχίσω με τον ίδιο τρόπο ή όχι.
Σας ευχαριστώ.

asemarak · #27

GI_V_GEO_2_19019

Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν ΑΒ//ΔΓ, ΑΕ=6, ΑΒ=8, ΓΕ=15 και ΔΕ=10.

: 19019.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 7367 φορές

α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων ΑΕΒ και ΔΕΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 9)
γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΕ και ΔΓ. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Είναι $\hat{EAB}=\hat{E\Gamma \Delta}$ και $\hat{EBA}=\hat{E \Delta \Gamma}$ και στις δύο περιπτώσεις ως εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών ΑΒ, ΓΔ.

β) Αφού τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΔΕΓ έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι όμοια, οπότε ισχύει: $\frac{AB}{ \Delta \Gamma }=\frac{BE}{ \Delta E }=\frac{AE}{ \Gamma E }$ .

γ) $\frac{BE}{ \Delta E }=\frac{AE}{ \Gamma E }\Leftrightarrow \frac{BE}{10}=\frac{6}{15}\Leftrightarrow 15BE=6\cdot 10\Leftrightarrow BE=4$

και $\frac{AB}{ \Delta \Gamma }=\frac{AE}{ \Gamma E } \Leftrightarrow \frac{8}{\Delta \Gamma }=\frac{6}{15}\Leftrightarrow 6\Delta \Gamma =8\cdot 15\Leftrightarrow \Delta \Gamma =20$ .

pap65 · #28

GI_V_GEO_2_19015

Στο σχήμα που ακολουθεί, το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
και επιπλέον ισχύουν ΑΔ=4, ΔΒ=5 και ΔΕ=6.

[attachment=1]2_19015.png[/attachment]

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. (Μονάδες 9)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα:

$\frac{AB}{\ldots }=\frac{\ldots }{\Delta E}=\frac{A\Gamma }{\ldots }$ (Μονάδες 9)

γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία $\frac{4}{6}=\frac{5}{x}$ για να υπολογίσει το x. Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να γράψετε τη σωστή

και να υπολογίσετε την τιμή του x. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι $\Delta E//B\Gamma$ . Συνεπώς $\widehat{B}=\widehat{\Delta }$ και $\widehat{\Gamma }=\widehat{E}$ ως εντός εκτός και επί τα αυτά.

Έτσι τα τρίγωνα $A\Delta E$ και $AB\Gamma$ είναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες μία προς μία ίσες.

β) Αφού τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχουν τις ομόλογες πλευρές της ανάλογες :

Δηλαδή $\frac{AB}{A\Delta }=\frac{B\Gamma }{\Delta E}=\frac{A\Gamma }{AE}$

γ) Είναι λάθος , γιατί το τμήμα με μήκος δεν είναι πλευρά κανενός τριγώνου.

Η σωστή αναλογία θα ήταν $\frac{A\Delta }{\Delta E}=\frac{AB}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{4}{6}=\frac{9}{x}\Leftrightarrow 4x=36\Leftrightarrow x=9$

#29

Mirisiotis έγραψε:Ασχολήθηκα με το Θέμα 2 GI_V_GEO_2_19017
Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά.
Αναρτώ μόνο το pdf αρχείο.
Παρακαλώ ενημερώστε με αν κάτι έχω κάνει παράτυπο ή λάθος, για να συνεχίσω με τον ίδιο τρόπο ή όχι.
Σας ευχαριστώ.

Καλώς ήλθες!
Με βάση τους κανονισμούς του

, γράφουμε σε Latex τα μαθηματικά κείμενα.
Ειδικά σε αυτούς τους φακέλους, αναρτάμε συνημμένα και τα αρχεία Word, ώστε να διευκολυνθούν οι επιμελητές στην αποδελτίωση των λύσεων.
Αν είναι εύκολο, ανάρτησε το αρχείο word, ώστε να μάς διευκολύνεις να αναρτήσουμε εμείς τη λύση σου και σε Latex, μέχρι να εξοικοιωθείς με τη χρήση του.

#30

GI_V_GEO_2_19036

Οι διαγώνιοι του τραπεζίου $AB\Gamma\Delta$ ( $AB//\Gamma\Delta$ ) με $\Gamma\Delta>AB$ τέμνονται στο

. Η παράλληλη
από το

προς την $A\Delta$ τέμνει την $A\Gamma$ στο

.
Αν

,

και $O\Gamma=36$ , να αποδείξετε ότι:
α) $O\Delta = 27$ (Μονάδες

)
β)

(Μονάδες

)

Λύση.

: 2_19036.png (6.19 KiB) Προβλήθηκε 7361 φορές

α) $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}||\Gamma \Delta \Rightarrow \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}\Delta }} \Leftrightarrow \frac{{12}}{9} = \frac{{36}}{{{\rm O}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm O}\Delta = \frac{{9 \cdot 36}}{{12}} \Leftrightarrow {\rm O}\Delta = 27}$

β) $\displaystyle{{\rm B}{\rm M}||{\rm A}\Delta \Rightarrow \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} = \frac{{{\rm O}{\rm M}}}{{{\rm O}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{27}} = \frac{{{\rm O}{\rm M}}}{9} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm M} = \frac{{9 \cdot 12}}{{27}} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm M} = 4}$

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #31

καλησπέρα. Ανεβάζω την 19035 η οποία δεν έχει λυθεί και δεν αναφέρεται στην παρατήρηση του Γιώργου Ρίζου

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #32

Ανεβάζω και την 19024

Νίκος Ξενιάδης · #33

Νίκος Ξενιάδης την 2-19041

#34

GI_V_GEO_2_19030

Στη διχοτόμο $O\delta$ της γωνίας $x\widehat Oy$ θεωρούμε τα σημεία A,B

τέτοια ώστε OB=2OA

.
Η κάθετος στην $O\delta$ στο σημείο

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

και έστω $\Delta$ η προβολή του

στην

.
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα OAE

και $O\Delta B$ είναι όμοια. (Μονάδες

)
β) $\displaystyle{2{\rm O}{{\rm A}^2} = {\rm O}\Delta \cdot {\rm O}{\rm E}}$ . (Μονάδες

)

Λύση.

α) Τα τρίγωνα OAE

και $O\Delta B$ είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια και έχουν $\displaystyle{{\widehat {\rm O}_1} = {\widehat {\rm O}_2}}$

β) Απέναντι από τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες πλευρές.

$\displaystyle{\frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} = \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{{\rm O}{\rm B}}}\mathop = \limits^{{\rm O}{\rm B} = 2{\rm O}{\rm A}} \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{2{\rm O}{\rm A}}} \Leftrightarrow 2{\rm O}{{\rm A}^2} = {\rm O}\Delta \cdot {\rm O}{\rm E}}$

: 2_19030.png (5.51 KiB) Προβλήθηκε 7270 φορές

#35

GI_V_GEO_2_19033

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ και τα σημεία E,Z,H

και $\Theta$ των πλευρών του $A\Delta, AB, B\Gamma, \Gamma\Delta$

αντίστοιχα τέτοια, ώστε $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Gamma {\rm H}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{{\Gamma \Theta }}{{\Gamma \Delta }} = \frac{1}{3}}$ . Να αποδείξετε ότι:

α) $EZ//\Theta H//\Delta B$ . (Μονάδες

)
β) $EZ =\Theta H =$ $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ \displaystyle{\Delta B . (Μονάδες

10

EZH\Theta

5

\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z}||\Delta {\rm B}} και

\displaystyle{\frac{{\Gamma {\rm H}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{{\Gamma \Theta }}{{\Gamma \Delta }} \Leftrightarrow \Theta {\rm H}||\Delta {\rm B}} <div class="inline-attachment">2_19033.png</div>

β) Τα τρίγωνα

AEZ, A\Delta B είναι όμοια, καθώς επίσης και τα

\Gamma H\Theta, \Gamma B\Delta . Άρα έχουμε:

\displaystyle{\frac{{{\rm E}{\rm Z}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{1}{3}} και

\displaystyle{\frac{{\Theta {\rm H}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{1}{3}} , οπότε

EZ =\Theta H =

\displaystyle{\frac{1}{3}}} $\Delta B$

γ) $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}|| = \Theta {\rm H}}$ , άρα το $EZH\Theta$ είναι παραλληλόγραμμο.

ΣΧΟΛΙΟ: Το (γ) ερώτημα, κατά τη γνώμη μου, δεν χρειαζόταν.

#36

GI_V_GEO_2_19026

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και τυχαίο σημείο $\Delta$ στην πλευρά $B\Gamma$ . Φέρνουμε από το σημείο $\Delta$ παράλληλες στις πλευρές $A\Gamma$ και

που τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές

και $A\Gamma$ στα σημεία

και

.
Να αποδείξετε ότι:
α) $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}}$ (Μονάδες

)

β) $\displaystyle{\frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }}}$ (Μονάδες

)

γ) $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} + \frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = 1}$ (Μονάδες

)

Λύση.

α) $\displaystyle{\Delta {\rm E}||{\rm A}\Gamma }$ , άρα τα τρίγωνα $B\Delta E, B\Gamma A$ είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A} \Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}}$

β) $\displaystyle{\Delta {\rm Z}||{\rm A} B }$ , άρα τα τρίγωνα $\Gamma\Delta Z, \Gamma BA$ είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm A} B }} = \frac{{{\rm \Gamma}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}}$

γ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις:

$\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} + \frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }} + \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = 1}$

: 2_19026.png (5.4 KiB) Προβλήθηκε 6962 φορές

edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό(το διόρθωσα και στο συνημμένο). Στο α) ερώτημα είχα γράψει τρίγωνο $B\Gamma\Delta$ αντί για $B\Gamma A$ . Ευχαριστώ τον dimkat που το εντόπισε.

asemarak · #37

GI_V_GEO_2_19023

Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΚΛΜΝΡ είναι όμοια και έχουν $\widehat{\Delta }=\widehat{N}$ και $\widehat{B}=\widehat{\Lambda }$ .

α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΕ. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ. (Μονάδες 9)

: 19023.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 7195 φορές

ΛΥΣΗ

α) Οι πλευρές ΑΒ, ΚΛ είναι ομόλογες αφού $\widehat{A}=\widehat{K}=90^{o}$ και $\widehat{B}=\widehat{\Lambda }$ .

Άρα ο λόγος ομοιότητας του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ προς το πολύγωνο ΚΛΜΝΡ είναι $\lambda =\frac{AB}{K\Lambda }=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ .

β) Οι πλευρές ΑΕ, ΚΡ είναι ομόλογες (έχουν προσκείμενες τις ορθές γωνίες),

οπότε $\lambda =\frac{AE}{KP }\Leftrightarrow \frac{2}{3}= \frac{x}{18}\Leftrightarrow 3x=36\Leftrightarrow x=12$ .

γ) Είναι $\Pi _{K\Lambda MNP}=K\Lambda +\Lambda M+MN+NP+PK=15+12+9+15+18=69$ .

Ο λόγος των περιμέτρων των δύο πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

Άρα $\frac{\Pi_{AB\Gamma \Delta E}}{\Pi_{K\Lambda MNP}} =\lambda \Leftrightarrow \frac{\Pi_{AB\Gamma \Delta E}}{\ 69 } =\frac{2}{3}\Leftrightarrow \Pi_{AB\Gamma \Delta E } = 46$ .

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #38

Kαλημέρα σε όλους. Νομίζω ότι η μόνη που δεν έχει απαντηθεί είναι η 19021. Την ανεβάζω και τελειώνουμε, νομίζω γενικώς με όλα τα υποθέματα της ''1ης δόσης'' των ασκήσεων. Καλό κουράγιο σε όλους

sifis80 · #39

kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008

Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;

Antonis_A · #40

sifis80 έγραψε: Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;

Όχι βέβαια.

Νομίζω είναι πλεονασμός να ζητηθεί απόδειξη ότι κάθε (θετική) Πυθαγορική τριάδα ορίζει τρίγωνο.

2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ (19017)

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ (19017)

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση