ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

gabriel · #1

Αν για κάθε $x\geq 0$ ισχύει $e^{f'(x)}+f΄(x)+f(x)=e+1+x$ με $\displaystyle{f(0)=0,}$ να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=x.}$

Grosrouvre · #2

gabriel έγραψε:Αν για κάθε $x\geq 0$ ισχύει $e^{f΄(x)}+f΄(x)+f(x)=e+1+x$ με f(0)=0, να δείξετε ότι f(x)=x.

Καλή χρονιά!!

Μήπως υπάρχουν τυπογραφικά; Έχω την αίσθηση ότι η δοθείσα πρέπει να είναι

$\displaystile{e^{f''(x) + f'(x) + f(x)} = e^{1+x}}.$

#3

Grosrouvre έγραψε: Μήπως υπάρχουν τυπογραφικά; Έχω την αίσθηση ότι η δοθείσα πρέπει να είναι

$\displaystile{e^{f''(x) + f'(x) + f(x)} = e^{1+x}}.$

Καλησπέρα και καλή χρονιά. Έχω στείλει προσωπικό μήνυμα στο μέλος gabriel εδώ και ώρα για να τη γράψει καλύτερα.
Εγώ εικάζω πως θέλει να γράψει: $\displaystyle{{e^{f'(x)}} + f'(x) + f(x) = e + 1 + x}$

Για να δούμε ποιός θα...κερδίσει!
Πάντως να σημειώσω πως πρέπει να φροντίζουμε οι δημοσιεύσεις μας να είναι αν μη τι άλλο ευανάγνωστες αφού απευθυνόμαστε σε κόσμο.
Υπάρχει η επιλογή "Προεπισκόπηση" ακριβώς διπλα από την υποβολή η οποία μας δείχνει ακριβώς τι θα δημοσιεύσουμε. Γιατί λοιπόν να μην
την εκμεταλλευτούμε; Ένα δευτερόλεπτο παραπάνω είναι.
Καλό βράδυ.

Grosrouvre · #4

chris_gatos έγραψε:
Grosrouvre έγραψε: Μήπως υπάρχουν τυπογραφικά; Έχω την αίσθηση ότι η δοθείσα πρέπει να είναι

$\displaystile{e^{f''(x) + f'(x) + f(x)} = e^{1+x}}.$
Καλησπέρα και καλή χρονιά. Έχω στείλει προσωπικό μήνυμα στο μέλος gabriel εδώ και ώρα για να τη γράψει καλύτερα.
Εγώ εικάζω πως θέλει να γράψει: $\displaystyle{{e^{f'(x)}} + f'(x) + f(x) = e + 1 + x}$

Για να δούμε ποιός θα...κερδίσει!
Πάντως να σημειώσω πως πρέπει να φροντίζουμε οι δημοσιεύσεις μας να είναι αν μη τι άλλο ευανάγνωστες αφού απυεθυνόμαστε σε κόσμο.
Υπάρχει η επιλογή "Προεπισκόπηση" ακριβώς διπλα από την υποβολή η οποία μας δείχνει ακριβώς τι θα δημοσιεύσουμε. Γιατί λοιπόν να μην
την εκμεταλλευτούμε; Ένα δευτερόλεπτο παραπάνω είναι.
Καλό βράδυ.

Καλησπέρα!

Τώρα που το βλέπω καλύτερα, μάλλον θα χάσω!!

Grosrouvre · #5

chris_gatos έγραψε: Εγώ εικάζω πως θέλει να γράψει: $\displaystyle{{e^{f'(x)}} + f'(x) + f(x) = e + 1 + x}$

$\bullet$ Θα κάνω μία προσπάθεια να αντιμετωπίσω αυτή την εκδοχή της άσκησης και θα ήθελα τη γνώμη σας.

Βλέποντας τη δοθείσα ως το παρακάτω σύστημα των εξισώσεων

$e^{f'(x)} + f'(x) = e + 1$ (1) και f(x) = x

(2) θεωρώ τα εξής (με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει η δοθείσα):

Η συνάρτηση με τύπο g(x) = e^x +x

, είναι γνησίως αύξουσα για κάθε $x \geq 0$ , άρα και "1-1". Επομένως, η (1) γίνεται

$g(f'(x))=g(1) \Longrightarrow f'(x) = 1 \Longrightarrow f(x) = x$ , καθώς f(0) = 0.

Οπότε, λόγω και της (2), προκύπτει ότι f(x) = x,

για κάθε $x\geq 0.$

edit: Διόρθωση ορθογραφίας

#6

Το μέλος gabriel πάντως έχει διαβάσει το προσωπικό μου μήνυμα και δεν έχει κάνει κάτι να αλλάξει
την οπτική της εκφώνησης.

#7

Grosrouvre έγραψε: Βλέποντας τη δοθείσα ως το παρακάτω σύστημα των εξισώσεων

$e^{f'(x)} + f'(x) = e + 1$ (1) και (2) θεωρώ τα εξείς (με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει η δοθείσα):

Για ξαναδές το αυτό, γιατί είναι προβληματικό. Για να φανεί γιατί ο συλλογισμός είναι εσφαλμένος ας κάνω ένα παράδειγμα.

Πες ότι είχαμε να βρούμε την

με

και έλεγες (με την ίδια λογική)

Βλέποντας τη δοθείσα ως το παρακάτω σύστημα των εξισώσεων

$f''(x) = -\sin x$ (1) και $f(x) = 1+\sin x$ (2) θεωρώ τα εξής (με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει η δοθείσα)....και λοιπά

θα βρεις $f(x) = 1+\sin x$

Να όμως που και η $f(x)=1+\cos x$ είναι λύση, που δεν τη βρήκες.

Grosrouvre · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Grosrouvre έγραψε: Βλέποντας τη δοθείσα ως το παρακάτω σύστημα των εξισώσεων

$e^{f'(x)} + f'(x) = e + 1$ (1) και (2) θεωρώ τα εξείς (με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει η δοθείσα):
Για ξαναδές το αυτό, γιατί είναι προβληματικό. Για να φανεί γιατί ο συλλογισμός είναι εσφαλμένος ας κάνω ένα παράδειγμα.

Πες ότι είχαμε να βρούμε την με και έλεγες (με την ίδια λογική)

Βλέποντας τη δοθείσα ως το παρακάτω σύστημα των εξισώσεων

$f''(x) = -\sin x$ (1) και $f(x) = 1+\sin x$ (2) θεωρώ τα εξής (με πρόσθεση των (1) και (2) προκύπτει η δοθείσα)....και λοιπά

θα βρεις $f(x) = 1+\sin x$

Να όμως που και η $f(x)=1+\cos x$ είναι λύση, που δεν τη βρήκες.

Ευχαριστώ πολύ για το παράδειγμα. Δεν μου φαινόταν ούτε κι εμένα σωστό και γενικό, απλώς ήταν μια ιδέα που ήθελα να σχολιαστεί.

gabriel · #9

Αρχικά ζητώ συγνώμη αν σας <<κούρασε>> η εκφώνηση, αν και είχα κάνει προεπισκόπηση και δεν μου έδειχνε πρόβλημα!!! Πάμε άλλη μία φορά......

Αν για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ ισχύει $e^{f{}'(x)}+f{}'(x)+f(x)=e+1+x$ με f(0)=0

, να δείξετε ότι
f(x)=x

.

#10

gabriel έγραψε:Αρχικά ζητώ συγνώμη αν σας <<κούρασε>> η εκφώνηση, αν και είχα κάνει προεπισκόπηση και δεν μου έδειχνε πρόβλημα!!! Πάμε άλλη μία φορά......

Αν για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ ισχύει $e^{f{}'(x)}+f{}'(x)+f(x)=e+1+x$ με , να δείξετε ότι
.

Ωραία! Αφού το δέσαμε ας πούμε και δύο λόγια για τη λύση η οποία δε διαφέρει σχεδόν καθόλου από την αντίστοιχη που είχε θέσει το μέλος gabriel εδώ

'Εστω $g(x)=f(x)-x,x \ge 0$ . Τότε g(0)=0

και η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{{e^{g'(x) + 1}} + g'(x) + 1 + g(x) + x = 1 + e + x,x \ge 0 \Leftrightarrow {e^{g'(x) + 1}} + g'(x) + g(x) = e,x \ge 0 \Leftrightarrow {e^{g'(x)}} + \frac{{g'(x) + g(x)}}{e} = 1,x \ge 0,(1)}$

Τώρα από τη γνωστή και μη εξαιρετέα ανισότητα έχουμε: $\displaystyle{{e^{g'(x)}} \ge g'(x) + 1 \Leftrightarrow 1 = {e^{g'(x)}} + \frac{{g'(x) + g(x)}}{e} \ge \frac{{g'(x) + g(x)}}{e} + g'(x) + 1,x \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge g(x) + (1 + e)g'(x)}$ (2)

Η συνάρτηση $\displaystyle{G(x) = g(x) \cdot {e^{\frac{x}{{1 + e}}}},x \ge 0}$ είναι παραγωγίσιμη και συνεχής με $\displaystyle{G'(x) = \left( {\frac{1}{{1 + e}}g(x) + g'(x)} \right) \cdot {e^{\frac{x}{{1 + e}}}} = \frac{{g(x) + (1 + e)g'(x)}}{{1 + e}}{e^{\frac{x}{{1 + e}}}}\mathop { \le 0}\limits^{\left( 2 \right)} ,x \ge 0}$
επομένως είναι φθίνουσα.

Έχω:

$\displaystyle{x \ge 0 \Leftrightarrow G(x) \le G(0) = 0 \Leftrightarrow g(x) \le 0,x \ge 0}$ (3)

Επιπλέον:

$\displaystyle{{e^{g'(x) + 1}} + g'(x) + g(x) = e \Leftrightarrow {e^{g'(x) + 1}} + g'(x) + 1 + (1 + e)g(x) = e + 1 \Leftrightarrow {e^{g'(x) + 1}} + g'(x) + 1 = e + 1 - \left( {g'(x) + 1 + (1 + e)g(x)}}$ $\displaystyle{ \right)\mathop \ge \limits^{\left( 2 \right)} e + 1,(4)}$

Όμως αν θεωρήσω τη συνάρτηση με τύπο $h(x)=e^{x}+x,x \in \mathbb{R}$ έχω (εύκολα) πως είναι γνησίως αύξουσα επομένως η (4)

δίνει ισοδύναμα:

$\displaystyle{h(g'(x) + 1) \ge h(1),x \ge 0 \Leftrightarrow g'(x) + 1 \ge 1 \Leftrightarrow g'(x) \ge 0,x \ge 0}$

Δηλαδή η

είναι αύξουσα επομένως $\displaystyle{x \ge 0 \Leftrightarrow g(x) \ge g(0) = 0 \Leftrightarrow g(x) \ge 0,(5)}$

Τώρα λοιπόν από τις (3),(5)

, λαμβάνω $g(x)=0, \forall x \ge 0.$ Δηλαδή $f(x)=x,x\ge 0.$

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2

Μέλη σε σύνδεση