Ανίσωση

skexas · #1

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta, \gamma ,\delta}$
τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha \delta =3}$ και $\displaystyle{\beta \gamma =5}$ . Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{(\alpha +2)\cdot (\beta +3)\cdot (\gamma +15)\cdot (\delta +6)\geq 3^3\cdot 2^4\cdot 5}$

G.Bas · #2

skexas έγραψε:Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta, \gamma ,\delta}$
τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\alpha \delta =3}$ και $\displaystyle{\beta \gamma =5}$ . Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{(\alpha +2)\cdot (\beta +3)\cdot (\gamma +15)\cdot (\delta +6)\geq 3^3\cdot 2^4\cdot 5}$

Είναι Cauchy-Schwarz!

Ισχύει

$\displaystyle{(a+2)(d+6)\geq (\sqrt{ad}+\sqrt{12})^2=(\sqrt{3}+2\sqrt{3})^2=3^3,}$

και

$\displaystyle{(b+3)(c+15)\geq (\sqrt{bc}+\sqrt{15})^2=(\sqrt{5}+3\sqrt{5})^2=2^4\cdot 5.}$

Πολλαπλασιάζουμε και προκύπτει η ζητούμενη.

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση