Ολοκληρωματάκι

krex · #1

Γεια σας. Χρειάζομαι τη βοήθεια σας στον υπολογισμό του παρακάτω ολοκληρώματος:

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\sin(x) dx$

Στο mathematica δίνει $\pi/2e$ , αλλα με ενδιαφερει η διαδικασία του υπολογισμού και όχι τόσο το τελικό αποτέλεσμα

Ευχαριστω!

Tolaso J Kos · #2

krex έγραψε:Γεια σας. Χρειάζομαι τη βοήθεια σας στον υπολογισμό του παρακάτω ολοκληρώματος:

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\sin(x) dx$

Στο mathematica δίνει $\pi/2e$ , αλλα με ενδιαφερει η διαδικασία του υπολογισμού και όχι τόσο το τελικό αποτέλεσμα

Ευχαριστω!

Γεια σας,

ας δώσω μία εκτενή υπόδειξη. Παρατήρησε πως η συνάρτηση είναι άρτια οπότε: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin x}{1+x^2 }\, {\rm d} x= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x}{1+x^2 } \, {\rm d}x }$ .
Θεώρησε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(z)=\frac{ze^{iz}}{z^2+1}}$ και ολοκλήρωσε την πάνω σε θετικά προσανατολισμένο ημικύκλιο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα

το οποίο βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο. Σπάσε στη συνέχεια το επικαμπύλιο στα επιμέρους κομμάτια και δείξε με τη βοήθεια της ${\rm ML}$ ανισότητας πως το επικαμπύλιο πάνω στο τόξο πάει στο

καθώς το $R \rightarrow + \infty$ . Χρησιμοποίησε το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων για να πάρεις τη τιμή του επικαμπύλιου (σημείωσε δε πως θα χρειαστείς μόνο έναν πόλο, αυτό με το θετικό φανταστικό μέρος). Τώρα , στέλνεις το $R \rightarrow + \infty$ οπότε παίρνεις τη τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x}{1+x^2 } \, {\rm d}x}$ που είναι $\pi/e$ αφού εξισώσεις τα φανταστικά μέρη. Χρησιμοποιείς στη συνέχεια και τη σχέση με την αρτιότητα και παίρνεις το αρχικό ολοκλήρωμα που είναι $\pi/2e$ .

Y.Σ: Αν εξισώσεις τα πραγματικά μέρη θα πάρεις ένα άλλο ολοκλήρωμα, δηλ. θα πάρεις το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \cos x}{x^2+1} \, {\rm d} x}$ το οποίο κάνει

. Προσοχή, όμως, διότι το συγκεκριμένο δε συγκλίνει. Αυτό που παίρνεις η πρωτεύον τιμή του ${\rm Cauchy}$ , δηλ. $\displaystyle{\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \cos x}{x^2+1} \, {\rm d} x =0 }$

krex · #3

Tolaso J Kos έγραψε:δείξε με τη βοήθεια της ${\rm ML}$ ανισότητας πως το επικαμπύλιο πάνω στο τόξο πάει στο καθώς το $R \rightarrow + \infty$ .

Αν δεν κάνω λάθος, από την ανισότητα

έχουμε ότι
$\left|\int_{C_R}f(z)dz\right|\leq\frac{\pi R^2}{R^2-1}$
το οποίο τείνει στο $\pi$ για $R\to +\infty$ .

krex · #4

Το $Res_{z=i}\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2}e^{iz}$ είναι μηδέν?

Γιατί σκέφτηκα να κάνω το εξής:

Να ολοκληρώσω κατά παράγωντες:
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin (x)}{x^2+1}dx=-\left.\frac{x \cos(x)}{x^2+1}\right|_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\cos (x) dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\cos (x) dx$

Μετά να θέσω $f(z)=\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2}e^{iz}$ και να κάνω την ίδια διακικασία που πρότεινε ο Tolaso J Kos.

#5

krex έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:δείξε με τη βοήθεια της ${\rm ML}$ ανισότητας πως το επικαμπύλιο πάνω στο τόξο πάει στο καθώς το $R \rightarrow + \infty$ .
Αν δεν κάνω λάθος, από την ανισότητα έχουμε ότι
$\left|\int_{C_R}f(z)dz\right|\leq\frac{\pi R^2}{R^2-1}$
το οποίο τείνει στο $\pi$ για $R\to +\infty$ .

Έχεις δίκιο. Η μέθοδος θέλει βελτίωση αλλά ευτυχώς μπορούμε να το κάνουμε. Το τέχνασμα είναι να χρησιμοποιήσουμε την $\displaystyle{ \sin \theta \ge \frac {2\theta} {\pi}$ στο πρώτο τεταρτημόριο. Άρα το επίμαχο κομμάτι μπορεί να αντικατασταθεί με το

$\displaystyle {\left |\int _0^{\pi}\, \frac {Re^{i \theta} e^{i R e^{i\theta}}Re^{i\theta} i}{R^2 e^{2i \theta} +1} d\theta \right | \le \int _0^{\pi}\, \frac {R^2 e^{- R \sin \theta} }{R^2 -1} d\theta$

$\displaystyle { = \frac {2R^2 }{R^2 -1} \int _0^{\pi /2} e^{- R \sin \theta} \, d\theta \le \frac {2R^2 }{R^2 -1} \int _0^{\pi /2} e^{- 2R \theta /\pi} \, d\theta$

$\displaystyle { = \frac {\pi R }{R^2 -1} \left ( 1-e^{-R} \right ) \le \frac {\pi R }{R^2 -1} \to 0$

Φιλικά,

Μιχάλης

krex · #6

Ευχαριστώ πολύ!

Ολοκληρωματάκι

Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Μέλη σε σύνδεση