3x3 σκακιέρα

#1

Χρωματίζουμε κάθε κελί μιας $3\times 3$ σκακιέρας τυχαία μαύρο ή άσπρο.
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχει άσπρο τετράγωνο $2\times 2;$
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχει μονόχρωμο τετράγωνο $2\times 2;$

ealexiou · #2

socrates έγραψε:Χρωματίζουμε κάθε κελί μιας $3\times 3$ σκακιέρας τυχαία μαύρο ή άσπρο.
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχει άσπρο τετράγωνο $2\times 2;$
Ποια η πιθανότητα να μην υπάρχει μονόχρωμο τετράγωνο $2\times 2;$

Xρωματίζοντας κάθε κελί μιας $3 \times 3$ σκακιέρας με δύο χρώματα μπορούμε να την χρωματίσουμε με 2^9=512

τρόπους.
Να μην υπάρχει άσπρο τετράγωνο ή μονοχρωματικό τετράγωνο $2 \times 2$ το ερμηνεύω όχι σαν ακριβώς $2 \times 2$ αλλά σαν “τουλάχιστον ένα” $2 \times 2$ καθώς υπάρχουν σχηματισμοί $3 \times 2$ , $2 \times 3$ , $3 \times 2 \times 3$ , κλπ αλληλοεπικαλυπτόμενων τετραγώνων $2 \times 2$ .
Έτσι άσπρα τετράγωνα (και αντίστοιχα μαύρα ) $2 \times 2$ έχουμε: $4 \times 2^5=128$ , (τέσσερα γωνιακά $2 \times2$ και στο καθένα από αυτά βάφουμε τα πέντε υπόλοιπα κελιά με 2^5

τρόπους.)
Από αυτά πρέπει να αφαιρέσουμε τις διπλομετρήσεις. Διπλομετρήσεις έχουμε:
* την περίπτωση των σχηματισμών $3 \times 2$ και είναι $4 \times2^3=32$ περιπτώσεις,
* την περίπτωση των διαγώνιων σxηματισμών 2*2+2*2

(με αλληλοεπικάλυψη στο κεντρικό κελί) τους οποίους τους μετρήσαμε

φορές, υπάρχουν

τέτοιοι, άρα πρέπει να αφαιρέσουμε

και
* την περίπτωση του $3 \times3$ που την προσθέσαμε

φορές , την αφαιρέσαμε επίσης

άρα πρέπει να προσθέσουμε

Άρα συνολικά έχουμε $4 \times 2^5-4 \times 2^3 -2+1=95$ περιπτώσεις λευκών (ή αντίστοιχα μαύρων) τετραγώνων. Ακριβώς $2 \times 2$ λευκό τετράγωνο έχουμε σε

περιπτώσεις.

Η πιθανότητα να μην υπάρχει άσπρο τετράγωνο $2 \times 2$ ισούται με: $\dfrac{512-95}{512}= \dfrac{417}{512}$ και

Η πιθανότητα να μην υπάρχει μονόχρωμο τετράγωνο ισούται με: $\dfrac{512-2 \times 95}{512}= \dfrac{322}{512}= \dfrac{161}{256}$

3x3 σκακιέρα

3x3 σκακιέρα

Re: 3x3 σκακιέρα

Μέλη σε σύνδεση