ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

parmenides51 · #1

Η ομάδα 3 περιείχε σχολές που άνηκαν στον Πολυτεχνικό Κύκλο μετά.

1. Εαν συμβολίσουμε με $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ το $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\nu \tau o \xi \,\,\sigma\upsilon\nu x)}$ ,
να δειχτεί οτι $\displaystyle{P_{\nu+1}(x)=2χP_{\nu}(x)-P_{\nu-1}(x)}$ για $\displaystyle{n=1,2,3,... }$ .
Από αυτό να συμπεράνετε οτι το $\displaystyle{ P_{\nu}(x)}$ είναι ακέραιο πολυώνυμο του $\displaystyle{x}$
και να δείξετε οτι ένα από τα $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ είναι το $\displaystyle{32x^6-48x^4+18x^2-1}$ .
Να υπολογίσετε μετά τις ρίζες του πολυωνύμου αυτού.
(Δίνεται $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ )

2. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu x\sigma\upsilon \nu x -\mu (\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x)+1=0}$

3. Εαν ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\eta\mu \alpha+\eta\mu \beta+\eta\mu \gamma=\sigma\upsilon\alpha +\sigma\upsilon\beta+\sigma\upsilon \gamma=0}$
τότε θα ισχύουν και οι $\displaystyle{\eta\mu^2 \alpha+\eta\mu^2 \beta+\eta\mu^2 \gamma=\sigma\upsilon\nu^2\alpha +\sigma\upsilon\nu^2\beta+\sigma\upsilon\nu^2 \gamma=\frac{3}{2}}$

#2

parmenides51 έγραψε:Η ομάδα 3 περιείχε σχολές που άνηκαν στον Πολυτεχνικό Κύκλο μετά.
3. Εαν ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\eta\mu \alpha+\eta\mu \beta+\eta\mu \gamma=\sigma\upsilon\alpha +\sigma\upsilon\beta+\sigma\upsilon \gamma=0}$
τότε θα ισχύουν και οι $\displaystyle{\eta\mu^2 \alpha+\eta\mu^2 \beta+\eta\mu^2 \gamma=\sigma\upsilon\nu^2\alpha +\sigma\upsilon\nu^2\beta+\sigma\upsilon\nu^2 \gamma=\frac{3}{2}}$

Από τη ταυτότητα $\displaystyle{{(\alpha + \beta + \gamma )^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} + 2\alpha \beta + 2\alpha \gamma + 2\beta \gamma }$
για $\displaystyle{\alpha + \beta + \gamma = 0}$ , έχουμε $\displaystyle{{\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} + 2\alpha \beta + 2\beta \gamma + 2\alpha \gamma = 0}$
Έτσι θα είναι: $\displaystyle{\begin{array}{l} \eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \beta + 2\eta \mu \alpha \eta \mu \gamma + 2\eta \mu \beta \eta \mu \gamma = \\ \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta + \sigma \upsilon {\nu ^2}\gamma + 2\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + 2\sigma \upsilon \nu \beta \sigma \upsilon \nu \gamma + 2\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \gamma \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma = 3 - \left( {\eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma } \right) + 2(\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta - \eta \mu \alpha \eta \mu \beta ) + \\ 2(\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \gamma - \eta \mu \alpha \eta \mu \gamma ) + 2(\sigma \upsilon \nu \beta \sigma \upsilon \nu \gamma - \eta \mu \beta \eta \mu \gamma ) \end{array}}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2\left( {\eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma } \right) = 3 - 2[\sigma \upsilon \nu (\alpha + \beta ) + \sigma \upsilon \nu (\beta + \gamma ) + \sigma \upsilon \nu (\alpha + \gamma )]}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2\left( {\eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma } \right) = 3 - 2[\sigma \upsilon \nu ( - \gamma ) + \sigma \upsilon \nu ( - \alpha ) + \sigma \upsilon \nu ( - \beta )]}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \eta {\mu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\beta + \eta {\mu ^2}\gamma = \frac{3}{2}}$ .
Ομοίως και $\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta + \sigma \upsilon {\nu ^2}\gamma = \frac{3}{2}}$

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε:1. Εαν συμβολίσουμε με $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ το $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\nu \tau o \xi \,\,\sigma\upsilon\nu x)}$ ,
να δειχτεί οτι $\displaystyle{P_{\nu+1}(x)=2χP_{\nu}(x)-P_{\nu-1}(x)}$ για $\displaystyle{n=1,2,3,... }$ .
Από αυτό να συμπεράνετε οτι το $\displaystyle{ P_{\nu}(x)}$ είναι ακέραιο πολυώνυμο του $\displaystyle{x}$
και να δείξετε οτι ένα από τα $\displaystyle{P_{\nu}(x)}$ είναι το $\displaystyle{32x^6-48x^4+18x^2-1}$ .
Να υπολογίσετε μετά τις ρίζες του πολυωνύμου αυτού.
(Δίνεται $\displaystyle{-1\le x \le 1}$ )

Κάνω το μεγάλο comeback στο

με αυτό το θέμα. Μία παρατήρηση μονάχα. Η σωστή εκφώνηση όπως προκύπτει από το eisatopon έχει τον αναδρομικό τύπο $\displaystyle{P_{\nu + 1}(x) = 2xP_{\nu}(x) - P_{\nu - 1}(x), \forall x \in [- 1, 1], \nu \in N^*}$ . Πράγματι έχουμε για $\displaystyle{\nu \geq 1}$ :
$P_{\nu + 1}(x) = \sigma \upsilon \nu((\nu + 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) = \sigma \upsilon \nu (\nu \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \sigma \upsilon \nu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) - \eta \mu (\nu \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \eta \mu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) = xP_{\nu}(x) - (\eta \mu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \sigma \upsilon \nu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) + \sigma \upsilon \nu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \eta \mu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x)) \sqrt{1 - x^2} = xP_{\nu}(x) - (x \eta \mu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) + \sqrt{1 - x^2} P_{\nu - 1}(x)) \sqrt{1 - x^2} = xP_{\nu}(x) + [x(xP_{\nu - 1}(x) - \sqrt{1 - x^2} \eta \mu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x)) - P_{\nu - 1}(x)] = xP_{\nu}(x) + (xP_{\nu}(x) - P_{\nu - 1}(x)) = 2xP_{\nu}(x) - P_{\nu - 1}(x)$
αφού:
$xP_{\nu - 1}(x) - \sqrt{1 - x^2} \eta \mu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) = \sigma \upsilon \nu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \sigma \upsilon \nu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) - \eta \mu (\tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) \eta \mu ((\nu - 1) \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) = \sigma \upsilon \nu (\nu \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x) = P_{\nu}(x)$
Δείξαμε λοιπόν πως ισχύει ο τύπος $\displaystyle{P_{\nu + 1}(x) = 2xP_{\nu}(x) - P_{\nu - 1}(x)}$ . Στηριζόμενοι σε αυτό θα δείξουμε πως όλες οι συναρτήσεις της ακολουθίας είναι πολυώνυμα. Πράγματι για $\displaystyle{\nu = 0, 1}$ έχουμε αντίστοιχα $\displaystyle{P_0(x) = 1, P_1(x) = x}$ . Αν $\displaystyle{\kappa}$ τυχαίος θετικός ακέραιος υποθέτουμε πως το ζητούμενο ισχύει για τα $\displaystyle{P_{\kappa - 2}, P_{\kappa - 1}}$ . Τότε όμως με βάση την παραπάνω σχέση και το $P_{\kappa}$ θα είναι πολυώνυμο ως άθροισμα πολυωνύμων και μάλιστα θα ισχύει $\displaystyle{degP_{\kappa} = degP_{\kappa - 1} + 1}$ .
Χρησιμοποιώντας λοιπόν επαγωγή με βήμα δύο δείξαμε πως όλες οι συναρτήσεις της ακολουθίας είναι πολυώνυμα. Αντίστοιχα, η ακολουθία που αποτελείται από τους βαθμούς τους θα είναι αριθμητική πρόοδος με $\displaystyle{\alpha _0 = 0, \omega = 1 \Longleftrightarrow \alpha _{\nu - 1} = \nu - 1 \Longrightarrow \alpha _6 = 6}$ . Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε πως πράγματι ισχύει $\displaystyle{P_6(x) = 32x^6-48x^4+18x^2-1 = \sigma \upsilon \nu (6 \tau o \xi \sigma \upsilon \nu x)}$ .
Αναζητώντας τις ρίζες του παραπάνω πολυωνύμου στο $\displaystyle{[0, 1]}$ και στηριζόμενοι έπειτα στο γεγονός πως αυτό αποτελείται μόνο από άρτιες δυνάμεις του x βρίσκουμε πως είναι $\displaystyle{x = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

#4

parmenides51 έγραψε:2. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu x\sigma\upsilon \nu x -\mu (\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x)+1=0}$

Θέτω $\displaystyle{\eta \mu x+ \sigma \upsilon \nu x=y\Leftrightarrow \eta \mu x +\epsilon \phi \frac{\pi}{4}\sigma \upsilon \nu x=y\Leftrightarrow \eta \mu (x+\frac{\pi}{4})=\frac{y\sqrt{2}}{2}}$

όπου πρέπει $\displaystyle{-1\leq \frac{y\sqrt{2}}{2}\leq 1\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}}$

Από την σχέση $\displaystyle{\eta \mu ^2 {x}+\sigma \upsilon \nu ^{2} x=1}$ ,παίρνουμε $\displaystyle{y^2 -2\eta \mu x \sigma \upsilon \nu x =1 \Leftrightarrow \eta \mu x \sigma \upsilon \nu x = \frac{y^2 -1}{2}}$

Τώρα η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{y^2 -2\mu y +1 =0}$ (1) και έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D=4(\mu ^2 -1)}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{D<0 \Leftrightarrow \mu \in (-1 , 1)}$ . Τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{D\geq 0 \Leftrightarrow \mu \geq 1}$ , ή $\displaystyle{\mu \leq -1}$ . Τότε $\displaystyle{y=\mu \pm \sqrt{\mu ^2 -1}}$

(2a) Έστω $\displaystyle{y=\mu +\sqrt{\mu ^2 -1}}$ και $\displaystyle{\mu \geq 1}$

Όμως είναι $\displaystyle{-\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq \mu +\sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}-\mu \leq \sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}-\mu}$

και αφού είναι $\displaystyle{\mu \geq 1}$ , θα πρέπει $\displaystyle{\sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}-\mu ,}$ . Άρα πρέπει

$\displaystyle{\mu \geq 1}$ και $\displaystyle{\sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}-\mu}$ και $\displaystyle{\sqrt{2}-\mu\geq 0}$ , από όπου και βρίσκουμε εύκολα $\displaystyle{\mu \in [1,\frac {3\sqrt{2}}{4}]}$

(2b) Έστω $\displaystyle{y=\mu +\sqrt{\mu ^2 -1}}$ και $\displaystyle{\mu \leq -1}$ . Τότε $\displaystyle{(-\sqrt{2}\leq \mu +\sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2} \ \ \Lambda \ \ \mu \leq -1)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(-\sqrt{2}-\mu \leq \sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}-\mu \ \ \Lambda \ \ \mu \leq -1)\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(-\sqrt{2}-\mu <0 \ \ \Lambda \ \ \sqrt{\mu ^2 -1}\leq \sqrt{2}-\mu \ \ \Lambda \ \ \mu \leq -1) V (-\sqrt{2}-\mu \geq 0 \ \ \Lambda \ \ (-\sqrt{2}-\mu)^2 \leq \mu ^2 -1\leq (\sqrt{2}-\mu )^2 \ \ \Lambda \ \ \mu \leq -1)}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\mu \in (-\sqrt{2}, -1) \ \ V \ \ \mu \in (-oo , -\sqrt{2}]\Leftrightarrow \mu \in (-oo , -1]}$

΄'Όταν λοιπόν $\displaystyle{\mu \in (-00 , -1]U[1 , \frac{3\sqrt{2}}{4}]}$ , τότε η εξίσωση έχει τις λύσεις

$\displaystyle{x=2k\pi +m-\frac{\pi}{4}}$ , ή $\displaystyle{x=2k\pi +\frac{3\pi}{4} - m }$ , όπου $\displaystyle{k\in Z}$ και $\displaystyle{m=}$ τοξ $\displaystyle{_o }$ $\displaystyle{\eta \mu [\frac{\sqrt{2}}{2}(\mu +\sqrt{\mu ^2 -1})]}$

Εργαζόμαστε ομοίως με την περίπτωση $\displaystyle{y=\mu -\sqrt{\mu ^2 -1}}$ , όπου $\displaystyle{|\mu |\geq 1}$

ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Μέλη σε σύνδεση