ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν άσπρα και μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον άσπρα;
β) Να πάρουμε άσπρα και μαύρα;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα ανεξάρτητα, όπου { τουλάχιστον δύο άσπρα}, { τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Μια ερώτηση: Τι εννοούμε στο (γ); Τα εισαγωγικά μπερδεύουν κάπως...

Εννοώ να υπάρχουν στα σφαιρίδια τουλάχιστον άσπρα και τουλάχιστον μαύρο, π.χ άσπρα και μαύρα είναι τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο"

Έγινε διόρθωση στο β) ερώτημα

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 29
Τέσσερις ανεξάρτητες βολές ρίχνονται στον ίδιο στόχο. Η πιθανότητα να πετύχουν οι βολές τον στόχο είναι αντίστοιχα:
α) Ποια η πιθανότητα όλες οι βολές να πετύχουν τον στόχο;
β) Ποια η πιθανότητα δύο βολές να πετύχουν τον στόχο;
γ) Αν δύο βολές πέτυχαν τον στόχο ποια η πιθανότητα να είναι οι δύο πρώτες βολές;

[Στέλιος Μαρίνης]

κουκιδες.png (16.23 KiB) Προβλήθηκε 3029 φορές

Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.

[cretanman]

κουκιδες.png

Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.

Στέλιο καλησπέρα,

Όμορφη άσκηση! Ο πιο σύντομος δρόμος για να φτάσουμε από το σημείο Α στο σημείο Β είναι να κινούμαστε μόνο πάνω και δεξιά. Παρατηρούμε ότι οι συνολικές μας κινήσεις σε κάθε περίπτωση είναι εκ των οποίων οι θα γίνουν δεξιά (και αναγκαστικά οι προς τα πάνω). Άρα αν από τις συνολικά κινήσεις διαλέξουμε τις κινήσεις που θα γίνουν προς τα δεξιά τότε έχουμε ήδη δεσμεύσει κι εκείνες τις που θα γίνουν προς τα πάνω. Η επιλογή αυτή μπορεί να γίνει με τρόπους που είναι και το ζητούμενο. (Μάλιστα με τον παραπάνω τρόπο και το συγκεκριμένο πρόβλημα φαίνεται ξεκάθαρα γιατί ισχύει ότι ).

Αλέξανδρος

[ealexiou]

Καλησπέρα!

Τρίγωνο Πασκάλ...ορθογωνιοποιημένο .png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 2971 φορές

Και μια γραφική επίλυση του θέματος με συμπλήρωση του ορθογωνίου με τη μέθοδο του τριγώνου Πασκάλ με κορυφή του τριγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα, το σημείο

[Στέλιος Μαρίνης]

Άψογη η λύση του Αλέξανδρου και εξαιρετικά χρήσιμη η χρήση του τριγώνου Πασκάλ του Αλεξίου (συγνώμη που δεν έχω συγκρατήσει το μικρό όνομα).
Θα σας πω πώς διδάσκω την άσκηση για να γίνει πιο κατανοητή από τους μαθητές:
Η συντομότερη διαδρομή γίνεται με κινήσεις προς τα πάνω (Π) και προς τα δεξιά (Δ). Μια διαδρομή θα έχει τη μορφή 11 "οδηγιών" 5 από τις οποίες θα είναι Δ και έξι Π. Π.χ.
Το πρόβλημα λοιπόν γίνεται: "Με πόσους τρόπους μπορούμε να συμπληρώσουμε 11 "θέσεις" χρησιμοποιώντας 5 Δ και 6 Π.
Ωστόσο, αφού τα μόνα γράμματα που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το Δ και το Π, μπορούμε π.χ. το Π να το παραλείψουμε αφήνοντας την αντίστοιχη θέση κενή. Άρα το πρόβλημα γίνεται: "ΑΝ έχουμε 11 θέσεις και 5 γράμματα Δ με πόσους τρόπους μπορούμε να τα τοποθετήσουμε;" Αυτό ισοδυναμεί με το να διαλέξουμε 5 από τις 11 θέσεις είναι δηλαδή συνδυασμοί των 11 ανά 5.

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;

[socrates]

ΑΣΚΗΣΗ 29
Τέσσερις ανεξάρτητες βολές ρίχνονται στον ίδιο στόχο. Η πιθανότητα να πετύχουν οι βολές τον στόχο είναι αντίστοιχα:
α) Ποια η πιθανότητα όλες οι βολές να πετύχουν τον στόχο;
β) Ποια η πιθανότητα δύο βολές να πετύχουν τον στόχο;
γ) Αν δύο βολές πέτυχαν τον στόχο ποια η πιθανότητα να είναι οι δύο πρώτες βολές;

α)

β)

γ)

[socrates]

ΑΣΚΗΣΗ 30

1) Δίνονται συνεπίπεδα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά.
α) Πόσες ευθείες ορίζουν ανά δύο τα σημεία αυτά;
β)Πόσα τρίγωνα σχηματίζονται παίρνοντας ως κορυφές, ανά τρία, τα σημεία αυτά;

2) Δίνονται σημεία σε τυχαία θέση στο χώρο (ανά τέσσερα μη συνεπίπεδα).
α) Πόσα επίπεδα ορίζουν ανά τρία τα σημεία αυτά;
β) Πόσα τετράεδρα σχηματίζονται με κορυφές επί των σημείων αυτών;

1)
α)
β)

2) Μήπως είναι και μη συνευθειακά ανά 3;
α)
β)

[socrates]

ΑΣΚΗΣΗ 28

Σε ένα δοχείο υπάρχουν άσπρα και μαύρα σφαιρίδια. Παίρνουμε τυχαία σφαιρίδια. Ποια η πιθανότητα:
α) Να πάρουμε τουλάχιστον άσπρα;
β) Να πάρουμε άσπρα και μαύρα;
γ) Να πάρουμε τουλάχιστον "δύο άσπρα και ένα μαύρο";
δ) Είναι τα γεγονότα ανεξάρτητα, όπου { τουλάχιστον δύο άσπρα}, { τουλάχιστον δύο άσπρα και ένα μαύρο};

Έγινε διόρθωση στο β) ερώτημα

α)

β)

γ)

δ) Όχι. Είναι οπότε

[socrates]

ΑΣΚΗΣΗ 31
Ρίχνουµε ένα συνηθισµένο ζάρι 10 φορές. Να υπολογισθούν οι εξής πιθανότητες:
(α) Η µεγαλύτερη ένδειξη (από τις 10) είναι το 5.
(β) Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1.
(γ) Η µεγαλύτερη ένδειξη είναι το 5 και η µικρότερη το 1.

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 31
Ρίχνουµε ένα συνηθισµένο ζάρι 10 φορές. Να υπολογισθούν οι εξής πιθανότητες:
(α) Η µεγαλύτερη ένδειξη (από τις 10) είναι το 5.
(β) Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1.
(γ) Η µεγαλύτερη ένδειξη είναι το 5 και η µικρότερη το 1.

Για το (α)
Πλήθος δυνατών διατάξεων των δέκα ενδείξεων του ζαριού στις ρίψεις

Είδος δεκάδων.......Πλήθος δεκάδων










όπου

Πλήθος ευνοϊκών διατάξεων

άρα

Για το (β)
“Η µικρότερη ένδειξη είναι το 1” το αντιλαμβάνομαι και το εκλαμβάνω ως “να υπάρχει τουλάχιστον ένα ”
άρα κανένα

Για το (γ) η λύση που έχω βρει είναι μακροσκελής, με πλήθος υποπεριπτώσεων των δεκάδων των ενδείξεων του ζαριού και προτίμησα να μην την αναρτήσω, ίσως σκεφτώ κάτι καλύτερο, ήδη και η λύση για το (α) δεν είναι ότι καλύτερο.

[Μπάμπης Στεργίου]

Το συνημμένο κουκιδες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Με πόσους τρόπους μπορούμε να συνδέσουμε τις τελίτσες από το Α μέχρι το Β με τον πιο σύντομο δρόμο;
Έχω στο νου μου μια πολύ όμορφη παρουσίαση της λύσης, την οποία θα παραθέσω αφού δώσω την ευκαιρία να δω κι άλλες λύσεις, ίσως καλύτερες.

Στέλιο, κάποιοι στο.... παρελθόν διάβασαν το μέλλον, μαζί και τη σκέψη σου ! Δες το σχετικό κείμενο :

paths.PNG (64.63 KiB) Προβλήθηκε 2654 φορές

Είναι απόσπασμα από κάποιο παλιό βιβλίο, που δεν έχω σημειώσει ποιο είναι και πέρασαν μέρες από τότε που πήρα το απόσπασμα.Θα το ξαναβρώ όμως.
Αν δεν είχα διαβάσει τη λύση σου, δεν θα πρόσεχα το παραπάνω κείμενο και τον ωραίο τρόπο αντιμετώπισης που έχει.

Μπάμπης

[Στέλιος Μαρίνης]

Μπάμπη, πράγματι! Μακάρι να θυμηθείς την πηγή.

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπάμπη, πράγματι! Μακάρι να θυμηθείς την πηγή.

Στέλιο,

τελικά (ευτυχώς )το βρήκα στην δεύτερη προσπάθεια !

Πρόσφατα άκουγα στο youtube μια διάλεξη από ένα βετεράνο καθηγητή του ΜΙΤ με θέμα τις πιθανότητες. Ήταν στα αγγλικά με μερικούς υπότιτλους στα αγγλικά αλλά κάτι ...έπιασα.
Λοιπόν, αυτός ο εξαιρετικός γνώστης του θέματος και με άπειρη γνώση , μιλούσε για μισή ώρα για τις πιθανότητες, χωρίς ακόμα να μπει στο θέμα. Το ακροατήριο ήταν μεταπτυχιακοί μάλλον φοιτητές(τους αποκαλούσε μηχανικούς) και εκτός από άλλα χρήσιμα, τους συμβούλευε να είναι προσεκτικοί στα μοντέλα που χρησιμοποιούν στη δουλειά τους , διότι και οι οικονομολόγοι στην Αμερική , άριστοι επιστήμονες, δεν μπόρεσαν να προβλέψουν σοβαρές εξελίξεις στην οικονομία.Έτσι , πήγε σιγά στο επίμαχο θέμα ότι σε όλα τα επιστημονικά μοντέλα είναι απαραίτητο να μπορούμε να έχουμε και σαφείς εκτιμήσεις για την πιθανότητα να κάνουμε λάθος.


Τέλος πάντων, αυτές οι διαλέξεις μου θυμίζουν αρνητικά τα δικά μας φοιτητικά χρόνια που δεν είχαμε την τύχη να ακούσουμε δασκάλους τέτοιου επιπέδου, όχι επειδή δεν υπήρχαν, αλλά γιατί με τους λεγόμενους φοιτητικούς αγώνες και τις καταλήψεις , κανένας δεν ήθελε να διδάξει, αλλά το χειρότερο κανένας δεν ήθελε να ακούσει. Η Νικαράγουα και οι Σαντινίστες είχαν περισσότερο ενδιαφέρον και οι συνέπειες αυτών των επιλογών ίσως πληρώνονται τώρα.

Λοιπόν, αυτός ο Καθηγητής είπε κάποια στιγμή ότι κατά τη γνώμη του το καλύτερο βιβλίο που γράφτηκε ποτέ - σε όλες τις εποχές - για τις πιθανότητες είναι του Feller.
Δεν μπορώ να εκτιμήσω γιατί το είπε, αλλά αφού το είπε αυτός, έψαξα και το βρήκα, τουλάχιστον να δω το βιβλίο .
Ξεφυλλίζοντάς το, βρήκα και την απόδειξή σου !

Σε χαιρετώ και να μαζευτούμε ένα Σάββατο στην Αθήνα,μια μεγάλη παρέα με παιδιά από το mathematica και να τα πούμε παρέα και με την κιθάρα σου. Έχουμε και άλλο αστέρι, το Μιχάλη Νάννο, οπότε πρέπει να ..νοικιάσουμε μαγαζί !

Feller-prob.PNG (27.87 KiB) Προβλήθηκε 2621 φορές

[Στέλιος Μαρίνης]

Μπάμπη, η πρόταση σου γίνεται δεκτή με ενθουσιασμό κι εύχομαι η υλοποίηση να έχει υψηλή πιθανότητα.

[styt_geia]

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα άτομα της τάξης του σε τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για έχω ή γενικά άτομα; Αν δηλαδή τα άτομα χωριστούν αρχικά σε τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα άτομα της τάξης του σε τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας. Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες;

β) Τι γίνεται αν αντί για έχω ή γενικά άτομα; (Δεν έχω απάντηση)

Καλησπέρα Κώστα

Για το α)
άτομα, τετράδες
Έστω οι τρεις τετράδες
Πρέπει να επιλέξει έναν από κάθε τετράδα και αυτό μπορεί να γίνει με τρόπους (πολλαπλασιαστική αρχή) για την η τριάδα. Για κάθε μία πρώτη τριάδα μπορεί να σχηματίσει την η τριάδα με τρόπους. Για κάθε δύο τριάδες μπορεί να σχηματίσει την η τριάδα με τρόπους και την η τριάδα με τρόπο.
Συνολικά οι τριάδες μπορούν να σχηματισθούν με τρόπους.
(δια γιατί οι τριάδες δεν είναι διατεταγμένες, επισήμανση του θεματοθέτη)

[Μπάμπης Στεργίου]

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα άτομα της τάξης του σε τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για έχω ή γενικά άτομα; Αν δηλαδή τα άτομα χωριστούν αρχικά σε τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.

Με αφορμή αυτό το ωραίο πρόβλημα(κρίμα που στην σχετική ιστοσελίδα δεν υπάρχουν οι απαντήσεις ή οι λύσεις),ας πάρουμε το θέμα από την αρχή με πιο απλά αλλά βασικά ερωτήματα :

Ένα τμήμα έχει μαθητές .

α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές αυτούς σε τριάδες ;

β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να το χωρίσουμε σε τετράδες ;

γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τα παιδιά σε ομάδες, αν η πρώτη ομάδα έχει , η δεύτερη και η τρίτη παιδιά ;

δ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο ισοπληθείς ομάδες, αν αυτές πρόκειται να εκπροσωπήσουν το σχολείο σε δύο διαφορετικές εκδηλώσεις και ;

ε) Αν τα παιδιά χωριστούν σε δύο ομάδες των ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιώργος και η Νεφέλη που είναι φίλοι να είναι στην ίδια ομάδα ;

( Ας προστεθούν όσα περισσότερα ερωτήματα γίνεται, ώστε να εξαντλήσουμε στο μέτρο του δυνατού αυτό το πρόβλημα που βρίσκει εφαρμογή και γενικεύσεις σε πολλές καταστάσεις. )

Μπάμπης

[ealexiou]

ΑΣΚΗΣΗ 32
Ένας καθηγητής χωρίζει αρχικά τα άτομα της τάξης του σε τετράδες, στα πλαίσια μίας εργασίας ( ο αρχικός αυτός χωρισμός ας θεωρηθεί δεδομένος και σταθερός ). Επειδή τα αποτελέσματα δεν είναι τα αναμενόμενα, ο καθηγητής αποφασίζει στην επόμενη εργασία να αλλάξει εντελώς τον σχηματισμό των ομάδων, οργανώνοντας τα άτομα αυτή τη φορά σε τριάδες, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία.

α) Με πόσους τρόπους μπορεί ο καθηγητής να σχηματίσει τις τριάδες των μαθητών για την δεύτερη εργασία;

β) Τι γίνεται αν αντί για έχω ή γενικά άτομα; Αν δηλαδή τα άτομα χωριστούν αρχικά σε τετράδες για την πρώτη εργασία, με πόσους τρόπους μπορούν τα ίδια άτομα να χωριστούν σε τριάδες για την δεύτερη εργασία, έτσι ώστε να μην υπάρχουν στην ίδια τριάδα άτομα που συνεργάστηκαν στην ίδια τετράδα στην πρώτη εργασία; (Δεν έχω απάντηση)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το πρόβλημα είναι από εδώ με αλλαγμένη την εκφώνηση. Για το β) ερώτημα ενδέχεται να απαιτείται χρήση υπολογιστή, απλά αναρωτιόμουν αν υπάρχει κλειστός τύπος.

Με αφορμή αυτό το ωραίο πρόβλημα(κρίμα που στην σχετική ιστοσελίδα δεν υπάρχουν οι απαντήσεις ή οι λύσεις),ας πάρουμε το θέμα από την αρχή με πιο απλά αλλά βασικά ερωτήματα :

Ένα τμήμα έχει μαθητές .

α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τους μαθητές αυτούς σε τριάδες ;

β) Με πόσους τρόπους μπορούμε να το χωρίσουμε σε τετράδες ;

γ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τα παιδιά σε ομάδες, αν η πρώτη ομάδα έχει , η δεύτερη και η τρίτη παιδιά ;

δ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να τα χωρίσουμε σε δύο ισοπληθείς ομάδες, αν αυτές πρόκειται να εκπροσωπήσουν το σχολείο σε δύο διαφορετικές εκδηλώσεις και ;

ε) Αν τα παιδιά χωριστούν σε δύο ομάδες των ατόμων, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιώργος και η Νεφέλη που είναι φίλοι να είναι στην ίδια ομάδα ;

( Ας προστεθούν όσα περισσότερα ερωτήματα γίνεται, ώστε να εξαντλήσουμε στο μέτρο του δυνατού αυτό το πρόβλημα που βρίσκει εφαρμογή και γενικεύσεις σε πολλές καταστάσεις. )

Μπάμπης

α) Με τρόπους.
ή αλλιώς τρόποι.

β) Με τρόπους.
ή αλλιώς τρόποι.

γ) Με τρόπους.
ή αλλιώς τρόποι.

δ) Με τρόπους.
ή αλλιώς τρόποι.

ε) Η πιθανότητα, ο Γιώργος και η Νεφέλη, να είναι στην ίδια ομάδα είναι ίση με την πιθανότητα να είναι μαζί στην πρώτη ομάδα συν την πιθανότητα (ίση με την πρώτη) να είναι μαζί στην δεύτερη ομάδα. Θεωρώντας τον Γιώργο και την Νεφέλη ως “ένα άτομο” oι ευνοϊκές περιπτώσεις να συμβεί αυτό είναι:
Άρα η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι:

Θεώρησα, προφανώς, ότι οι διαμερίσεις και οι μαθητές σε κάθε διαμέριση δεν είναι διατεταγμένες-οι.