Δημιουργία συλλογής τριγώνων

KARKAR · #1

Τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών

Στο παρόν θέμα θα ασχοληθούμε με τρίγωνα των οποίων τα μήκη των πλευρών τους , είναι ακέραιοι αριθμοί . Προφανώς

δεν υπάρχει τέτοιο ( σκαληνό ) τρίγωνο με πλευρά

. Επίσης τα ισόπλευρα του είδους δεν παρουσιάζουν κανένα ενδιαφέρον .

Ψάχνουμε λοιπόν για τρίγωνα , για τα οποία ισχύει $2\leq a,b,c \leq 21$ , με τα a,b,c

, όχι όλα ίσα . Επιλέξαμε το όριο

,

ώστε η εργασία να είναι κάπως σύντομη και να δίνει αποτελέσματα , αξιοποιήσιμα στη δημιουργία σχολικών ασκήσεων .

Πάρα πολλά από αυτά τα τρίγωνα έχουν κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα . Π.χ. κάποιο είναι ορθογώνιο ,

κάποιο ηρώνειο , κάποιο έχει γωνία 60^0

, κάποιο έχει περίμετρο αριθμητικά ίση με το εμβαδόν κ.λ.π.

Εκφράζω την επιθυμία η εργασία να γίνει ομαδικά κι έτσι δίνω μόνο κάποια παραδείγματα . Οι αγαπητοί

φίλοι γεωμέτρες και κυρίως "αριθμητικιστές" μπορούν να συμβάλουν στην μεγάθυνση της λίστας .

Στα παρακάτω παραδείγματα κάθε τριάδα , είναι της μορφής c,b,a

με $c\leq b \leq a$

α) 2,3,4

- Το μόνο τρίγωνο με μήκη πλευρών διαδοχικούς ακέραιους , που είναι αμβλυγώνιο

β) 3,4,5

- Το μόνο τρίγωνο με μήκη πλευρών διαδοχικούς ακέραιους ,που είναι ορθογώνιο

γ) 4,13,15

- Ένα από τα ηρώνεια τρίγωνα της ομάδας ( υπάρχουν πολλά , μη βάζετε μόνο το 13,14,15

(!))

δ) 4,5,6

- Η γωνία $\hat{A}$ είναι διπλάσια της $\hat{C}$

ε) 5,7,8

- Η γωνία $\hat{B}$ είναι 60^0

στ)

- Η περίμετρος είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδό .

ζ) ...
Και ένα ξεκάρφωτο ερώτημα : Πόσα τέτοια τρίγωνα υπάρχουν ( μέχρι το

, χωρίς τα ισόπλευρα )

#2

Φαντάζομαι ότι τα πολλαπλάσια αυτών δεν μετράνε.
Το ορθογώνιο όμως τρίγωνο (5,12,13)

μετράει στη λίστα;

KARKAR · #3

Φυσικά Γιώργο ! Είναι βέβαια εύκολο , να καταγράψουμε τα ορθογώνια της λίστας ( όλα ! ) , αλλά για τις

υπόλοιπες και τις νεότευκτες ( ελπίζω ) κατηγορίες , έχει ενδιαφέρον να καταγράψουμε ένα προς ένα τα τρίγωνα ...

Al.Koutsouridis · #4

KARKAR έγραψε: έχει ενδιαφέρον να καταγράψουμε ένα προς ένα τα τρίγωνα ...

'Ετσι στα γρήγορα επειδή είμαι στη δουλειά και δεν γνωρίζω python. Αν βρω χρόνο αργότερα και σε καλύτερο λογισμικό μπορούν να βρεθουν όλα τα τρίγωνα και σχετικά εύκολα τα ισοσκελή,
αυτά που έχουν ίδια αριθμητικά περίμετρο με εμβαδό κ.ά.

Μπορείτε να πάτε στο σύνδεσμο http://repl.it/languages/Python/ και να βάλετε το παρακάτω κώδικα στο πλαίσιο αριστερά και πατώντας το κουμπί "play" να εμφανιστούν τα αποτελέσματα στα δεξια.

Ο κωδικας αυτός βγάζει ολα τα τρίγωνα με διαφορετικά μεταξύ τους μήκη πλευρών. Απλα προς το παρών μετράει και τις μεταθέσεις των πλευρών με ίδιο μήκος ως νέο τρίγωνο

Κώδικας: Επιλογή όλων

count =0
for a in xrange(1, 22):
   for b in xrange(1, 22):
      for c in xrange(1, 22):
         if (a+b > c) and (a+c > b) and (c+b > a):
            if (a!=b) and (b!=c) and (c!=a):
               print (a, b, c)
               count = count+1
               print count

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Al.Koutsouridis · #5

Ένα ενδιαφέρον ερώτημα είναι: Υπάρχει γενικά ισοσκελές τρίγωνο με ακέραια μήκη πλευρών έτσι ώστε το εμβαδόν του, αριθμητικά, να είναι ίσο με την περίμετρό του;

KARKAR · #6

Τα ηρώνεια τρίγωνα είναι τριών ειδών : Ορθογώνια , Ισοσκελή , Σκαληνά . Μέσα στο προβλεπόμενο

διάστημα , βρίσκουμε

τέτοια τρίγωνα , τα οποία καταγράφω στον παρακάτω πίνακα :

$\begin{matrix} A/A& I\Sigma O\Sigma KE\Lambda H &OP\Theta O\Gamma \Omega NIA & \Sigma KA\Lambda HNA\\ 1& 5,5,6& 3,4,5 & 4,13,15\\ 2& 5,5,8 & 6,8,10 & 7,15,20\\ 3&10,10,12 & 5,12,13 &9,10,17 \\ 4& 10,13,13 & 9,12,15 & 10,17,21\\ 5&10,10,16 & 8,15,17 &11,13,20 \\ 6&16,17,17 & 12,16,20 &13,14,15 \\ 7&15,15,18 & &13,20,21 \end{matrix}$

Όσο για τα τρίγωνα που η περίμετρός τους , ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν τους αυτά είναι

πέντε όλα κι όλα , τα : (5,12,13) , (6,8,10) , (7,15,20) , (9,10,17) , (6,25,29)

,

( το τελευταίο εκτός λίστας ! ) .. άρα δεν έχουμε ισοσκελές αυτού του τύπου .

Al.Koutsouridis · #7

Έστω

τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου. Και έστω ότι είναι ισοσκελές με b =c

. Τότε από τον τύπο του Ήρωνα για το εμβαδόν καλούμαστε να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση στους φυσικούς

$a+b+c = \sqrt{\frac{(a+b+c)}{2} \frac{(b+c-a)}{2} \frac{(a+c-b)}{2} \frac{(a+b-c)}{2}}$

Ή στην περίπτωσή μας ( b=c

) την

$16(a+2b)^2 = (a+2b)(2b-a)a^2 \Rightarrow$

$16(a+2b) = (2b-a)a^2 \Rightarrow$

$16a+32b = 2a^2b -a^3 \Rightarrow$

$a^3 + 16a = b(2a^2 -32) \Rightarrow$

2a^3 +32a = 2b(2a^2 -32)

παρατηρούμε ότι για a= 4

η εξίσωση είναι αδύνατη οπότε μπορούμε να διαιρέσουμε με (2a^2 -32)

$\frac{ 2a^3 +32a}{(2a^2 -32)} = 2b \Rightarrow$

$\frac{ 2a^3 + 32a - 32a +32a}{(2a^2 -32)} = 2b \Rightarrow$

$\frac{ a (2a^2 -32) +64a}{(2a^2 -32)} = 2b \Rightarrow$

$a + \frac{64a}{2a^2 -32} = 2b$

Για a= 1, a=2 , a=3

εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν έχουμε λύση και για τις υπόλοιπες τιμές θα πρέπει να ισχύει

$\frac{64a}{2a^2 -32} \geq 1 \Rightarrow$

$-(a^2 - 16a +32) \geq 0 \Rightarrow$

$-( (a-4)^2 + 16) \geq 0$

Που είναι αδύνατη. Άρα δεν υπάρχουν ισοσκελή τρίγωνα με ακέραια μήκη πλευρών και περίμετρο ίση αριθμητικά με το εμβαδόν.

KARKAR · #8

Εύρηκα ! Το τρίγωνο με πλευρές (c,b,a)=(9,19,20)

, έχει διάμεσο

( ακεραίου ) μήκους : (AM)= 11

Άλλο ένα

:

: Να μια καινούργια κατηγορία τριγώνων του είδους ...

Συμπληρώνω την κατηγορία με άλλες

περιπτώσεις , ο τέταρτος αριθμός είναι το μήκος της διαμέσου

:

* Προφανώς την ίδια ιδιότητα έχουν και τα ορθογώνια του είδους με άρτια υποτείνουσα , δηλαδή τα (6,8,10) , (12,16,20)

,

καθώς και όλα τα ισοσκελή της λίστας των ηρωνείων τριγώνων .

KARKAR · #9

Μια ακόμη εντυπωσιακά μεγάλη κατηγορία του είδους αυτών των τριγώνων , είναι εκείνα με διάμεσο

της μορφής A.5

, (

ακέραιος ) . Ας τα καταγράψουμε ( τέταρτη γράφεται η διάμεσος ) :

(4,7,7 - 4.5) , (6,7,7 - 5,5) , (4,7,9 - 3,5) , (6,7,11 - 3,5 ) , (8,9,11- 6,5)

,

Στην κατηγορία αυτή , ανήκουν προφανώς και τα ορθογώνια με περιττή υποτείνουσα .

#10

Μια κατηγορία ακόμα:

: Πλευρές και διχοτόμος.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 2843 φορές

Πλευρές και διχοτόμος ακέραιοι.

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #11

Στη επόμενη λίστα περιλαμβάνονται τα τρίγωνα , στα οποία η μεσαία ( προφανώς ) γωνία $\hat{B}$ ,

έχει μέτρο 60^0

. Ακολουθούμε πάλι τη σειρά c<b<a

.

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα εμφανίζονται ανά ζεύγη και δώστε μια εξήγηση .

#12

Δεν ξέρω αν θα θέλατε στην παρέα σας και τρίγωνα με ακέραιες πλευρές, στα οποία ένας εξισωτής ορίζει ακέραια τμήματα στις πλευρές του. Π.χ το παρακάτω:

Στο τρίγωνο ABC

με

το τμήμα

, με

είναι εξισωτής του, (το χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά και ισοπεριμετρικά μέρη), εφόσον

$\displaystyle \left(AKL \right)=\frac{6*6 sinA}{2}, \left(ABC \right)=\frac{8*9sinA}{2}\Rightarrow \left(AKL \right)=\frac{\left(ABC \right)}{2}$

και $P(AKL)=6+6+KL, P(KLCB)=2+3+7+KL \Rightarrow P(AKL)=P(KLCB)$

KARKAR · #13

I love equalizer ! Για να πω την αλήθεια ετοιμαζόμουν να ρωτήσω άν υπάρχει τρίγωνο του είδους ,

στο οποίο ο ίδιος ο εξισωτής να είναι ακέραιος . Απ' ότι γνωρίζω Γιώργο (χωρίς να είμαι βέβαιος) , δεν

προτάθηκε έως τώρα κάποια μέθοδος υπολογισμού του μήκους του εξισωτή , ίσως το πρόβλημα να είναι

πολύ δύσκολο , πολύ περισσότερο αν ζητηθεί να έχει και ακέραιο μήκος . Σίγουρα όμως με χρήση λογισμικού

μπορούμε ( εφόσον υπάρχει ) να δώσουμε απάντηση στο ερώτημα . Πάντως και η προταθείσα κατηγορία ...

έχει ενδιαφέρον

KARKAR · #14

Ας ελέγξουμε λίγο την προταθείσα από το Νίκο κατηγορία , δηλάδή τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραια

επίσης τη διχοτόμο

. Έχω ψάξει την κατηγορία αλλά μόνο για τρίγωνα στα οποία $c\leq b \leq a$ .

Βρήκα τα παρακάτω (τέταρτη η διχοτόμος) : (12,15,18 - 10) , (5,20,20 -6) , (9,18,21 - 8)

.

Προφανώς στην κατηγορία ανήκουν και τα ισοσκελή με AB=AC

, οπότε η διχοτόμος συμπίπτει με το ύψος :

(5,5,6 - 4) , (5,5,8 - 3) ,(10,10,12 - 8) , (10,10,16 - 6) , (15,15,18-12)

. Πιθανότατα ,

υπάρχουν και άλλα του είδους , αλλά με διαφορετική διάταξη πλευρών , όπως αυτό του Νίκου ....

#15

KARKAR έγραψε:Στη επόμενη λίστα περιλαμβάνονται τα τρίγωνα , στα οποία η μεσαία ( προφανώς ) γωνία $\hat{B}$ ,

έχει μέτρο . Ακολουθούμε πάλι τη σειρά .

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα εμφανίζονται ανά ζεύγη και δώστε μια εξήγηση .

Καλημέρα σε όλους και Καλές Γιορτές

ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν σε τρίγωνο είναι $\displaystyle{ \in {N^*} - \{ 1\} }$ ,() και $\widehat B=60^0$ , τότε υπάρχει σημείο πάνω στην ή στην προέκτασή της, τέτοιο ώστε το τρίγωνο να έχει τις ίδιες προδιαγραφές.

Απόδειξη:
Κατ' αρχήν δεν υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο αφού $\displaystyle{\eta \mu {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ και ως εκ τούτου οι πλευρές δεν μπορεί να είναι όλες ακέραιοι αριθμοί.

● Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\widehat A > {90^0}}$
Με κέντρο το σημείο

και ακτίνα ίση με

γράφουμε τόξο που τέμνει την προέκταση της

στο σημείο A_1

. Έστω

. Εφαρμόζω το νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, A_1BC

.

$\displaystyle{{b^2} = {a^2} + {c^2} - ac}$ και $\displaystyle{{b^2} = {a^2} + {(c + x)^2} - a(c + x)}$
Από τις δύο αυτές εξισώσεις κι επειδή x>0

, προκύπτει ότι x=a-2c

και $\boxed{c_1=a-c}$

Το τρίγωνο A_1BC

έχει από κατασκευής δύο πλευρές ακέραιες ( b,a

) και $\widehat B=60^0$ . Είναι ακόμα c_1=a-c>0

(από υπόθεση) και αφού $\displaystyle{a,c \in {N^*} - \{ 1\} }$ , θα είναι και $\displaystyle{{c_1} \in {N^*} - \{ 1\} }$ . ( Δεν μπορεί να είναι c_1=1

γιατί τότε θα είχαμε a=c+1

και

, που είναι άτοπο).

: Collection of Triangles.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 2733 φορές

● Αν $\displaystyle{\widehat A < {90^0}}$ εργαζόμαστε ανάλογα (τότε το A_1

θα είναι εσωτερικό σημείο της

)

#16

KARKAR έγραψε:I love equalizer ! Για να πω την αλήθεια ετοιμαζόμουν να ρωτήσω άν υπάρχει τρίγωνο του είδους , στο οποίο ο ίδιος ο εξισωτής να είναι ακέραιος . Απ' ότι γνωρίζω Γιώργο (χωρίς να είμαι βέβαιος) , δεν προτάθηκε έως τώρα κάποια μέθοδος υπολογισμού του μήκους του εξισωτή , ίσως το πρόβλημα να είναι πολύ δύσκολο , πολύ περισσότερο αν ζητηθεί να έχει και ακέραιο μήκος . Σίγουρα όμως με χρήση λογισμικού
μπορούμε ( εφόσον υπάρχει ) να δώσουμε απάντηση στο ερώτημα . Πάντως και η προταθείσα κατηγορία ... έχει ενδιαφέρον

Με τις ευχές μου για καλές Γιορτές σε όλους τους φίλους:

: 24-12-2014 Εξισωτής.png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 2702 φορές

Ψάχνοντας λιγάκι, το πρώτο που βρήκα είναι το ισοσκελές τρίγωνο ABC, AB = AC = 5, BC = 6

στο οποίο παίρνουμε BK = 5, BL = 3

, οπότε

$\displaystyle \left( {BLK} \right) = \frac{{5 \cdot 3 \cdot {\rm{\eta \mu {\rm B}}}}}{2} = \frac{{15{\rm{\eta \mu {\rm B}}}}}{2},\;\left( {ABC} \right) = \frac{{6 \cdot 5 \cdot {\rm{\eta \mu {\rm B}}}}}{2} \Rightarrow \left( {BLK} \right) = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{2}$

και $\displaystyle {\rm{\Pi \varepsilon \rho }}{\rm{.}}\,\left( {BLK} \right) = 5 + 3 + KL,\;\;\;{\rm{\Pi \varepsilon \rho }}{\rm{.}}\left( {ALKC} \right) = 1 + 5 + 2 + KL$ άρα είναι ισοπεριμετρικά.

Επίσης, από Ν. Συνημιτόνων στο ABC

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {5^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}} = \frac{3}{5}$

και στο BLK

είναι $\displaystyle K{L^2} = {5^2} + {3^2} - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B} = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{3}{5} = 16 \Rightarrow KL = 4$

Υπάρχει λοιπόν! (Δίνω και αρχείο Geogebra, με την κατασκευή).

Θανάση, ο τύπος του μήκους του

δεν μάς είχε απασχολήσει. Προκρίναμε την ύπαρξη και την κατασκευή του όταν δίνονται οι πλευρές.
Πάντως ο τύπος του μήκους του είναι εύκολο, πλέον, να κατασκευαστεί και, υπόσχομαι, να το συμπληρώσουμε, σε μελοντική ανάρτηση.

KARKAR · #17

Ας δούμε λίγο την κλάση :" Η γωνία $\hat{A}$ είναι διπλάσια της $\hat{C}$ . Εδώ τα πράγματα είναι απλά :

Ισχύει το " θεώρημα " : a^2=c^2+bc

. Λύνοντας ως προς

, βρίσκουμε : $c=\dfrac{-b+\sqrt{4a^2+b^2}}{2}$ .

Θέτοντας στα a,b

, τιμές μεταξύ

και

, προκύπτουν τα εξής έξι τρίγωνα ( Εδώ δεν έχουμε διάταξη ) :

(c,b,a)=(4,5,6) , (8,10,12) , (9,7,12) , (9,16,15) , (12,15,18) , (16,9,20)

#18

Επανέρχομαι μετά από δύο χρόνια με μία σπάνια κατηγορία (δεν ξέρω καν αν υπάρχουν άλλα τρίγωνα

σ' αυτή την κατηγορία εκτός από τα πολλαπλάσια τους

)

Πλευρές και διάμεσοι έχουν μήκη ακέραιους αριθμούς: c=136, b=170, a=174

και

Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Re: Δημιουργία συλλογής τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση