Η συνάρτηση είναι επί

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Mathletic: Δημοσιεύσεις: 275; Εγγραφή: Πέμ Μαρ 21, 2013 11:25 pm

Η συνάρτηση είναι επί

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mathletic » Δευ Ιαν 12, 2015 7:24 pm

Γειά

Προσπαθώ να κάνω την απόδειξη της πρότασης: Η ένωση δύο πεπερασμένων συνόλων είναι πεπερασμένο σύνολο.

Έστω X,Y

πεπερασμένα σύνολα. Τότε υπάρχουν $n,m \in \omega$ ώστε $X \sim n$ και $Y \sim m$ , δηλαδή υπάρχουν $f: X \to n, g:Y \to m$ οι οποίες είναι 1-1 και επί.

1η περίπτωση: $X \cap Y=\varnothing$

Ορίζουμε τη συνάρτηση $h: X \cup Y \to n+m$

ώστε h(x)=f(x)

αν $x \in X$ , h(y)=n+g(y)

αν $y \in Y$ .

Θα δείξουμε ότι $h: X \cup Y \overset{\text{1-1}}{\to} n+m$ .

Έστω $a,b \in X \cup Y$ με h(a)=h(b)

.

- Αν $a,b \in X$ τότε h(a)=f(a)

και

.
Άρα $f(a)=f(b) \rightarrow a=b$ αφού η συνάρτηση

είναι 1-1.

- Αν $a,b \in Y$ τότε h(a)=n+g(a)

και

.
Άρα $n+g(a)=n+g(b) \rightarrow g(a)=g(n) \rightarrow a=b$ αφού η συνάρτηση

είναι 1-1.

- Αν $a \in X, b \in Y$ τότε h(a)=f(a)<n

και $h(b)=n+g(b) \geq n$ .
Επομένως δεν γίνεται να ισχύει ότι h(a)=h(b)

.[/list]

Θα δείξουμε ότι η $h: X \cup Y \to n+m$ είναι επί.

Δηλαδή θέλουμε να δείξουμε ότι $\forall k \in n+m \rightarrow k<n+m, \exists b \in X \cup Y$ τέτοιο ώστε h(b)=k

.

Αρκεί να δείξουμε ότι $\forall k<n, \exists x \in X$ τέτοιο ώστε h(x)=k

και ότι $\forall n \leq k < n+m, \exists y \in Y$ τέτοιο ώστε h(y)=k

.

Για $x \in X$ : $h(x)=k \Rightarrow f(x)=k$ .
Μιάς και η

είναι επί συμπεραίνουμε ότι $\forall k<n, \exists x \in X$ τέτοιο ώστε h(x)=k

.

Επίσης έχουμε ότι για $y \in Y: h(y)=k \Rightarrow n+g(y)=k$ .

Πώς μπορούμε να συνεχίσουμε δεδομένου ότι δεν έχουμε ορίσει την αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς;

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή στο “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης