Ρυθμός μεταβολής Χ. 1

[Χρηστος]

1. Μία δοκός μήκους 13 m στηρίζεται στο δάπεδο και στον τοίχο. Το κάτω άκρο της δοκού απέχει από τον τοίχο 3 m και αρχίζει να γλιστρά στο δάπεδο με ταχύτητα υ=1,5 m/sec . Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία γλιστράει στον τοίχο το πάνω άκρο της δοκού μετά από 6 sec .

[Mihalis_Lambrou]

1. Μία δοκός μήκους 13 m στηρίζεται στο δάπεδο και στον τοίχο. Το κάτω άκρο της δοκού απέχει από τον τοίχο 3 m και αρχίζει να γλιστρά στο δάπεδο με ταχύτητα υ=1,5 m/sec . Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία γλιστράει στον τοίχο το πάνω άκρο της δοκού μετά από 6 sec .

Χρήστο τι μου θύμισες: Όταν ετοιμαζόμουν για εισαγωγή στο Μαθηματικό του Imperial στο Λονδίνο πέρασα, εκτός από τις συνηθισμένες εισαγωγικές εξετάσεις, και προφορική συνέντευξη. Η ιδέα τότε, σε αυτές τις συνεντεύξεις, ήταν να βρει αφορμή το Τμήμα να μην σε πάρει.

Το λοιπόν, με ρώτησε μία δυσκολότερη παραλλαγή της άσκησης που βάζεις: Αντί να πέφτει η δοκός με την ελεγχόμενη ταχύτητα που θέτεις, να πέφτει υπό την έλξη της βαρύτητας. Σε αυτή την περίπτωση η ταχύτητα είναι φυσικά μεταβλητή, και για την λύση πρέπει να χρησιμοποιήσεις και νόμο διατήρησης της ενέργειας, της Φυσικής. (Οι τριβές είναι αμελητέες)

Αφού την έλυσα ο εξεταστής μου είπε: Καλά, ας ξεχάσουμε την Δυναμική και ας δούμε τι Γεωμετρία ξέρεις. Ας υποθέσουμε ότι η δοκός είναι σκάλα στην οποία στέκεται ένας άνθρωπος. Ποιά θα είναι η τροχιά που διαγράφουν τα παπούτσια του; Σου επιτρέπω να την λύσεις με Αναλυτική, αλλά στην ειδική περίπτωση που ο άνθρωπος στέκεται στη μέση της σκάλας, απαιτώ καθαρή Ευλείδεια.

Θυμάμαι και μερικές από τις άλλες ερωτήσεις που με ρώτησε, αλλά ήταν ευκολότερες.

α) Αν πρώτος, τότε n πρώτος.

b) Χωρίς να αναπτυχθεί η ορίζουσα, να λυθεί η εξίσωση



γ) πόσα ζάρια μπορείς να φτάξεις με τους αριθμούς 1 έως 6, των οποίων οι απέναντι έδρες έχουν άθροισμα άρτιο; Οι επαναλήξεις αριθμών δεν επιτρέπονται. Εννοείται ότι ζάρια που προκύπτουν από περιστροφή το ένα του άλλου είναι ίδια.

Φιλικά,

Μιχάλης

[A.Spyridakis]

Χμμμ..

Για το α: αντιθετοαντιστροφή
για το β: αφαίρεση 2ης γραμμής από 3η, άρα χ^2-χ=6, δηλ χ=-2 ή χ=3
για το γ: κανένα

Τι λες Μιχάλη? Υπάρχει κάτι πιο σύντομο για το β?

[Χρηστος]

Στο β είναι ορίζουσα ή πίνακας

[mtsarduckas]

Ορίζουσα, αν ήταν πίνακας η εξίσωση θα ήταν προφανώς αδύνατη. Εγώ σκέφτηκα να την μετατρέψουμε με γραμμοπράξεις σε οριζουσα τριγωνικού αλλά η ιδέα του A.Spyridakis είναι πολύ καλύτερη!

[Mihalis_Lambrou]

Για το α: αντιθετοαντιστροφή

Σωστά. Αλλά (για τους άλλους το λέω) πώς;

για το β: αφαίρεση 2ης γραμμής από 3η, άρα χ^2-χ=6, δηλ χ=-2 ή χ=3

Τι λες Μιχάλη? Υπάρχει κάτι πιο σύντομο για το β?

Ναι υπάρχει, πολύ πιο σύντομο!

για το γ: κανένα

Σωστά. Αμέσως μετά όμως με ρώτησε το ίδιο πρόβλημα "με άθροισμα απέναντι εδρών = περιττός". Τώρα δεν είναι τετριμένο γιατί υπάρχει ο φόβος να διπλομετρίσεις ζάρια.

Φιλικά,

Μιχάλης.

[Mihalis_Lambrou]

η ιδέα του A.Spyridakis είναι πολύ καλύτερη!

Υπάρχει και καλύτερη.

(ας το επαναλάβω, πρόκειται για ορίζουσα, όχι πίνακα)

[mtsarduckas]

Μήπως...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η πρώτη στήλη είναι η [1 3 3^2] και η τρίτη [1 -2 (-2)^2] επομένως αρκεί το χ να είναι τέτοιο ώστε η δεύτερη στήλη να είναι ίδια με την πρώτη ή την τρίτη...

[Mihalis_Lambrou]

Μήπως...

Ακριβώς. Όπως λές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

για χ = 3 γίνονται ίσες οι δύο πρώτες στήλες, και για χ = -2 οι δύο τελευταίες

[A.Spyridakis]

Ακριβώς. Όπως λές για χ = 3 γίνονται ίσες οι δύο πρώτες στήλες, και για χ = -2 οι δύο τελευταίες

Σωστά. Αμέσως μετά όμως με ρώτησε το ίδιο πρόβλημα "με άθροισμα απέναντι εδρών = περιττός". Τώρα δεν είναι τετριμένο γιατί υπάρχει ο φόβος να διπλομετρίσεις ζάρια.

9?
Και είπες ότι όλες οι ερωτήσεις/απαντήσεις γίνονταν προφορικά? Εννοώ ότι δεν είχες τη δυνατότητα να χρησ/σεις μολύβι και χαρτί?

[Χρηστος]

Δύο ταχύπλοα σκάφη Σ1 και Σ2 κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση σε παράλληλες ευθύγραμμες πορείες που απέχουν 1 μίλι. Τα σκάφη κινούνται με σταθερές ταχύτητες 33 μίλια /h και 38 μίλια /h , αντίστοιχα , ενώ ξεκίνησαν την κίνηση τους όταν απείχαν 1 μίλι . Σε κάποια χρονική στιγμή , τα σκάφη απέχουν 2 μίλια . Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης τους τότε ;

α) Ποία είναι η γνώμη σας για τα προβλήματα ρυθμού μεταβολής για τους μαθητές
Της Γ Λυκείου Κατεύθυνσης , Γενικής παιδείας και Μαθηματικά Ι των ΕΠΑΛ .

[Mihalis_Lambrou]

Και είπες ότι όλες οι ερωτήσεις/απαντήσεις γίνονταν προφορικά? Εννοώ ότι δεν είχες τη δυνατότητα να χρησ/σεις μολύβι και χαρτί?

Όρθιοι και οι δύο στον πίνακα. Κυρίως γινόταν κουβέντα, χωρίς γράψιμο, αλλά επιτρεπόταν η χρήση του πίνακα για τις πράξεις ή το σχήμα. Ο εξεταστής ενδιαφερόταν περισσότερο να δει πώς σκέπτεσαι και όχι για τις λογιστικές λεπτομέρειες.

Π.χ. για το πρόβλημα με την ορίζουσα, την έγραψε στον πίνακα ο ίδιος. Από 'κει και πέρα ήθελε λύση "με το μυαλό", σχεδόν μονολεκτικά.

Βέβαια, επειδή είμασταν Αγγλία, μία από τις ερωτήσεις ήταν "would you like some tea?"

Φιλικά,

Μιχάλης

[Χρηστος]

Δύο ταχύπλοα σκάφη Σ1 και Σ2 κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση σε παράλληλες ευθύγραμμες πορείες που απέχουν 1 μίλι. Τα σκάφη κινούνται με σταθερές ταχύτητες 33 μίλια /h και 38 μίλια /h , αντίστοιχα , ενώ ξεκίνησαν την κίνηση τους όταν απείχαν 1 μίλι . Σε κάποια χρονική στιγμή , τα σκάφη απέχουν 2 μίλια . Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης τους τότε ;

α) Ποία είναι η γνώμη σας για τα προβλήματα ρυθμού μεταβολής για τους μαθητές
Της Γ Λυκείου Κατεύθυνσης , Γενικής παιδείας και Μαθηματικά Ι των ΕΠΑΛ .

[R BORIS]

Για το αρχικό πρόβλημα του Χρήστου υπάρχει μια όμορφη γραφική μέθοδος με την οποία μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα κάθε σημείου της δοκού αν ξέρουμε τις ταχύτητες των άκρων της

Clipboard02.png (3.01 KiB) Προβλήθηκε 2309 φορές

Αν ΚΑ,ΚΒ κάθετες στις ταχύτητες αντίστοιχα, τότε ορίζεται το Κ (στιγμιαίος πόλος περιστροφής) Η ταχύτητα που θέλουμε είναι κάθετη στην ΚΜ και το πέρας του διανύσματός της βρίσκεται πάνω στην Α΄Β΄, όπως στο σχήμα

[R BORIS]

Clipboard02.png (3.01 KiB) Προβλήθηκε 2294 φορές

Με βάση το προηγούμενο σχήμα

Η σκάλα ΑΒ μήκους d γλιστράει όπως στο σχήμα, ώστε η ταχύτητα του άκρου Β να είναι σταθερή και ίση με υ. Αρχικά ήταν κατακόρυφη. Αν t η διάρκεια κίνησης πριν το Α να φτάσει στο έδαφος, τότε
ι)Να εκφράσετε τα ΟΑ , ΟΒ συναρτήσει του t και να αποδείξετε ότι το μέτρο της ταχύτητας του A δίνεται από την σχέση
ιι)Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ συναρτήσει του t
ιιι)Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του άνω άκρου της σκάλας
ιv)Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας φ.

[polysot]

Για το αρχικό πρόβλημα του Χρήστου υπάρχει μια όμορφη γραφική μέθοδος με την οποία μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα κάθε σημείου της δοκού αν ξέρουμε τις ταχύτητες των άκρων της

Clipboard02.png

Αν ΚΑ,ΚΒ κάθετες στις ταχύτητες αντίστοιχα, τότε ορίζεται το Κ (στιγμιαίος πόλος περιστροφής) Η ταχύτητα που θέλουμε είναι κάθετη στην ΚΜ και το πέρας του διανύσματός της βρίσκεται πάνω στην Α΄Β΄, όπως στο σχήμα

Κάτι μου διαφεύγει: πώς το ξέρουμε αυτό με το σημείο Κ;

[R BORIS]

Φυσικά το Κ εξαρτάται από τον χρόνο (κινείται). Αλλά αν θεωρήσουμε γνωστά τα Α,Β σε κάποια t καθὠς και τα διανύσματα τω ταχυτήτων τότε το Κ ορίζεται από τα Α,Β και τις καθετότητες
(παρεμπιπτόντως ποια είναι η τροχιά? του Κ)

[Demetres]

Σωστά. Αμέσως μετά όμως με ρώτησε το ίδιο πρόβλημα "με άθροισμα απέναντι εδρών = περιττός". Τώρα δεν είναι τετριμένο γιατί υπάρχει ο φόβος να διπλομετρίσεις ζάρια.

9?

Εγώ βρίσκω 12.

[A.Spyridakis]

Είχε δίκιο ο Μιχάλης: Διπλομετρήσαμε ζάρια! Τώρα βρίσκω 8!