Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

rtsiamis · #1

Χρόνια πολλά σε όλους και Χριστός Ανέστη.

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί x,y

και τέτοιοι ώστε:
2^x-11^y=5

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Αληθώς Ανέστη Ραφαήλ!
Παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει λύση για x=4

και

οπότε το πρώτο που δοκιμάζουμε είναι να βγάλουμε άτοπο για την αμέσως μεγαλύτερη δύναμη του 2.
Παίρνουμε δηλαδή $\mod 32.$
Οι δυνάμεις του 11 αφήνουν υπόλοιπα 11,25,19,17,27,9,3,1,

που καμία δεν είναι $-5\pmod{32}$ οπότε $x\leq 4$ και επιβεβαιώνουμε ότι μόνο x=4

είναι η λύση.

rtsiamis · #3

Εντυπωσιακά γρήγορη λύση...

Μάλλον δεν ήταν και τόσο δύσκολη η άσκηση

Υπάρχουν συγκεκριμένες τεχνικές όπως αυτή για τη λύση τέτοιων ασκήσεων; Αν ναι, πού μπορεί κανείς να τις βρει;

Edit: Αν και πολύ όμορφη ιδέα το mod 32

, δεν πρόσεξα ούτε κι εγώ ότι δεν τελειώνει την άσκηση...

Ευχαριστούμε τον κύριο Κανακάρη για την παρατήρηση του.

#4

rtsiamis έγραψε:Υπάρχουν συγκεκριμένες τεχνικές όπως αυτή για τη λύση τέτοιων ασκήσεων; Αν ναι, πού μπορεί κανείς να τις βρει;

Ραφαήλ καλησπέρα και χρόνια πολλά!

Δυστυχώς αλλάζοντας ένα νούμερο ή πολλές φορές και ένα πρόσημο, η άσκηση μπορεί να μετατραπεί από πολύ εύκολη σε εξαιρετικά δύσκολη και το αντίστροφο. Αυτός είναι και ο λόγος που διοφαντικές εξισώσεις κάνουν συχνά-πυκνά την εμφάνισή τους σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Μερικές τεχνικές περιγράφονται σε κάποια από τα βιβλία που είναι αφιερωμένα σε διοφαντικές εξισώσεις. π.χ. μπορείς να ξεκινήσεις από το "Diophantine Equations" των T. Andreescu - D. Andrica. Ακόμη όμως κι εκεί δεν περιγράφονται (δε θα μπορούσε άλλωστε) όλες οι τεχνικές. Απουσιάζουν για παράδειγμα οι πιο "πρόσφατες" τεχνικές, όπως το Lifting The Exponent Lemma κτλ... Με αναζητήσεις όμως στο δίκτυο θα βρεις πολύ υλικό!

Αλέξανδρος

Αρχιμήδης 6 · #5

Η διοφαντική νομίζω πως δεν έχει λυθεί ακόμα διότι, αν x>4

....

#6

rtsiamis έγραψε: Εντυπωσιακά γρήγορη λύση...
Μάλλον δεν ήταν και τόσο δύσκολη η άσκηση
Υπάρχουν συγκεκριμένες τεχνικές όπως αυτή για τη λύση τέτοιων ασκήσεων; Αν ναι, πού μπορεί κανείς να τις βρει;

Η λύση του Αλέξανδρου εδώ είναι πολύ διδακτική και μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλα προβλήματα...
Δες και εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h48431
http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102724775

Τέλος, υπάρχει και το πολύ δυνατό λήμμα LTE...

rtsiamis · #7

Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις χρήσιμες προτάσεις σας!!

#8

Όντως την πάτησα παραπάνω με το mod

H τεχνική με το ord δουλεύει μια χαρά http://artofproblemsolving.com/communit ... 73p3676598

jason.prod · #9

Μήπως ξέρει κανείς κανένα βιβλίο που να έχει τεχνικές για λύση εξισώσεων της μορφής a^x - b^y = c

;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

#10

jasonmaths4ever έγραψε:Μήπως ξέρει κανείς κανένα βιβλίο που να έχει τεχνικές για λύση εξισώσεων της μορφής ;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Ένα πολύ καλό άρθρο για τις εκθετικές διοφαντικές εξισώσεις a^x - b^y = c

(S. S. Pillai).

Νίκος Κατσίπης

Γρηγόρης Σταμέλος · #11

Προκύπτει ότι $x \equiv 0 \bmod 4$ επίσης από $\mod 32$ , $y \equiv 5 \bmod 8$ .

Από $\mod 11$ , $x\equiv 4\bmod 10$ και απτην προηγούμενη προκύπτει ότι $x\equiv 4 \bmod20$ . Καθώς $2^{20} \equiv 1 \bmod 41$ και $4y \equiv 20 bmod 40$ , αν πάμε το

αριστερά την δύναμη του

δεξιά και υψώσουμε και τα δύο μέλη στην

προκύπτει ότι $11^4= \equiv 11^{20} \bmod 41$ απο αυτό παίρνουμε ότι $11^{16}\equiv 1 \bmod 41$ πραγμα που είναι άτοπο καθώς 121 = -2mod41 άρα $11^{16} \equiv 10 \bmod 41$ . Άρα το

είναι μικρότερο του

ΥΓ συγνώμη για το γράψιμο αλλά δεν ξέρω πως να γράφω στο eqeditor

2nisic · #12

Για $x\geq 6$

Με mod64

έχω: $11^{y}\equiv 59(mod64)\Leftrightarrow y\equiv 13(mod16)$

Με mod17

έχω: $2^{x}\equiv 11^{13}+5\equiv 7+5\equiv 12(mod17) Contradiction$

Για $x\leq 5$ έχω μοναδική λύση την : (x,y,):(4,1)

Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Re: Δύσκολη (?) Εκθετική Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση