AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

gabriel · #1

Να λυθεί, για τις τιμές για τις οποίες είναι καλώς ορισμένη, η εξίσωση: $4x^{2}+12x\sqrt{1+x}-27=27x$ .

#2

gabriel έγραψε:Να λυθεί, για τις τιμές για τις οποίες είναι καλώς ορισμένη, η εξίσωση: $4x^{2}+12x\sqrt{1+x}-27=27x$ .

Για $x \geq -1$ έχουμε ότι:
$\displaystyle{4x^{2}+12x\sqrt{1+x}-27=27x \Leftrightarrow (2x)^2+2(2x)(3\sqrt{1+x})+(3\sqrt{1+x})^2=27x+27+9x+9 \Leftrightarrow (2x+3\sqrt{1+x})^2=(6\sqrt{1+x})^2 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x+3\sqrt{1+x}=6\sqrt{1+x}}$ ή $\displaystyle{ 2x+3\sqrt{1+x}=-6\sqrt{1+x} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x=3\sqrt{1+x}}$ ή $\displaystyle{ 2x=-9\sqrt{1+x} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 0 \\ (2x)^2=(3\sqrt{1+x})^2 \end{matrix}\right.}$ ή $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} -1 \leq x \leq 0 \\ (2x)^2=(-9\sqrt{1+x})^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 0 \\ 4x^2=9+9x \end{matrix}\right.}$ ή $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} -1 \leq x \leq 0 \\ 4x^2=81(1+x) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 0 \\ 4x^2-9-9x=0 \end{matrix}\right.}$ ή $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} -1 \leq x \leq 0 \\ 4x^2-81x-81=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x = 3}$ ή $\displaystyle{x=\frac{81-9\sqrt{97}}{8}}$ .

gabriel · #3

.....Ίσως και η πιο γρήγορη τεχνική λύσης, αφού οποιαδήποτε άλλη αντικατάσταση δεν << οδηγεί>> σε στρωτά μονοπάτια!!!!

#4

παρατηρούμε ότι το x>-1

.
Αν θέσουμε $\sqrt{x+1}=y>0$ τότε x=y^2-1

και καταλήγουμε στην εξίσωση 4y^4+12y^3-35y^2-12y+4=0

.
Αυτή είναι αντίστροφη και διαιρώντας με το 4y^2

καταλήγουμε στην $y^2+\frac{1}{y^2}+3(y-\frac{1}{y})-\frac{35}{4}=0$ .
Θέτουμε τώρα $y-\frac{1}{y} = z$ και τότε $y^2+\frac{1}{y^2}= z^2+2$ .
Έτσι προκύπτει η εξίσωση $z^2+3z-\frac{27}{4}=0\Rightarrow z=\frac{3}{2}\vee z=-\frac{9}{2}$ ,
δηλαδή $y-\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\vee y-\frac{1}{y}=-\frac{9}{2}$ από όπου δεκτές οι y=2

και $y=\frac{-9+\sqrt{97}}{4}$
και πηγαίνοντας στην αρχική αντικατάσταση βγαίνουν οι τιμές x=3

, $x=\frac{81-9\sqrt{97}}{8}$

AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Re: AΡΡΗΤΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Μέλη σε σύνδεση