Θωμική 26

Θωμάς Ποδηματάς · #1

Χαιρετώ ξανά το

Ζωγραφίζοντας, δημιουργήθηκε το εξής θέμα :

Έστω οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχείς στο Πεδίο Ορισμού τους.

Η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ και η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

Να δείξετε ότι τα γραφήματα C_f

και

τέμνονται μοναδική φορά στο $\mathbb{R}$ .

Θωμάς

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά.

Θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=g(x)\,,x\in\mathbb{R}}$ έχει μοναδική λύση.

Θεωρώντας τη συνάρτηση $\displaystyle{h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{h(x)=f(x)-g(x)}$ ,

το πρόβλημα μας ανάγεται στο να αποδείξουμε ότι αυτή έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Ας είναι $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x<y}$ . Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι

γνησίως φθίνουσα και η $\displaystyle{g}$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ έχουμε ότι :

$\displaystyle{f(x)>f(y)}$ και $\displaystyle{g(x)<g(y)}$ ή : $\displaystyle{f(x)>f(y)}$ και $\displaystyle{-g(x)>-g(y)}$

οπότε : $\displaystyle{f(x)-g(x)>f(y)-g(y)\iff h(x)>h(y)}$ .

Συνεπώς, απεδείχθη ότι η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και άρα,

αν έχει ρίζα σε αυτό, τότε αυτή θα είναι μοναδική. Μένει να δειχθεί η ύπαρξη.

Λόγω συνέχειας και μονοτονίας γνωρίζουμε ότι :

$\displaystyle{h\,(\mathbb{R})=\left(\lim_{x\to +\infty}h(x),\lim_{x\to -\infty}h(x)\right)}$ .

$\displaystyle{f\,(\mathbb{R})=\left(\lim_{x\to +\infty}f(x),\lim_{x\to -\infty}f(x)\right)}$ .

$\displaystyle{g\,(\mathbb{R})=\left(\lim_{x\to -\infty}g(x),\lim_{x\to +\infty}g(x)\right)=\mathbb{R}}$ ,

άρα : $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty\,,\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}$ .

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=M\in\mathbb{R}}$ ή $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}$ , τότε :

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}h(x)=+\infty}$ ή $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}h(x)=+\infty}$ , αντίστοιχα.

Αν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}$ ή $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=K\in\mathbb{R}}$ , τότε :

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h(x)=-\infty}$ ή $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h(x)=-\infty}$ , αντίστοιχα.

Σε κάθε περίπτωση, $\displaystyle{h\,(\mathbb{R})=\left(\lim_{x\to +\infty}h(x),\lim_{x\to -\infty}h(x)\right)=\left(-\infty,+\infty\right)=\mathbb{R}}$ .

Ώστε, $\displaystyle{0\in\mathbb{R}\implies 0\in h\,(\mathbb{R})\implies \exists\,x_1\in\mathbb{R}: h(x_1)=0}$ , όπως θέλαμε.

Θωμάς Ποδηματάς · #3

Ωραία !

Νομίζω όμως ότι πρέπει να αποδείξεις γιατί το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)$ υπάρχει... Αυτό είναι εκτός Λυκείου και πρέπει να αποδειχτεί πριν χρησιμοποιηθεί... Αν θες για την ολοκλήρωση της απόδειξής σου, γράψε την απόδειξη.

Εγώ έχω άλλη λύση, που δεν χρησιμοποιεί το παραπάνω λήμμα... Αν δεν υπάρξει, θα τη δώσω εγώ...

Καλημέρα

Θωμάς

#4

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Χαιρετώ ξανά το

Ζωγραφίζοντας, δημιουργήθηκε το εξής θέμα :

Έστω οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχείς στο Πεδίο Ορισμού τους.

Η είναι γνήσια φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ και η είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

Να δείξετε ότι τα γραφήματα και τέμνονται μοναδική φορά στο $\mathbb{R}$ .

Θωμάς

Η συνάρτηση $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο h(x)=f(x)-g(x)

είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα γνησιώς φθινουσών συναρτήσεων.
Επομένως θα έχει το πολύ μία ρίζα.
Υποθέτουμε πως δεν έχει ρίζα. Τότε, λόγω συνέχειας διατηρεί πρόσημο. Χωρίς βλάβη ας είναι $h(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}.$
Έστω τυχαίο $x_{1} \in \mathbb{R}.$ Τότε έχουμε $h(x_{1})=f(x_{1})-g(x_{1})>0(1).$
Λόγω το ότι το πεδίο τιμών της

είναι όλοι οι πραγματικοί και λόγω συνέχειας, μπορώ να βρω $x_{2} \ne x_{1}$ (προφανές λόγω της (1)

) ώστε: $g(x_{2})=f(x_{1}).$
Τότε η (1)

δίνει: $h(x_{1})=g(x_{2})-g({x_1})>0,(2).$

Λόγω της μονοτονίας της

η διατάξη για τα $x_{1},x_{2}$ μπορεί να είναι μόνον η $x_{2}>x_{1}$ (απλό).

Επιπλέον ισχύει:

$\displaystyle{h({x_2}) = f({x_2}) - g({x_2}) = f({x_2}) - f({x_1}) < 0}$ λόγω της μονοτονίας της

Άτοπο αφού έχουμε υποθέσει πως $h(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}.$

Όμοια λειτουργούμε κι αν υποθέσουμε πως $h(x)<0, \forall x \in \mathbb{R}.$

Επομένως η

έχει μία και μοναδική ρίζα, δηλ το ζητούμενο.

Θωμάς Ποδηματάς · #5

Χρήστο super λύση! Super ...

Θωμάς

Υ. Γ.

Θα τα πούμε την Τρίτη. .? Ελπίζω πως ναι ...

#6

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε: Θα τα πούμε την Τρίτη. .? Ελπίζω πως ναι ...

Εκτός απροόπτου Θωμά λέω ναι!

styt_geia · #7

Δείτε κι εδώ το μήνυμα του Νίκου Μαυρογιάννη.

Θωμική 26

Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Re: Θωμική 26

Μέλη σε σύνδεση