Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

#1

1. Να υπολογίσετε το $\max\limits_{0\leq t\leq 1}\left \{\min\left \{\frac{2-t}{2}, \frac{t}{2-t} \right\} \right \}$ .
A.M. Ostrovski

2. Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c

ισχύει
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$

3. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}$ .
H. Fatkic, B. Mesihovic

4. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}$ .
Τι συμβαίνει αν επιπλέον ισχύει x+y+z=1;

5. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left$ $\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \} \}.$
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole

6. Να υπολογίσετε το $\max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}$ .

7. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}$ .
F. Zejnulahi, 1996

8. Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b

και

είναι τέτοιοι ώστε a+b+c=1

. Να υπολογίσετε τα
a) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \}$ ;
b) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}$ .

9. Οι μη αρνητικοί αριθμοί a,b,c,d,e,f, g

έχουν άθροισμα

. Έστω

το μεγαλύτερο από τα αθροίσματα
a+b+c

,

και

.
Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του

.
IMO 1981 (shortlist)

10. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
$E(a,b,c)=\max(1-a,b+c)+\max(1-c,a+b)+\max(1-b,a+c)$ , όπου $a,b,c \in \mathbb{R}$
Laurentiu Panaitopol

Πηγή: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=58&t=2040

#2

socrates έγραψε:
10. Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
$E(a,b,c)=\max(1-a,b+c)+\max(1-c,a+b)+\max(1-b,a+c)$ , όπου $a,b,c \in \mathbb{R}$
Laurentiu Panaitopol

Κάνω την αρχή με την τελευταία:

Γνωρίζουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{\max \{x,y\}=\frac{x+y+|x-y|}{2}}}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{E(a,b,c)=\frac{1-a+b+c+|1-a-b-c|+1-c+a+b+|1-c-a-b|+1-b+a+c+|1-b-a-c|}{2}=}$

$\displaystyle{\frac{3+a+b+c+3|a+b+c-1|}{2}=2+\frac{(a+b+c-1)+3|a+b+c-1|}{2}.}$

Είναι $\displaystyle{x+3|x|=|x|+x+2|x|\geq 0}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{x=0,}$

επομένως είναι

$\displaystyle{\min E(a,b,c)=2}$ και αυτό συμβαίνει μόνο όταν ισχύει $\displaystyle{a+b+c=1.}$

#3

Για την 9.:

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{3s \ge \left( {a + b + c} \right) + \left( {c + d + e} \right) + \left( {e + f + g} \right) = 1 + c + e \ge 1,}$

οπότε $\displaystyle{\boxed{s \ge \frac{1}{3}}}$ .

Εφόσον για $\displaystyle{\left( {a,b,c,d,e,f,g} \right) = \left( {\frac{1}{3},0,0,\frac{1}{3},0,0,\frac{1}{3}} \right)}$ είναι $\displaystyle{s = \frac{1}{3}}$ , συμπεραίνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{s}$ είναι ίση με $\displaystyle{\frac{1}{3}.}$

#4

socrates έγραψε:
8. Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και είναι τέτοιοι ώστε . Να υπολογίσετε τα
a) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\} \right \}$ ;
b) $\min\limits_{a,b,c>0}\left \{\max\left \{a+bc,b+ca,c+ab \right\} \right \}$ .

Μια και τις πήραμε από το τέλος προς την αρχή:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $1\geq a\geq b\geq c\geq 0$ . Επειδή a+b+c=1

άρα ο μεγαλύτερος (ο

) δεν μπορεί να είναι μικρότερος από το $\displaystyle\frac{1}{3}$ και ο μικρότερος (το

) δε μπορεί να είναι μεγαλύτερος από $\displaystyle\frac{1}{3}$ . Λόγω της υπόθεσής μας ισχύει $a-bc\geq b-ca\geq c-ab$ . Άρα $\max\left \{a-bc,b-ca,c-ab \right\}=a-bc$

Ψάχνουμε λοιπόν το ελάχιστο της A=a-bc

με τις επιπλέον συνθήκες $a\geq \displaystyle\frac{1}{3}$ , $c\leq \displaystyle\frac{1}{3}$ και a+b+c=1

.

το οποίο ως τριώνυμο του

παρουσιάζει ελάχιστο το $-\displaystyle\frac{a^2-6a+1}{4}$ για $c=\displaystyle\frac{1-a}{2}$ .

Καθώς όμως ισχύει $\displaystyle\frac{1}{3}\leq a\leq 1$ η συνάρτηση $g(a)=-\displaystyle\frac{a^2-6a+1}{4}$ είναι γνησίως αύξουσα άρα το ελάχιστό της παρουσιάζεται όταν $a=\displaystyle\frac{1}{3}$ και είναι το $g\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)=\displaystyle\frac{2}{9}$ .

Άρα για κάθε $c\in\left[0,\displaystyle\frac{1}{3}\right]$ ισχύει: $A\geq g(a)\geq \displaystyle\frac{2}{9}$ .

Για $a=b=c=\displaystyle\frac{1}{3}$ έχουμε $A=a-bc=\displaystyle\frac{2}{9}$ οπότε είναι και το ελάχιστο της παράστασης.

Με τον ίδιο τρόπο γίνεται και το επόμενο ερώτημα.

#5

Για την 1.:

Για $\displaystyle{t \in \left[ {0,1} \right]}$ , θέτουμε $\displaystyle{f\left( t \right) = \min \left\{ {\frac{{2 - t}}{2},\frac{t}{{2 - t}}} \right\}.}$

Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{t \in \left[ {0,1} \right]}$ είναι:

$\displaystyle{f\left( t \right) = \frac{{\frac{{2 - t}}{2} + \frac{t}{{2 - t}} - \left| {\frac{{2 - t}}{2} - \frac{t}{{2 - t}}} \right|}}{2} = \frac{{{t^2} - 2t + 4 - \left| {{t^2} - 6t + 4} \right|}}{{4\left( {2 - t} \right)}}}.$

Επίσης, για $\displaystyle{t \in \left[ {0,1} \right]}$ είναι:

$\displaystyle{{t^2} - 6t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 3 - \sqrt 5, }$
$\displaystyle{{t^2} - 6t + 4 > 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {0,3 - \sqrt 5 } \right)}$ και
$\displaystyle{{t^2} - 6t + 4 < 0 \Leftrightarrow t \in \left( {3 - \sqrt 5 ,1} \right].}$

Μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{f\left( t \right) = - 1 + \frac{2}{{2 - t}}}$ για $\displaystyle{t \in \left[ {0,3 - \sqrt 5 } \right]}$ , ενώ

$\displaystyle{f\left( t \right) = 1 - \frac{t}{2}}$ για $\displaystyle{t \in \left( {3 - \sqrt 5 ,1} \right]}$ .

Άρα, η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0,3 - \sqrt 5 } \right]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {3 - \sqrt 5 ,1} \right]}$ , οπότε παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle{{t = 3 - \sqrt 5 }}$ , ίσο με $\displaystyle{f\left( {3 - \sqrt 5 } \right) = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}$ .

#6

socrates έγραψε: 2. Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει
$\min\left \{\max\{a,b\},$ $\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}$

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $a\geq b\geq c$ και τότε έχουμε:

$\left(\max\{a,b\},\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right)=(a,b,a)$ άρα $\min\left \{\max\{a,b\},\max\{b,c\},\max\{c,a\}\right\}=\min\{a,b,a\}=b$

$\left(\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right)=(b,c,c)$ άρα $\max\left \{\min\{a,b\},\min\{b,c\},\min\{c,a\}\right \}=\max\{b,c,c\}=b$

οπότε έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#7

cretanman έγραψε:

Ψάχνουμε λοιπόν το ελάχιστο της με τις επιπλέον συνθήκες $a\geq \displaystyle\frac{1}{3}$ , $c\leq \displaystyle\frac{1}{3}$ και .

το οποίο ως τριώνυμο του παρουσιάζει ελάχιστο το $-\displaystyle\frac{a^2-6a+1}{4}$ για $c=\displaystyle\frac{1-a}{2}$ .

Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και λίγο διαφορετικά:

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ ισχύει:

$a-bc\geq a- \left(\displaystyle\frac{b+c}{2}\right)^2=a-\left(\displaystyle\frac{1-a}{2}\right)^2=-\displaystyle\frac{a^2-6a+1}{4}$ και η συνέχεια όπως παραπάνω.

Αλέξανδρος

#8

socrates έγραψε:3. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x}\left \{\max\left \{2|x|, |1+x| \right\} \right \}$ .
H. Fatkic, B. Mesihovic

Πηγή: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=58&t=2040

Θέτουμε $f(x)=\max\left \{2|x|, |1+x| \right\}=\displaystyle{\frac{2|x|+|1+x|+\left| 2|x|-|1+x|\right|}{2}}.$

Το ζητούμενο είναι το ελάχιστο της συνάρτησης αυτής.
Η γραφική της παράσταση είναι μια τεθλασμένη γραμμή αφού σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty,-1],\displaystyle{\left[-1,-\frac{1}{3} \right],\left[-\frac{1}{3},0 \right],[0,1],[1,+\infty)}$ είναι της μορφής ax+b.

Αρκούν οι τιμές f(-2)=4

,

, $\displaystyle{f(-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}}$ , f(0)=1

,

και

για να διαπιστώσουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(-\infty,\displaystyle{-\frac{1}{3}]$ και γνησίως αύξουσα στο $[\displaystyle{-\frac{1}{3},+\infty)$ .

Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το $\displaystyle{\frac{2}{3}$ .

Σημείωση Θεώρησα ότι η μεταβλητή είναι πραγματική.

chrislg · #9

cretanman έγραψε:Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $1\geq a\geq b\geq c\geq 0$

πως γίνεται να εξετάζουμε τα a,b,c

στο $\left[0,1 \right]$ χωρίς βλάβη της γενικότητας ;

#10

chrislg έγραψε:
cretanman έγραψε:Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $1\geq a\geq b\geq c\geq 0$
πως γίνεται να εξετάζουμε τα στο $\left[0,1 \right]$ χωρίς βλάβη της γενικότητας ;

Επειδή οι παραστάσεις a-bc,b-ca,c-ab

είναι συμμετρικές (δηλαδή αν αντικαταστήσουμε οποιοδήποτε γράμμα από τα a,b,c

με κάποιο από αυτά οι παραπάνω παραστάσεις παραμένουν ως έχουν), άρα αν είχαμε άλλη διάταξη από αυτή που γράφω παραπάνω τότε απλά εναλλάσουμε τα γράμματα για να έχουμε την ίδια διάταξη.

Για να το κάνω πιο κατανοητό, σε κάθε περίπτωση μπορείς να ισχυριστείς ότι ο μεγαλύτερος είναι π.χ. ο

. Τότε αν ο

ήταν μεγαλύτερος απ' το

, απλά άλλαξε τη θέση του

με το

και του

με το

(οι παραπάνω παραστάσεις παραμένουν ως έχουν με την αλλαγή αυτή), ώστε να έχεις τελικά $a\geq b\geq c$ .

Αλέξανδρος

#11

Απλά αναρτώ το σχήμα που εμφανίζει τη συνάρτηση που μελέτησε διεξοδικά ο Βαγγέλης Μουρούκος.
για το πρώτο πρόβλημα.

Όπως αναφέρεται και στο σχήμα η κόκκινη γραμμή δηλώνει το γράφημα της συνάρτησης που
εκφράζει την ελάχιστη των τιμών των δύο συναρτήσεων κι έτσι η μελέτη αυτής δίνει τα
ακρότατα(μέγιστο και ελάχιστα)

: Συνάρτηση μεγίστου των ...ελαχίστων.PNG (42.16 KiB) Προβλήθηκε 1832 φορές

elaxisto 1.ggb: (6.15 KiB) Μεταφορτώθηκε 43 φορές

Σημειώνεται πως επειδή το σχήμα είναι σε μεγέθυνση δεν φαίνεται όλη η ευθεία καθώς και
όλη η υπερβολή(γραφήματα των δύο αρχικών συναρτήσεων) γιατί έγινε απόκρυψη.
Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα όπου μπορεί κανείς να δεί ενεργοποιώντας τη δυνατότητα της
κίνησης(δεξί κλίκ και κλίκ στο ενεργή κίνηση για την έναρξη, και το ίδιο για τη λήξη της)

Κώστας Δόρτσιος

#12

Ας δούμε και τα 4,5,6,7 που δεν έχουν απαντηθεί...

#13

socrates έγραψε:
4. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x,y,z\in \mathbb{R}}\left \{\max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\} \right \}$ .
Τι συμβαίνει αν επιπλέον ισχύει

$\displaystyle{max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\}\geq \dfrac{x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z}{3}=\dfrac{\left(x+1 \right)^2+\left(y+1 \right)^2+\left(z+1 \right)^2-3}{3}\geq -1}$

H τιμή αυτή πιάνεται όταν x=y=z=-1.

Αν επιπλέον x+y+z=1

$\displaystyle{max\left \{x^2+y+z,y^2+z+x,z^2+x+y \right\}\geq \dfrac{x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z}{3}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+z^2 \right)+6(x+y+z )}{9}\geq$

$\dfrac{(x+y+z )^2+6( x+y+z )}{9}}=\dfrac{7}{9}$

H τιμή αυτή πιάνεται όταν $x=y=z=\dfrac{1}{3}.$

#14

socrates έγραψε:
7. Να υπολογίσετε το $\min\limits_{x,y,z>0}\left \{\max\left \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\} \right \}$ .
F. Zejnulahi, 1996

Με ίδιο τρόπο με το προηγούμενο:

Είναι

$\displaystyle{\max \{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\}\}\geq \frac{1}{3}\Big(x^2+\frac 1y+y^2+\frac 1z+z^2+\frac 1x \right\}\Big)}$

και επειδή, από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{x^2+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{x^2\cdot \frac{1}{2x}\cdot \frac{1}{2x}}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}}$

έχουμε

$\displaystyle{\min \limits_{x,y,z>0}\left\{\max \left\{x^2+\frac 1y,y^2+\frac 1z,z^2+\frac 1x \right\}\right\}=3\frac{\sqrt[3]{2}}{2}}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.}$

#15

socrates έγραψε:5. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \min\limits_{a,b,c\in \mathbb{R}}\left \{\max\left$ $\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \} \}.$
E.A. Jasinovi, 1996, Matematika v skole

Έστω $\displaystyle{M=\max\left\{(a+b+c)^2-9bc,(a+b+c)^2-9ca,(a+b+c)^2-9ab \}.}$

Είναι

$\displaystyle{3M\geq ((a+b+c)^2-9bc)+((a+b+c)^2-9ca)+((a+b+c)^2-9ab)=3(a+b+c)^2-9bc-9ca-9ab\geq 0,}$

οπότε $M\geq 0,$ με την ισότητα αν-ν a=b=c.

#16

socrates έγραψε:6. Να υπολογίσετε το $\max\limits_{x,y>0}\left \{\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}$ .

Έστω $\displaystyle{m=\min\left \{x,y+\frac 1x,\frac 1y \right\} \right \}.}$

Τότε $\displaystyle{m\leq x, \ m\leq \frac{1}{y}}$ οπότε $\displaystyle{m\leq x, \ y\leq \frac{1}{m}.}$

Επίσης, $\displaystyle{m\leq y+\frac{1}{x}\leq \frac{1}{m}+\frac{1}{m} \implies m^2\leq 2 \implies m\leq \sqrt{2},}$

με ισότητα αν-ν $\displaystyle{x=\sqrt{2}, \ y=\frac{1}{\sqrt{2}}.}$

Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Re: Συλλογή με μέγιστα και ελάχιστα

Μέλη σε σύνδεση