Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

ealexiou · #1

Στο σχέδιο βλέπουμε ένα ρολόι $(O,r_{1})$ στερεωμένο στον τοίχο και ένα κύκλο $(K,r_{2})$ , που εφάπτεται στο ρολόϊ στο σημείο που δείχνει ώρα δώδεκα (12)

. με ζωγραφισμένο πάνω του το κόκκινο βελάκι που στην αρχική θέση είναι κατακόρυφο, δείχνει προς τα πάνω-βόρεια και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

: Ρολόϊ-1.png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Περιστρέφουμε, χωρίς ολίσθηση, τον κύκλο δεξιόστροφα και πάντα σε επαφή με το ρολόϊ.
Ποιός πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{r_{2}}{r_{1}}$ ώστε όταν το βελάκι του κύκλου θα δείχνει κατακόρυφα και προς τα πάνω για πρώτη φορά, μετά την έναρξη της περιστροφής, το σημείο επαφής των δύο κυκλικών δίσκων θα δείχνει :
α) την ώρα

;
β) την ώρα

:
Στο (β) ερώτημα η λύση, αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, μας περιμένει μια απρόσμενη έκπληξη.
Δεν έχω βέβαιες απαντήσεις καθώς το πρόβλημα το έφτιαξα ο ίδιος.

Ευθύμης

#2

ealexiou έγραψε:Στο σχέδιο βλέπουμε ένα ρολόι $(O,r_{1})$ στερεωμένο στον τοίχο και ένα κύκλο $(K,r_{2})$ , που εφάπτεται στο ρολόϊ στο σημείο που δείχνει ώρα δώδεκα . με ζωγραφισμένο πάνω του το κόκκινο βελάκι που στην αρχική θέση είναι κατακόρυφο, δείχνει προς τα πάνω-βόρεια και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

Το συνημμένο Ρολόϊ-1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Περιστρέφουμε, χωρίς ολίσθηση, τον κύκλο δεξιόστροφα και πάντα σε επαφή με το ρολόϊ.
Ποιός πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{r_{2}}{r_{1}}$ ώστε όταν το βελάκι του κύκλου θα δείχνει κατακόρυφα και προς τα πάνω για πρώτη φορά, μετά την έναρξη της περιστροφής, το σημείο επαφής των δύο κυκλικών δίσκων θα δείχνει :
α) την ώρα ;
β) την ώρα :
Στο (β) ερώτημα η λύση, αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, μας περιμένει μια απρόσμενη έκπληξη.
Δεν έχω βέβαιες απαντήσεις καθώς το πρόβλημα το έφτιαξα ο ίδιος.

Ευθύμης

Για το πρώτο ερώτημα εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύκλος και ρολόι 5.PNG (32.22 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Στό σχήμα αυτό θεωρούμε τους κύκλους σύμφωνα με την εκφωνηση και προσέχουμε τη στιγμή όπου

περιστρεφόμενος δεξιόστροφα κύκλος $\displaystyle{(K)}$ βρίσκεται στη θέση της 7ης ώρας με το βέλος να είναι

κατακόρυφο και να "βλέπει" προς τα επάνω. Τότε θα ισχύει:

Το μήκος του $\displaystyle{arc(M_1M)}$ επάνω στον κύκλο του ρολογιού ίσο με το μήκος του $\displaystyle{arc(MTM_2)}$ που είναι επάνω στον περιστρεφόμενο κύκλο.

Η ισότητα αυτή φαίνεται κι από τις έντονα πράσινες γραμμές που είναι τα ίχνη της περιστροφής χωρίς ολίσθηση.

Ακόμα πρέπει να πούμε ότι τα μέτρα των τόξων αυτών σε μοίρες είναι:

$\displaystyle{\stackrel\frown{M_1M}=150^o}$ και $\displaystyle{\stackrel\frown{MTM_2}=210^o}$

Αν τώρα $\displaystyle{S_1}$ είναι το μήκος του πρώτου τόξου και $\displaystyle{S_2}$ το μήκος του δεύτερου τότε θα είναι:

$\displaystyle{S_1=2\pi r_1\frac{150^o}{360^o}\ \ (1)}$

και

$\displaystyle{S_2=2\pi r_2\frac{210^o}{360^o}\ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) και από την ισότητα των μηκών των τόξων προκύπτει εύκολα ότι:

$\displaystyle{\frac{r_1}{r_2}=\frac{7}{5}}$

Για το δεύτερο ερώτημα θα ακολουθήσει άλλο μήνυμα.

Κύκλος και ρολόι 1.ggb: (8.57 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

ealexiou έγραψε:Στο σχέδιο βλέπουμε ένα ρολόι $(O,r_{1})$ στερεωμένο στον τοίχο και ένα κύκλο $(K,r_{2})$ , που εφάπτεται στο ρολόϊ στο σημείο που δείχνει ώρα δώδεκα . με ζωγραφισμένο πάνω του το κόκκινο βελάκι που στην αρχική θέση είναι κατακόρυφο, δείχνει προς τα πάνω-βόρεια και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

Το συνημμένο Ρολόϊ-1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Περιστρέφουμε, χωρίς ολίσθηση, τον κύκλο δεξιόστροφα και πάντα σε επαφή με το ρολόϊ.
Ποιός πρέπει να είναι ο λόγος $\dfrac{r_{2}}{r_{1}}$ ώστε όταν το βελάκι του κύκλου θα δείχνει κατακόρυφα και προς τα πάνω για πρώτη φορά, μετά την έναρξη της περιστροφής, το σημείο επαφής των δύο κυκλικών δίσκων θα δείχνει :
α) την ώρα ;
β) την ώρα :
Στο (β) ερώτημα η λύση, αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, μας περιμένει μια απρόσμενη έκπληξη.
Δεν έχω βέβαιες απαντήσεις καθώς το πρόβλημα το έφτιαξα ο ίδιος.

Ευθύμης

Συνέχεια η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύκλος και ρολόι 6.PNG (43.28 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Έστω ότι κάποια στιγμή της περιστροφής του εξωτερικού κύκλου ακτίνας $\displaystyle{r_2}$ βέλος για πρώτη φορά

γίνεται κατακόρυφο και με φορά προς τα άνω. (Έτσι όπως δείχνει το σχήμα)

Τότε θα είναι:

$\displaystyle{S_{\stackrel \frown{M_1M}}=S_{\stackrel \frown{MM_2}} \ \ (1)}$ (τα πράσινα παχιά τόξα, που είναι τα ίχνη της ολίσθησης)

Από την (1) προκύπτει:

$\displaystyle{2\pi r_1(\frac{360^o-\alpha}{360^o})=2\pi r_2(\frac{\alpha}{360^o}) \ \ (2)}$

Λύνοντας τη (2) ως προς $\displaystyle{r_2}$ έχουμε:

$\displaystyle{r_2=(\frac{360^o}{\alpha}-1)r_1 \ \ (3)}$

Τέλος για να συμβεί το ζητούμενο, δηλαδή το βέλος να είναι κατάκόρυφο και με φορά προς τα άνω

τη στιγμή της 12ης ώρας, θα πρέπει:

$\displaystyle{\alpha ->0 \ \ (4)}$

γιατί ως παρονομαστής ο $\displaystyle{\alpha}$ θα πρέπει να είναι διαφορος του μηδενός πράγμα που σημαίνει ότι

το ζητούμενο είναι αδύνατο.

Όμως ζητώντας την οριακή τιμή του $\displaystyle{r_2}$ έχουμε:

$\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}r_2 =\lim_{\alpha\rightarrow 0}(\frac{360^o}{\alpha}-1)r_1=+\propto$

Αυτό σημαίνει ότι στην οριακή αυτή περίπτωση ο κυλιόμενος δίσκος θα πρέπει να έχει ακτίνα ίση με άπειρο

δηλαδή να γίνει ευθεία εφαπτομένη στο σημείο της 12ης ώρας.

Άρα η απάντηση είναι ότι το ζητούμενο όριο των ακτίνων απειρίζεται(θετικά).

Κώστας Δόρτσιος

ealexiou · #4

Κώστα, θερμά συγχαρητήρια!!

Αυτή ήταν η απρόσμενη έκπληξη, ο σχιζοφρενικός χώρος-κόσμος του Κάντορ, το άπειρο!

Υ.Γ Αυτό το πρόβλημα το έφτιαξα μόνος μου, γυρεύοντας ...εξιλέωση για την αρχική μου αβλεψία (η διεύθυνση του βέλους να περνάει ντε και καλά από το κέντρο του ρολογιού) πρώτα και κύρια από τον εαυτό μου και νομίζω ότι πρέπει να μου την δώσει, την ...εξιλέωση!

#5

ealexiou έγραψε:Κώστα, θερμά συγχαρητήρια!!

Αυτή ήταν η απρόσμενη έκπληξη, ο σχιζοφρενικός χώρος-κόσμος του Κάντορ, το άπειρο!

Υ.Γ Αυτό το πρόβλημα το έφτιαξα μόνος μου, γυρεύοντας ...εξιλέωση για την αρχική μου αβλεψία (η διεύθυνση του βέλους να περνάει ντε και καλά από το κέντρο του ρολογιού) πρώτα και κύρια από τον εαυτό μου και νομίζω ότι πρέπει να μου την δώσει, την ...εξιλέωση!

Ευθύμη, είναι αλήθεια ότι η έννοια του απείρου είναι μια από τις πλέον δυσνόητες έννοιες για την ανθρώπινη λογική.
Οι προσωκρατικοί έλεάτες(Περμενίδης, Ζήνων, κ.ά.) έθεσαν πρώτοι την αμφισβήτιση της κίνησης των όλων (τα πάντα ρεί)
των φυσικών φιλοσόφων της Ιωνίας και της Μιλήτου(Ηράκλειτος, Θαλής, Αναξίμανδρος κ.ά.)προβάλλοντας τα λεγόμενα παράδοξα στα οποία οδηγεί
η παραδοχή της κίνησης.

Ο μεγάλος φιλόσοφος Αριστοτέλης αργότερα προσπάθησε να μελετήσει την έννοια του απείρου γράφοντας πολλά. Μέχρι
και σήμερα ο δρόμος είναι γεμάτος από πλήθος ιδεών και προσπαθειών να κατανοήσει ο άνθρωπος το άπειρο (και το απειροστό).
Οι μαθηματικοί, ίσως καλύτερα από άλλους, βγήκαν "έξω από τα πράγματα" και "είδαν" το άπειρο λίγο διαφορετικά. Όμως
το ερώτημα παραμένει: Είναι αυτό αλήθεια;

Έτσι και στον κύκλο αυτό, όπως και σε μυριάδες άλλα προβλήματα, μιλάμε για κύκλο άπειρης ακτίνας.
Για να γίνει το βέλος κατακόρυφο για πρώτη φορά και με φορά προς τα άνω θα πρέπει ο κυλιόμενος
δίσκος να έχει άπειρη ακτίνα. Ναί!

Ευθύμη να είσαι καλά.

Κώστας Δόρτσιος

#6

Δείτε εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3&t=623900
και εδώ: http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_rotation_paradox

#7

smar έγραψε:Δείτε εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3&t=623900
και εδώ: http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_rotation_paradox

Γενικά η κίνηση ενός κυκλικού νομίσματος γύρω από ένα άλλο, θέμα που

αναφέρεται στον ανωτέρω υπερσύνδεσμο, περιγράφεται από το ακόλουθο σχήμα:

: Κύλιση νομίσματος γύρω από άλλο 1.PNG (25.51 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

Η μορφή της κυκλοειδούς αυτής καμπύλης εξαρτάται κάθε φορά από τη σχέση

των ακτίνων των νομισμάτων.

Στο δυναμικό σχήμα που παραθέτω μπορείτε να μελετήσετε διάφορες μορφές

της καμπύλης αυτής με διαδραστικό τρόπο.

Κύλιση νομίσματος γύρω από άλλο 1.ggb: (7.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Re: Κύκλος και ρολόϊ - συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση