Κάτι στην αρχική συνάρτηση

#1

Αν μια συνάρτηση f έχει αρχική στα διαστήματα [α,β] , [β, γ] , να εξεταστεί η f αν έχει αρχική και στο [α,γ].

Την άσκηση αυτή την είχε το προηγούμενο σχολικό βιβλίο στη Ρουμανία.

Μπάμπης

Ιστοσελίδα · #2

Όχι: πχ η

στα διαστήματα [α,0] και [0,β]. ΛΑΘΟΣ

#3

polysot έγραψε:Όχι: πχ η στα διαστήματα [α,0] και [0,β].

Ξέρω την απάντηση στην ερώτηση του Μπάμπη. Προσοχή όμως, η |x| δεν απαντά στο ερώτημα. Αυτή έχει αρχική, την $\frac{1}{2}x|x|$ .

M.

mtsarduckas · #4

Έχω την εντύπωση πως...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #5

Πιστευω πως η απαντηση ειναι θετικη. Εστω F_1, G

αρχικες της

στα

αντιστοιχα. Παιρνουμε την $F_2 \equiv G - G(b) + F_1(b)$ η οποια ειναι επισης αρχικη της

στο

και ισχυει F_2 (b) = F_1 (b)

. Τοτε η $F_1 \cup F_2$ ειναι αρχικη της

στο

(αφου εχει ισες πλευρικες παραγωγους στο

που ισουνται με το f(b)

).

Δημητρης Σκουτερης

Ιστοσελίδα · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
polysot έγραψε:Όχι: πχ η στα διαστήματα [α,0] και [0,β].
Ξέρω την απάντηση στην ερώτηση του Μπάμπη. Προσοχή όμως, η |x| δεν απαντά στο ερώτημα. Αυτή έχει αρχική, την $\frac{1}{2}x|x|$ .

M.

Ναι, βιαστικό και λανθασμένο το παράδειγμα.

#7

Λοιπόν, όσο και να λέμε καμιά φορά ότι τελείωσαν τα απλά ερωτήματα θεωρητικού χαρσκτήρα, όλο και κάτι εμφανίζεται και ταράζει τα νερά !
Η ερώτηση που έθεσα παραπάνω είναι μία από αυτές. Με μια πρώτη και πονηρή ματιά φαίνεται ότι η απάντηση είναι αρνητική . Να όμως που δεν είναι !
Όπως έγραψα και στον polysot , η προσδοκία μου ήταν ότι η απάντηση είναι όχι. Με συνεχή συνάρτηση f δεν τίθεται καν θέμα ! Για τις άλλες όλο και περίμενα πως κάποια συνάρτηση , με διπλό - τριπλό τύπο θα έκανε τη ζημιά . Δεν πρόλαβα ωστόσο να ψάξω και πολύ το ζήτημα (αφήνουν οι γεωμετρίες και οι ολυμπιάδες που ασχολούμαι τελευταία ; Τώρα βλέπω την εξαιρετική λύση του Δημήτρη και .... αναρωτιέμαι : Γιατί άραγε η διαίσθηση να μας παρασύρει ; Ήδη είχα φτάσει στη συνάρτηση :

$\displaystyle{ {\rm H}(\chi )\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {F(x) + G(b) - F(b)\,\,,\,x\, \in [a,b]} \\ {G(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x \in [b,c]} \\ \end{array}} \right. }$

όπου F είναι αρχική της f στο [α,β] και G είναι αρχική της f στο [β,γ]. Να όμως που άμα σου μπει η ιδέα ότι οι πλευρικές παράγωγοι αυτής στο β μπορεί να βγουν διαφορετικές , δεν κάνεις καν τον κόπο να το ελέγξεις !(Σας θυμίζω το σχετικό υπέροχο ανέκδοτο με το ναυαγό και την κατσίκα που δεν τον άφηνε ο σκύλος να ...περιποιηθεί την κατσίκα όταν του έρχονταν η όρεξη ! Τι ζήτησε τότε ο ναυαγός από την νέα υπέροχη ναυαγό, όταν εκείνη ήθελε να τον ευχαριστήσει με οποιοδήποτε τρόπο επειδή της έσωσε τη ζωή ;Προφανώς να κρατήσει τον σκύλο για να εκπληρώσει την υπόσχεσή του προς την κατσίκα !).Η προκατάληψη τυφλώνει !

Αλλά αν κάτι μπορεί να πάει στραβά, θα πάει όπωσδήποτε ! Είναι κάποιοι νόμοι που δεν μπορείς να ξεφύγεις !

Σκεφτείτε μάλιστα ότι στο βιβλίο το πρόβλημα δίνονταν στη μορφή:

'' αν ......, να αποδείξετε ότι η f έχει αρχική και στο [α,γ] ''.Λέω και γω χαρούμενος : '' να που ανακάλυψα ένα λάθος ! Αλλά πάλι δεν μου πήγαινε καλά να πιστέψω ότι σε σχολικό βιβλίο μιας χώρας που έχει πολύ αυστηρά μαθηματικά δεν το έβλεπαν το ...λάθος τόσα χρόνια. Για αυτό αποφάσισα να το κουβεντιάσουμε μαζί .Και το θέμα λύθηκε τόσο εύκολα !
Δημήτρη νάσαι καλά !

Μπάμπης

#8

Ας το αλλάξουμε λιγάκι,

Αν μια συνάρτηση f έχει αρχική στα διαστήματα [α,β] , (β, γ] , να εξεταστεί η f αν έχει αρχική και στο [α,γ].

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα;

Νίκος Κατσίπης

#9

nkatsipis έγραψε:Ας το αλλάξουμε λιγάκι,

Αν μια συνάρτηση f έχει αρχική στα διαστήματα [α,β] , (β, γ] , να εξεταστεί η f αν έχει αρχική και στο [α,γ].

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα;

Νίκος Κατσίπης

Νίκο, μου φαίνεται ότι η συνάρτηση f με τύπο :

$f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2x\,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0]} \\ {0\,\,\,\,\,,\,x\, = \,0} \\ {2x - 1,x\, \in [0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right.$

απαντάει στο ερώτημα. Θέλει λίγη δουλίτσα, αλλά δεν είναι τίποτα το δύσκολο.
πχ θεωρούμε τη συνάρτηση :

$F(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^2 \,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0)} \\ {0\,\,\,\,\,,\,x\, = \,0} \\ {x^2 - x,x\, \in (0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right.$
Αυτή είναι συνεχής και έχει παράγωγο την f για τα χ που δεν είναι μηδέν.
Αν η f έχει αρχική την G το [-1,1] , τότε είναι G = F +c στο [-1,0] και έτσι βρίσκουμε :

$\displaystyle G(0) = { \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } G(x)\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{G(x) - G(0)}}{{x - 0}}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{x^2 - 0}}{x}\, = \,0 }$
Όμοια παίρνουμε και το άλλο πλευρικό όριο ( η αλλαγή του c σε c' δεν αλλάζει τη διαδιακασία) και βρίσκουμε ότι αυτό είναι ίσο με -1 :

$\displaystyle{ G(0)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } G(x)\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{G(x) - G(0)}}{{x - 0}}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{x^2 - x - 0}}{x}\, = \, - 1 }$

Καταλήγουμε επομένως σε άτοπο, διότι η G είναι συνεχής στο 0.
Κρατάω όμως κάποιες επιφυλλάαξεις τόσο για το παράδειγμα και για για την αιτιολόγηση, διότι όλα έγιναν γρήγορα. Στο σχολείο δεν είναι χώρος για .... μεγάλα πράγματα, διότι όλο και σε διακόπτουν !Για παράδειγμα , μου έρχεται αυτή τη στιγμή να πάρω τη συνάρτηση :

$\displaystyle{ f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0]} \\ {} \\ {-1,x\, \in (0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right. }$
Αυτή έχει αρχική στα [-1, 0] και (0,1] αλλά δεν έχει αρχική στο [-1 , 1 ] μια και η εικόνα f([-1,1]) = {-1,1} δεν είναι διάστημα , όπως θα όφειλε από θεώρημα Darboux.

Ίσως το πρώτο παράδειγμα να είναι πιο σχολικό, αλλά είναι πιο σύνθετο.Η μέθοδος όμως του πρώτου παραδείγματος μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ , οπότε έχουμε πάλι λύση , λίγο πιο απλή.

Μπάμπης

#10

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
nkatsipis έγραψε:Ας το αλλάξουμε λιγάκι,

Αν μια συνάρτηση f έχει αρχική στα διαστήματα [α,β] , (β, γ] , να εξεταστεί η f αν έχει αρχική και στο [α,γ].

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα;

Νίκος Κατσίπης
Νίκο, μου φαίνεται ότι η συνάρτηση f με τύπο :

$f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2x\,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0]} \\ {0\,\,\,\,\,,\,x\, = \,0} \\ {2x - 1,x\, \in [0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right.$

απαντάει στο ερώτημα. Θέλει λίγη δουλίτσα, αλλά δεν είναι τίποτα το δύσκολο.
πχ θεωρούμε τη συνάρτηση :

$F(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^2 \,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0)} \\ {0\,\,\,\,\,,\,x\, = \,0} \\ {x^2 - x,x\, \in (0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right.$
Αυτή είναι συνεχής και έχει παράγωγο την f για τα χ που δεν είναι μηδέν.
Αν η f έχει αρχική την G το [-1,1] , τότε είναι G = F +c στο [-1,0] και έτσι βρίσκουμε :

$\displaystyle G(0) = { \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } G(x)\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{G(x) - G(0)}}{{x - 0}}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{{x^2 - 0}}{x}\, = \,0 }$
Όμοια παίρνουμε και το άλλο πλευρικό όριο ( η αλλαγή του c σε c' δεν αλλάζει τη διαδιακασία) και βρίσκουμε ότι αυτό είναι ίσο με -1 :

$\displaystyle{ G(0)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } G(x)\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{G(x) - G(0)}}{{x - 0}}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{F(x) - F(0)}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{x^2 - x - 0}}{x}\, = \, - 1 }$

Καταλήγουμε επομένως σε άτοπο, διότι η G είναι συνεχής στο 0.
Κρατάω όμως κάποιες επιφυλλάαξεις τόσο για το παράδειγμα και για για την αιτιολόγηση, διότι όλα έγιναν γρήγορα. Στο σχολείο δεν είναι χώρος για .... μεγάλα πράγματα, διότι όλο και σε διακόπτουν !Για παράδειγμα , μου έρχεται αυτή τη στιγμή να πάρω τη συνάρτηση :

$\displaystyle{ f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\,,\,\,\,\,x\, \in [ - 1,0]} \\ {} \\ {-1,x\, \in (0\,,\,1]} \\ \end{array}} \right. }$
Αυτή έχει αρχική στα [-1, 0] και (0,1] αλλά δεν έχει αρχική στο [-1 , 1 ] μια και η εικόνα f([-1,1]) = {-1,1} δεν είναι διάστημα , όπως θα όφειλε από θεώρημα Darboux.

Ίσως το πρώτο παράδειγμα να είναι πιο σχολικό, αλλά είναι πιο σύνθετο.Η μέθοδος όμως του πρώτου παραδείγματος μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ , οπότε έχουμε πάλι λύση , λίγο πιο απλή.

Μπάμπης

Πάρα πάρα πολύ όμορφα!!!
Και εγώ στο μυαλό μου είχα την:

$\displaystyle{ f(x)\, = \,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\,,\,\,\,\,x\, \in [0,1]} \\ {} \\ {1,x\, \in (1\,,\,2]} \\ \end{array}} \right. }$

Νίκος Κατσίπης

Ιστοσελίδα · #11

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Λοιπόν, όσο και να λέμε καμιά φορά ότι τελείωσαν τα απλά ερωτήματα θεωρητικού χαρσκτήρα, όλο και κάτι εμφανίζεται και ταράζει τα νερά !
Η ερώτηση που έθεσα παραπάνω είναι μία από αυτές. Με μια πρώτη και πονηρή ματιά φαίνεται ότι η απάντηση είναι αρνητική . Να όμως που δεν είναι !
Όπως έγραψα και στον polysot , η προσδοκία μου ήταν ότι η απάντηση είναι όχι. Με συνεχή συνάρτηση f δεν τίθεται καν θέμα !
....

Μπάμπης

Νομίζω ότι θέλουμε να βρούμε τέτοιες (μη συνεχείς τελικά συναρτήσεις) πρέπει να αναζητήσουμε συναρτήσεις που έχουν μη συνεχείς παραγώγους και πάνω σ'αυτές να στηριχθούμε. Αν βρω χρόνο θα το ψάξω περαιτέρω...

Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Re: Κάτι στην αρχική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση