Η συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης !

[Μπάμπης Στεργίου]

Για το θέμα του τίτλου έχουμε κάνει αρκετές συζητήσεις. Δυστυχώς δεν κράτησα αρχείο και έτσι είμαι πάλι στο μηδέν.

- Έχουμε κάπου προσπαθήσει να κάνουμε απόδειξη (χωρίς τον ορισμό) ;

- Έχουμε εντοπίσει σε ημιτελείς αποδείξεις που ακριβώς παρουσιάζεται το πρόβλημα ;

Ευχαριστώ !

Μπάμπης

[Μπάμπης Στεργίου]

Για το θέμα του τίτλου έχουμε κάνει αρκετές συζητήσεις. Δυστυχώς δεν κράτησα αρχείο και έτσι είμαι πάλι στο μηδέν.

- Έχουμε κάπου προσπαθήσει να κάνουμε απόδειξη (χωρίς τον ορισμό) ;

- Έχουμε εντοπίσει σε ημιτελείς αποδείξεις που ακριβώς παρουσιάζεται το πρόβλημα ;

Ευχαριστώ !

Μπάμπης

Με λίγη τύχη έχω βρει μέχρι στιγμής τον εξής σύνδεσμο :

viewtopic.php?f=61&t=3696&p=19951

Αλλά σαν μην φτάνουν όλα αυτά τα απίστευτα σε λεπτομέρεια και ομορφιά πράγματα, χθες έπεσα και στο εξής κείμενο, όπου αξίζει να εστιάσετε στην σημείωση :

continuity.PNG (51.53 KiB) Προβλήθηκε 2186 φορές

Δεν πρόλαβα να το μελετήσω με τη δέουσα αυτοσυγκέντρωση (δεν ξέρω γιατί, αλλά όλα τα δύσκολα και ενδιαφέροντα ερωτήματα με βρίσκουν όταν με

ταλαιπωρούν ιώσεις και περιπέτειες !!!), αλλά το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται περίεργο. Η πρώτη σκέψη μου έρχεται στο νου είναι η εξής :

'' Αν η είναι συνεχής, τότε και η αντίστροφή της , δηλαδή η θα είναι συνεχής ! Επομένως κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα είναι και συνεχής , κάτι που όχι μόνο δεν ισχύει, αλλά σε ...στέλνει πανεπιστήμιο .''

Να όμως που τελικά σε κάθε βήμα κρύβεται και μία έκπληξη και αυτός είναι ο λόγος που λέω πως η συνέχεια είναι ίσως η δυσκολότερη μαθηματική και φιλοσοφική έννοια :

Αφού δεν γνωρίζουμε τίποτα για την συνέχεια της , δεν γνωρίζουμε τίποτα και για τη μορφή του πεδίου ορισμού της αντίστροφης. Αλλά η μορφή του πεδίου ορισμού της αντίστροφης είναι καθοριστική για την διατύπωση της σχετικής πρότασης :

Αν το πεδίο ορισμού μιας συνεχούς συνάρτησης δεν είναι διάστημα, τότε η αντίστροφή της δεν είναι υποχρεωτικά συνεχής.


Φαίνεται λοιπόν ότι πολλοί θα προσπάθησαν να δώσουν μια απόδειξη χωρίς χρήση των ε-δ αλλά όλες σκοντάφτουν στο πολύ καλά κρυμένο σημείο :

'' και η συνθήκη ''διάστημα '' που χρησιμοποιήθηκε ;

Το εμείς δεν μπορούμε να βρούμε εύκολα απτό παράδειγμα, δεν σημαίνει ότι μπορούμε να αγνοήσουμε στην απόδειξη την συνθήκη αυτή και μάλιστα τη στιγμή ακριβώς που δρα η συνθήκη.

Σας χαιρετώ και τα ξαναλέμε !!!

[ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ]

Μπάμπη, αν κατάλαβα καλά αναφέρεσαι σε γνωστό θεώρημα:

" Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής; "

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπάμπη, αν κατάλαβα καλά αναφέρεσαι σε γνωστό θεώρημα:

" Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής; "

Γιάννη καλησπέρα !!!

Ναι, σε αυτό το θεώρημα αναφέρομαι. Δεν έχω συναντήσει πουθενά απόδειξη χωρίς ε-δ ή περιοχές.Όλα τα πανεπιστημιακά αλλά και μερικά σχολικά άλλων

χωρών βασίζονται στο γνήσια μονότονο της συνάρτησης(συνέπειας των δεδομέων) και στον ορισμό της συνέχειας, είτε με ακολουθίες, είτε με ε-δ και περιοχές.

Στο αγγλικό απόσπασμα που παρέθεσα η πρόταση παίρνει νομίζω την πιο γενική μορφή(από όσα έχω συννατήσει μέχρι τώρα ):

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα, τότε τη αντίστροφή της είναι συνεχής.

Η συνέχεια της δοσμένης συνάρτησης δεν είναι απαραίτητη.

Μπάμπης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

( Αύριο, μετά από δαιμόνια ίωση 5 ημερών και απουσία από το σχολείο,επιστρέφω και θα σε περιμένω στο κενό να ανέβεις για ωραίο καφεδάκι.Έχω εφτάωρο, οπότε θα είμαι συνέχεια εκεί !!!)