Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Πέμ Απρ 23, 2015 10:22 am

Πρόβλημα 1

(α) Οι αριθμοί \displaystyle{543} ή \displaystyle{531} έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη, επειδή κάθε ψηφίο εκτός του πρώτου είναι μικρότερο από το προηγούμενό του. Τα ψηφία του αριθμού \displaystyle{322} δεν είναι σε φθίνουσα διάταξη. Πόσοι και ποιοι αριθμοί μεταξύ του \displaystyle{100} και του \displaystyle{599} έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη;

(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : \displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}

Πρόβλημα 2

(α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : \displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}

(β) Να βρείτε το \displaystyle{2015^o} δεκαδικό ψηφίο όταν το \displaystyle{\dfrac{1}{14}} εκφραστεί σε δεκαδική μορφή.

Πρόβλημα 3

(α) Στο πιο κάτω σχήμα, το τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} είναι ορθογώνιο (\displaystyle{A} ορθή γωνία) με πλευρές \displaystyle{AB=12 \:cm} και \displaystyle{A\Gamma=16 \:cm}. Το σημείο \displaystyle{Z} είναι το μέσο της \displaystyle{B\Gamma}. Να βρεθεί ο λόγος της μη σκιασμένης προς τη σκιασμένη επιφάνεια του τριγώνου (\displaystyle{\pi=3,14}).
Trigono.png
Trigono.png (8.33 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές
(β) Τρεις φίλοι, ο Ανδρέας, ο Βασίλης και ο Γιώργος, μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων. Ο Ανδρέας πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Βασίλης και ακόμη \displaystyle{15} ευρώ. Ο Βασίλης πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Γιώργος και ακόμη \displaystyle{9} ευρώ. Ο Γιώργος πήρε το ένα τρίτο των χρημάτων που πήρε ο Ανδρέας και ακόμη \displaystyle{18} ευρώ. Να βρείτε πόσα ήταν τα χρήματα που μοιράστηκαν οι τρεις φίλοι.

Πρόβλημα 4

Στο πιο κάτω σχήμα, το \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι τετράγωνο, τα σημεία \displaystyle{E} και \displaystyle{Z} είναι τα μέσα των \displaystyle{AB} και \displaystyle{B\Gamma} αντίστοιχα, \displaystyle{H\Gamma=3\cdot\left(\Delta H\right)} και τα σημεία \displaystyle{I} και \displaystyle{\Theta} είναι τα μέσα των \displaystyle{EZ} και \displaystyle{ZH} αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{EBZ} είναι \displaystyle{8 \:cm^2}, να βρείτε:
(i) το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{I\Theta Z}
(ιι) το εμβαδόν του πολυγώνου \displaystyle{AEI\Theta H\Delta}
Tetragono1.png
Tetragono1.png (20.49 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές
Πρόβλημα 5

Μία ομάδα εργατών, όταν δεν είναι βροχερός ο καιρός, εργάζονται κανονικά \displaystyle{10} ώρες την ημέρα και τελειώνει ένα έργο σε \displaystyle{30} μέρες. Όταν ο καιρός είναι βροχερός, η ημερήσια απόδοση των εργατών είναι τα \displaystyle{\dfrac{4}{5}} της κανονικής. Αν οι βροχερές μέρες που θα εργαστεί η ομάδα είναι \displaystyle{6} περισσότερες από τις μη βροχερές, να βρείτε πόσες μέρες θα εργαστεί συνολικά η ίδια ομάδα εργατών για να τελειώσει το ίδιο έργο.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11290
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 23, 2015 1:37 pm

Ας προσθέσω ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού. Βλέπε εδώ

Το γράφω γιατί δεν ήξερα τον διαγωνισμό, αλλά τον έμαθα πριν από λίγο. Φαίνεται εξαιρετικός διαγωνισμός για εκεί που απευθύνεται. Ο αντίστοιχος για Stage III απευθύνεται σε μαθητές των μικρών τάξεων του Γυμνασίου, και είναι επίσης εξαιρετικός διαγωνισμός. Επ' αυτού βλέπε την πατάτα μου εδώ


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Πέμ Απρ 23, 2015 2:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ας προσθέσω ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Δημοτικού. Βλέπε εδώ

Το γράφω γιατί δεν ήξερα τον διαγωνισμό, αλλά τον έμαθα πριν από λίγο. Φαίνεται εξαιρετικός διαγωνισμός για εκεί που απευθύνεται. Ο αντίστοιχος για Stage III απευθύνεται σε μαθητές των μικρών τάξεων του Γυμνασίου, και είναι επίσης εξαιρετικός διαγωνισμός. Επ' αυτού βλέπε την πατάτα μου εδώ
Κύριε Λάμπρου, με τη σειρά μου να προσθέσω σε αυτά που είπατε ότι ο IMC/Stage II απευθύνεται σε μαθητές Ε' Δημοτικού-Α' Γυμνασίου, ενώ ο IMC/Stage III απευθύνεται σε μαθητές Β' Γυμνασίου-Α' Λυκείου.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8223
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 23, 2015 2:28 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3


(α) Στο πιο κάτω σχήμα, το τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} είναι ορθογώνιο (\displaystyle{A} ορθή γωνία) με πλευρές \displaystyle{AB=12 \:cm} και \displaystyle{A\Gamma=16 \:cm}. Το σημείο \displaystyle{Z} είναι το μέσο της \displaystyle{B\Gamma}. Να βρεθεί ο λόγος της μη σκιασμένης προς τη σκιασμένη επιφάνεια του τριγώνου (\displaystyle{\pi=3,14}).
Το συνημμένο Trigono.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Καλό μεσημέρι.

Με Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: \displaystyle{{\rm B}{\Gamma ^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Gamma ^2} = 144 + 256 = 400 \Leftrightarrow {\rm B}\Gamma  = \sqrt {400}  = 20}

Η σκιασμένη επιφάνεια έχει εμβαδόν \displaystyle{{E_1} = \frac{{{{10}^2}\pi w}}{{360}} + \frac{{{{10}^2}\pi \varphi }}{{360}} = \frac{{100\pi (w + \varphi )}}{{360}} = \frac{{100\pi 90}}{{360}} \Leftrightarrow {E_1} = 25\pi }

Η μη σκιασμένη επιφάνεια έχει εμβαδόν \displaystyle{{E_2} = (AB\Gamma ) - {E_1} = \frac{{12 \cdot 16}}{2} - 25\pi  = 96 - 25\pi }

Ο ζητούμενος λόγος είναι \displaystyle{\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \frac{{96 - 25\pi }}{{25\pi }} = \frac{{96}}{{25\pi }} - 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\pi  = 3.14} } \boxed{\frac{{{E_2}}}{{{E_1}}} \simeq 0,223}
Stage II 2015. 3.png
Stage II 2015. 3.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 4:05 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : \displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}
Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 347
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Μάιος 03, 2017 5:01 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : \displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}
Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;
Μια χαρά είναι Νικόλα. Οι αριθμοί είναι μεικτοί!

edit: Όντως λείπει το 1 στο δεύτερο κλάσμα!


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 5:31 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1
(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : \displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}}
Κύριε Σωτήρη καλό μήνα. Μήπως υπάρχει κάποιο τυπογραφικό λάθος;
Μια χαρά είναι Νικόλα. Οι αριθμοί είναι μεικτοί!

edit: Όντως λείπει το 1 στο δεύτερο κλάσμα!
Αυτό εννοούσα τυπογραφικό!
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τετ Μάιος 03, 2017 6:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 5:59 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(α) Οι αριθμοί \displaystyle{543} ή \displaystyle{531} έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη, επειδή κάθε ψηφίο εκτός του πρώτου είναι μικρότερο από το προηγούμενό του. Τα ψηφία του αριθμού \displaystyle{322} δεν είναι σε φθίνουσα διάταξη. Πόσοι και ποιοι αριθμοί μεταξύ του \displaystyle{100} και του \displaystyle{599} έχουν τα ψηφία τους σε φθίνουσα διάταξη;

(β) Να υπολογίσετε το γινόμενο : \displaystyle{1\dfrac{1}{1008}\times1\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}
(a) Από το 100 μέχρι το 200 υπάρχουν 45 τέτοιοι αριθμοί. Άρα, μέχρι το 500 υπάρχουν 5 \cdot 45=225 αριθμοί, οι:

110,121,120,132,131,130,143,142,141,140,154,153,152,151,150,165,164,163,162,161,160,176,175,174,173,172,171,170,187,186,185,184,183,182,181,180,198,197,196,195,194,193,192,191,190,210,221,220,232,231,230,243,242,241,240,254,253,252,251,250,265,264,263,262,261,260,276,275,274,273,272,271,270,287,286,285,284,283,282,281,280,298,297,296,295,294,293,292,291,290,310,321,320,332,331,330,343,342,341,340,354,353,352,351,350,365,364,363,362,361,360,376,375,374,373,372,371,370,387,386,385,384,383,382,381,380,398,397,396,395,394,393,392,391,390,410,421,420,432,431,430,443,442,441,440,454,453,452,451,450,465,464,463,462,461,460,476,475,474,473,472,471,470,487,486,485,484,483,482,481,480,498,497,496,495,494,493,492,491,490

(\beta) \dfrac{1}{1008}\times1\dfrac{1}{1009}\times1\dfrac{1}{1010}\times1\dfrac{1}{1011}\times...\times1\dfrac{1}{2014}\times1\dfrac{1}{2015}= \dfrac{1009}{1008}\times\dfrac{1010}{1009}\times\dfrac{1011}{1010}\times\dfrac{1012}{1011}\times...\times\dfrac{2015}{2014}\times\dfrac{2016}{2015}=\boxed{2}


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage II, 2015

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Μάιος 03, 2017 6:18 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

(α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : \displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}

(β) Να βρείτε το \displaystyle{2015^o} δεκαδικό ψηφίο όταν το \displaystyle{\dfrac{1}{14}} εκφραστεί σε δεκαδική μορφή.
(a) \displaystyle{\dfrac{\left(\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{13}\right)\div\dfrac{7\times11+11\times13+13\times7}{7\times11\times13}}{12\times12-7\times7+5\times5}}= \dfrac{\dfrac{1430+910+770}{7\cdot 11\cdot 13}\cdot \dfrac{7\cdot 11\cdot 13}{143+91+77}}{144-49+25}=\dfrac{10}{120}=\dfrac{1}{12}

(\beta) Παρατηρώ ότι ο αριθμός \displaystyle{\dfrac{1}{14}} είναι περιοδικός, με περίοδο το 714285. Επίσης, παρατηρώ ότι το \displaystyle{5^o} ψηφίο της περιόδου είναι 8, το \displaystyle{10^o} ψηφίο της περιόδου είναι 8 κλπ.

Άρα, το \displaystyle{2015^o} δεκαδικό ψηφίο του είναι \boxed{8}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες