gazzeta

gradion · #1

Αν ο μιγαδικός z, |z|=1,

, επαληθεύει την εξίσωση $az^2+b\bar z +c=0,a,b,c \in \mathbb R^{*}$

να αποδείξετε ότι $c/a \in (-3,1), b/a \in (-2,2)$

#2

gradion έγραψε:Αν ο μιγαδικός , επαληθεύει την εξίσωση $az^2+b\bar z +c=0,a,b,c \in \mathbb R^{*}$

να αποδείξετε ότι $c/a \in (-3,1), b/a \in (-2,2)$

To

πρέπει να διορθωθεί σε [-2,2]

όπως βλέπουμε από το παράδειγμα $a=1,\, b=-2, \, c=1, \, z=1$ . Όμοια το $(-3, \, 1)$ πρέπει να διορθωθεί σε [-3,1]

, από το ίδιο παράδειγμα.

Για κατάλληλο $\theta$ είναι $z=\cos \theta + i \sin \theta$ . Αντικατάσταση στην δοθείσα δίνει

$(a\cos^ 2\theta - a \sin ^2 \theta +b\cos \theta +c) + i(2 a \sin \theta \cos \theta -b \sin \theta) =0$

Το μιγαδικό μέρος εξισούμενο με το

δίνει $\frac {b}{a} = 2\cos \theta \in [-2, 2]$ .

Από το πραγματικό μέρος έχουμε

$0 = \cos^ 2\theta - \sin ^2 \theta +\frac {b}{a} \cos \theta + \frac {c}{a}=\cos^ 2\theta - \sin ^2 \theta +2 \cos ^2 \theta + \frac {c}{a}$

Άρα $\frac {c}{a}=-3 \cos^ 2\theta + \sin ^2 \theta = 1-4\cos^ 2\theta$ από όπου εύκολα $\frac {c}{a} \in [-3, \, 1]$

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μια άλλη λύση

η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{az^2+b(1/z)+c=0}$ ή $\displaystyle{p(z)=az^3+cz+b=0}$ που έχει ρίζες $\displaystyle{z_1=p+iq,z_2=p-iq,z_3=r}$

από Vietta $\displaystyle{2p=p+iq+p-iq=-z_3}$

to $\displaystyle{p}$ διαιρείται ακριβώς με το $\displaystyle{z^2-2pz+1=(z-z_1)(z-z_2)}$

to υπόλοιπο $\displaystyle{(b-2ap)+(-a+c+4ap^2)z}$ πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα $\displaystyle{b/a=2p}$ με $\displaystyle{|p|\le 1}$ αφού $\displaystyle{q^2+p^2=1}$ και $\displaystyle{c/a=1-4p^2}$

αρα $\displaystyle{-2\le b/a \le 2}$ , $\displaystyle{0\le 1-c/a\le 4}$ οπότε καταλήγουμε στο ζητούμενο

S.E.Louridas · #4

Αν διαιρέσουμε με

έχουμε την εξίσωση ${z^2} + m\,\overline z \, + n = 0\;\;\left( {m = \frac{b}{a},\;n = \frac{c}{a}} \right).$ Αν z=x+yi

άμεσα παίρνουμε ${x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| x \right| \leqslant 1,\;\left| y \right| \leqslant 1.$ Με αντικατάσταση και λίγες πράξεις έχουμε: $m = 2x \Rightarrow \left| m \right| = 2\left| x \right| \leqslant 2$ και $n = {y^2} - 3{x^2} = 1 - 4{x^2} \geqslant - 3,$ και βέβαια $\; n \leqslant 1.$ Αυτά αποτελούν και το ζητούμενο.

#5

Άλλη μία προσέγγιση για ποικιλία:

Έστω $az^2+b\overline{z}+c=0 \ \ (1)$

Παίρνοντας συζυγείς στην (1)

έχουμε

$a\overline{z}^2+bz+c=0 \ \ (2)$

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1),(2)

έχουμε:

$(z-\oveline{z})\left(a(z+\overline{z})-b\right)=0$

Διακρίνουμε λοιπόν τις εξής περιπτώσεις:

$\blacksquare$ Αν $z=\overline{z}$ τότε $z=\dfrac{1}{z}$ άρα οι μιγαδικοί

και

ικανοποιούν την (1)

. Άρα για

έχω

και για

έχω

απ' όπου με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε c=-a

δηλαδή $\dfrac{c}{a}=-1$ και με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε b=0

άρα $\dfrac{b}{a}=0$ .

$\blacksquare$ Αν $a(z+\overline{z})-b=0$ τότε $z+\overline{z}=\dfrac{b}{a}$ άρα $\dfrac{b}{a}=2Re(z)$ συνεπώς $\left|\dfrac{b}{a}\right|=2|Re(z)|$ και αφού Re^2(z)=1-Im^2(z)

παίρνουμε $|Re(z)|\leq 1$ και τελικά $\left|\dfrac{b}{a}\right|\leq 2$ .

Επίσης προσθέτοντας τις (1), (2)

παίρνουμε $a\left((z+\overline{z})^2-2\cancelto{1}{z\overline{z}}\right)+b(z+\overline{z})+2c=0$ απ΄ όπου αντικαθιστώντας $z+\overline{z}=\dfrac{b}{a}$ παίρνουμε $\dfrac{b^2}{a}-a+c=0$ άρα $\dfrac{c}{a}=1-\left(\dfrac{b}{a}\right)^2$ και αφού $0\leq \left(\dfrac{b}{a}\right)^2 \leq 4$ άρα τελικά $\dfrac{c}{a}\in[-3,1]$ .

Σε κάθε μία από τις δύο παραπάνω περιπτώσεις οι ποσότητες $\dfrac{b}{a}$ και $\dfrac{c}{a}$ ανήκουν στα διαστήματα που ζητάει η εκφώνηση και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος

gazzeta

gazzeta

Re: gazzeta

Re: gazzeta

Re: gazzeta

Re: gazzeta

Μέλη σε σύνδεση