ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

nikoszan · #1

Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ ισχύει $\displaystyle{{\left( {f''\left( x \right)} \right)^2} - xf''\left( x \right) + 1 = f'\left( x \right),\forall x \in R}$
ν.δ.ο. $\displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right) + f\left( {{z^2}} \right) \ge f\left( {xy} \right) + f\left( {yz} \right) + f\left( {zx} \right),\forall x,y,z \in R}$ .
Ν.Ζ.

PolarizationIdentity · #2

Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο

:

, άρα η συνάρτηση xf'(x)

είναι γνησίως αύξουσα στο

και από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

.

PolarizationIdentity · #3

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το f''(x)

είναι μη αρνητικό για τα μη αρνητικά

. Μετά θα έχουμε:
$\displaystyle{f(xy)\leq f([x^2+y^2]/2)\leq [f(x^2)+f(y^2)]/2}$ και παρομοίως $\displaystyle{f(yz)\leq f([y^2+z^2]/2)\leq [f(y^2)+f(z^2)]/2}$ και
$\displaystyle{f(xz)\leq f([x^2+z^2]/2)\leq [f(x^2)+f(z^2)]/2}$ και με πρόσθεση κατά μέλη θα προκύψει η ζητούμενη ανισότητα.

#4

Nομίζω ότι το ΕΥΚΟΛΑ ΔΕΙΧΝΟΥΜΕ δεν στέκει
Εξ άλλου δεν υπάρχει απόδειξη για το μη αρνητικό της τηςβ $\displaystyle{f''}$
Δίνω μια απόδειξη για το αυξουσα

$\displaystyle{\pm 2f''(x)\le1+(f''(x))^2=(xf'(x))',x\in R}$ άρα

$\displaystyle{((x-2)f'(x))'\ge 0 , ((x+2)f'(x))'\ge 0}$

τότε για $\displaystyle{x>2 \Rightarrow f'(x)>0}$ και ομοίως για $\displaystyle{x<-2}$ ακόμη

$\displaystyle{f'(x)\ge 1-(x/2)^2}$ από το ελαχιστο του τριωνύμου . Για $\displaystyle{-2\le x\le 2,f'(x)\ge0}$

αρα $\displaystyle{f}$ αύξουσα στο $\displaystyle{R}$

Θεοδωρος Παγωνης · #5

Χωρίς να γνωρίζω αν προχωρά με αυτό τον τρόπο παρακάτω η άσκηση…

Θεωρώ την συνάρτηση g(x)=x{f}'(x)-x

, για την οποία ισχύει ${g}'(x)={f}'(x)+x{{f}'}'(x)-1\Leftrightarrow {g}'(x)={{\left( {{f}'}'(x) \right)}^{2}}\ge 0$ .

Άρα

αύξουσα με g(0)=0

.

Άρα για κάθε $x>0\Rightarrow g(x)>g(0)\Rightarrow x{f}'(x)-x>0\Rightarrow x{f}'(x)>x\overset{:x>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,{f}'(x)>1$

και για κάθε $x<0\Rightarrow g(x)<g(0)\Rightarrow x{f}'(x)-x<0\Rightarrow x{f}'(x)<x\overset{:x<0}{\mathop{\Rightarrow }}\,{f}'(x)>1$

ενώ για x=0

έχω ${{\left( {{f}'}'(0) \right)}^{2}}+1={f}'(0)\Rightarrow {f}'(0)\ge 1$

Άρα για κάθε $x\in \mathbb{R}$ είναι ${f}'(x)\ge 1$ , άρα

αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

PolarizationIdentity · #6

R BORIS η μονοτονία είναι απλή, το έγραψα παραπάνω. Έστω $\varphi (x)=xf'(x),$ για

στο

. Για

έχω $\varphi (x)> \varphi (0)=0$ και άρα f'(x)>0

.
Για

έχω $xf'(x)< \varphi (0)=0$ και άρα πάλι f'(x)>0

. Eπίσης

. Άρα η

είναι θετική παντού. To ξέρω ότι δεν έχω αποδείξει ότι η f''

είναι μη αρνητική.

makisman · #7

Δεν είναι απαραίτητα f''(x)>0

. Δυο συναρτήσεις που ικανοποιουν τις σχέσεις είναι f(x)=x+c

, $f(x)=\frac{1}{4}x^3+x+c$ .

PolarizationIdentity · #8

Δεν χρειάζεται να είναι παντού μη αρνητική η f''. Μόνο για τα μη αρνητικά x. Επίσης μπορεί να βγαίνει και αλλιώς, απλώς έγραψα έναν δρόμο που ακολούθησα.

#9

Καταρχήν η g(x)=xf'(x)

έχει παράγωγο g'(x)=xf''(x)+f'(x)=(f''(x))^2+1>0,

άρα είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω x_0

τυχαίος θετικός αλλά σταθερός αριθμός. Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)=f(x^2)+f(x_0^2)- 2f(x_0x)

με $x \in (0,+\infty).$
Είναι $h'(x)=2xf'(x^2)-2x_0f'(x_0x)=2\dfrac{g(x^2)-g(x_0x)}{x}.$
Εφόσον η

είναι γνησίως αύξουσα, εύκολα βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει ελάχιστο στο x_0

ίσο με

Άρα $f(x^2)+f(y^2)\geq 2f(xy)$ για κάθε $x,y \in (0,+\infty).$

Επιπλέον η

είναι αύξουσα στο $\mathbb {R}$ όπως έχει αποδειχθεί σε προηγούμενη δημοσίευση. Μπορούμε τώρα να αποδείξουμε ότι η προηγούμενη ανισότητα ισχύει για x,y

τυχαίους πραγματικούς.
Πράγματι για x,y

τυχαίους πραγματικούς μη μηδενικούς αριθμούς ισχύει $f(x^2)+f(y^2) \geq 2f(|xy|) \geq 2f(xy).$
Αν κάποιος από τους x,y

είναι μηδέν, η ανισότητα παραμένει αληθής λόγω της μονοτονίας της

Εφαρμόζουμε κυκλικά, προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε το ζητούμενο.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Μέλη σε σύνδεση