Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

cristsuk
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Τρί Δεκ 30, 2008 12:48 am

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cristsuk » Δευ Μάιος 25, 2015 8:55 pm

Και τα θέματα σε Word
Συνημμένα
Μαθ_Γ_Κατ_2015.doc
(202.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 770 φορές


ArgirisM
Δημοσιεύσεις: 224
Εγγραφή: Δευ Απρ 16, 2012 10:38 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ArgirisM » Δευ Μάιος 25, 2015 11:04 pm

Η δική μου αντιμετώπιση για το Δ3.
Κατ' αρχάς έχουμε f(x) > 0, \forall x \in (0, + \infty). Έπειτα, με εφαρμογή της γνωστής ανισότητας lnx \le x - 1 έχουμε \displaystyle (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)lnf(x) \le (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)(f(x) - 1) που για x \to 0^+ δίνει ότι η συνάρτηση στο δεξί μέλος συγκλίνει στο 0.
Όπως προκύπτει τώρα από την καμπυλότητα της f θα πρέπει να ισχύει
\displaystyle f(x) \le x, x > 0 \Longleftrightarrow f^2(x) \le x^2, x > 0 \Longrightarrow e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1 < e^{\frac{x^3}{3}} - 1 \Longrightarrow (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)lnf(x) > (e^{\frac{x^3}{3}} - 1)lnf(x), x \to 0^+
Είναι \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{lnf(x)}{\frac{1}{e^{\frac{x^3}{3}} - 1}} = \lim_{x \to 0^+} (- \frac{f'(x)(e^{\frac{x^3}{3}} - 1)^2}{f(x)x^2e^{\frac{x^3}{3}}}) (1).
Έχουμε τώρα \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{x^3}{3}} - 1}{f(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2e^{\frac{x^3}{3}}}{f'(x)} = 0 (2) και \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{x^3}{3}} - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2e^{\frac{x^3}{3}}}{2x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{xe^{\frac{x^3}{3}}}{2} = 0 (3).
Αντικαθιστώντας με βάση τα παραπάνω στο αρχικό όριο προκύπτει ότι αυτό είναι μηδενικό. Έτσι, από παρεμβολή έχουμε ότι \displaystyle \lim_{x \to 0^+} (e^{\int^x_0 f^2(t)\,dt} - 1)lnf(x) = 0.

Σαν γενικό σχόλιο έχω να πω πως κρίνω τα θέματα απαιτητικά, ίσως περισσότερο από το αναμενόμενο. Όχι τα δυσκολότερα όλων των ετών του τωρινού συστήματος (αυτός ο τίτλος πάει σε αυτά του 2013), και αυτό διότι αν και υπήρχαν και κάποια απαιτητικά ερωτήματα προς το τέλος, για κάθε ένα τέτοιο υπήρχαν δύο κλασσικά ερωτήματα στην αρχή και έτσι μπορούσε και ένας μέτριος να μαζέψει μονάδες, γεγονός που σημαίνει πως τα θέματα δεν είναι ισοπεδωτικά (εξάλλου αν ήταν τα δυσκολότερα θα είχαμε μερικές εκατοντάδες αναρτήσεις με κόσμο να διαμαρτύρεται και όχι μόνο μερικές δεκάδες). Θα τα χαρακτήριζα περίπου επιπέδου 2012. Για να μιλήσω πιο συγκεκριμένα, τα ερωτήματα μέχρι και το Γ3 είναι κλασσικά, υπάρχουν σχεδόν σε κάθε βοήθημα, ορισμένα έχουν κιόλας ανακυκλωθεί από προηγούμενες χρονιές, οπότε ένας διαβασμένος μαθητής μπορεί να μαζέψει μονάδες. Το Γ4 χωρίς να είναι κάτι τρομερά εξεζητημένο είναι ωραίο ερώτημα που εκμεταλλεύται καλά τη μέχρι τώρα δομή της άσκησης και αποτελεί καλό τελευταίο ερώτημα για το θέμα. Ας πιάσουμε τώρα το Δ θέμα. Η διαφορική στο Δ1 είναι απλή και η συνάρτηση που προκύπτει γνωστή. Δεν ξέρω μήπως κόσμος χάσει από τη δικαιολόγηση όπου το κόλπο για να δείξει κανείς ότι x - \sqrt{x^2 + 1} είναι μονίμως αρνητικό είναι μεν κλασσικό, αλλά πολλοί υστερούν στην άλγεβρα και μπορεί έτσι κάποιοι να μην το δικαιολογήσουν ολοκληρωμένα. Το Δ2 είναι από την αρχή μέχρι το τέλος κλασσικό. Τα Δ3 και Δ4 αξίζουν αρκετά σαν ερωτήματα και θεωρώ πως είναι αυτά που θα κάνουν και τη διαφορά. Αμφότερα στηρίζονται σε γνωστές τακτικές, των οποίων ωστόσο ο τρόπος εφαρμογής προκειμένου να τα λύσει κανείς με μία σχετική άνεση δεν είναι άμεσα προφανής. Πιστεύω πως θα υπάρχει και ένας όχι αμελητέος αριθμός πολύ καλά διαβεσμένων μαθητών στο 15-18. Από εκεί και πέρα όμως 18-20 εκτιμώ πως θα έχουμε λίγους.

Τέλος εύχομαι σε όλα τα παιδιά καλά αποτελέσματα! Προσπαθείστε να αντιμετωπίσετε το πράγμα ψύχραιμα και θα έχετε τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα. Έρχονται και ωραίες διακοπές μετά (Και μετά κάααααθεσαι! που έλεγε κι ο μακαρίτης ο Φωτόπουλος :P )!

edit: Τελικά η προηγούμενη προβληματική λύση αντικαταστήθηκε από αυτήν εδώ η οποία είναι βεβαιωμένα εντάξει.
τελευταία επεξεργασία από ArgirisM σε Τρί Μάιος 26, 2015 12:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Αν κάτι μπορεί να πάει στραβά, θα πάει!
Νόμος του Μέρφυ
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Δευ Μάιος 25, 2015 11:11 pm

Καλησπέρα σε όλους.
Από το μεσημέρι και μετά διάβασα με προσοχή όλες τις γνώμες (ακόμη και τις "σβησμένες") συναδέλφων και μαθητών, ας μου επιτραπεί μια τοποθέτηση πάνω στα σημερινά θέματα.

1. Στη διατύπωση διαφωνώ με τα εξής:
α) τον τρόπο που ζητήθηκε το Β3 (αν δεν έβρισκες ότι οι μιγαδικοί είναι αντίθετοι δεν μπορούσες να δείξεις ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές).
β) τον τρόπο που ζητήθηκε το Γ4 (έπρεπε, κατά τη γνώμη μου, να ζητάει: δείξτε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο 0 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι είναι γνήσια αύξουσα).
γ) το γεγονός ότι η κομβική ανισότητα f(x)\leq x στο θέμα Δ ήταν "κρυμμένη" και έπρεπε να την ανακαλύψει μόνος του ο μαθητής.
δ) το υπερβολικά "φορτωμένο" με συνάρτηση ολοκλήρωμα στον εκθέτη και απόλυτο για τη συνάρτηση, όριο του ερωτήματος Δ3, θα μπορούσε να γίνει παρόμοια δουλειά, με έναν εκθέτη πιο απλό.

2. Για το επίπεδο των θεμάτων δε θα σχολιάσω, είναι και θέμα οπτικής γωνίας, αλλιώς τα βλέπει ένας έμπειρος καθηγητής που έχει ζήσει τις χρονιές που αναφέρουν άλλοι συνάδελφοι (το Β3 του 2013 είναι νωπό ακόμη) και αλλιώς ένας 18 χρονος έφηβος που προετοιμάζεται χρόνια για αυτές τις 3 ώρες. Έχω όμως σοβαρή ένσταση για το γεγονός ότι ήταν εκτεταμένες οι πράξεις και κυρίως πάρα πολλές οι πλήρεις δικαιολογήσεις (κυρίως για τις συναρτήσεις ολοκλήρωμα που ήταν παντού) που έπρεπε να γράψει ο μαθητής.

3. Είναι εύκολο να τα βάζουμε με τους θεματοδότες, αλλά ας μην ξεχνάμε ότι πλέον το πλήθος, η ποιότητα και ο βαθμός δυσκολίας των θεμάτων που υπάρχει στα βοηθήματα της αγοράς, αλλά και στα πολύ αξιόλογα blog και forum που διατηρούν συνάδελφοι από όλη την Ελλάδα έχει ξεφύγει. Στην προσπάθεια τους να παρουσιάσουν κάτι πρωτότυπο, κατασκευάζουν ασκήσεις και ερωτήματα που μοιάζουν με "τερατογενέσεις" ας μου επιτραπεί η έκφραση.

Νομίζω ότι θα πρέπει να σκεφθούμε σοβαρά το ενδεχόμενο τα θέματα των εξετάσεων από 4 που είναι εδώ και χρόνια να μεγαλώσει σε αριθμό, για παράδειγμα μπορεί να γίνουν τα θέματα 6 ή 8 με δύο ερωτήματα το καθένα. Με τον τρόπο αυτό πιστεύω ότι θα καλυφθεί μεγαλύτερο μέρος της ύλης, θα γίνει πιο δίκαιη κλιμάκωση της βαθμολογίας και θα αποφύγουμε θέματα στα οποία τα ερωτήματα συνδυάζονται με "μαγικούς" που ο μαθητής δεν είναι εύκολο να τους διακρίνει ή "περίεργους" τρόπους.
Κυρίως να βρούμε τον τρόπο να μπαίνουν θέματα που να μην απομακρύνουν τα παιδιά από τα Μαθηματικά, αλλά ταυτόχρονα να επιβραβεύουν τους μαθητές που αξίζουν το άριστα.

Μέσα από την καρδιά μου εύχομαι σε όλους τους μαθητές καλή συνέχεια γιατί οι εξετάσεις δεν τελείωσαν και καλά αποτελέσματα.
Καλό βράδυ σε όλους!!!


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
giannis453
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 25, 2014 2:58 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannis453 » Δευ Μάιος 25, 2015 11:14 pm

Το όριο το έκανα κλάσμα με αριθμητη το ln και εκανα del hospital και το άφησα έτσι.Υπάρχει πιθανότητα να πάρω κανένα μόριο;


nikolaos p.
Δημοσιεύσεις: 272
Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolaos p. » Δευ Μάιος 25, 2015 11:41 pm

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε: ....................................................................................
3. Είναι εύκολο να τα βάζουμε με τους θεματοδότες, αλλά ας μην ξεχνάμε ότι πλέον το πλήθος, η ποιότητα και ο βαθμός δυσκολίας των θεμάτων που υπάρχει στα βοηθήματα της αγοράς, αλλά και στα πολύ αξιόλογα blog και forum που διατηρούν συνάδελφοι από όλη την Ελλάδα έχει ξεφύγει. Στην προσπάθεια τους να παρουσιάσουν κάτι πρωτότυπο, κατασκευάζουν ασκήσεις και ερωτήματα που μοιάζουν με "τερατογενέσεις" ας μου επιτραπεί η έκφραση.
..........................................................................................
Συμφωνώ απόλυτα!


ΕικόναΕικόνα
Επιτροπή Θεμάτων 15
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2015 9:51 am

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Επιτροπή Θεμάτων 15 » Τρί Μάιος 26, 2015 3:40 am

Αγαπητές/τοί φίλοι,

Παρακάτω βρίσκεται η 2η έκδοση των λύσεων των Θεμάτων στα "Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης" του 2015 που επιμελήθηκε η Επιτροπή Θεμάτων 2015 του mathematica.gr.

Ας σημειωθεί ότι έγινε προσπάθεια ώστε οι απαντήσεις να είναι άρτιες από Μαθηματική άποψη.
MATHEMATICA GR Μαθ Θετ κατ Λύσεις Θεμάτων 2015 (v2).pdf
(1.27 MiB) Μεταφορτώθηκε 1391 φορές
Στη 2η έκδοση έγιναν κάποιες βελτιώσεις και προστέθηκαν μερικές ακόμη λύσεις σε ορισμένα ερωτήματα.

EDIT: Προσθήκη 2ης έκδοσης Δελτίου Λύσεων


Επιτροπή Θεμάτων 2015
Άβαταρ μέλους
KonstantinosK
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Δευ Δεκ 10, 2012 2:43 pm
Τοποθεσία: Βόλος

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KonstantinosK » Τρί Μάιος 26, 2015 9:14 am

Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5609
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μάιος 26, 2015 9:15 am

Επιτρέψτε μου ένα σχόλιο πάνω στην κατασκευαστική φιλοσοφία των θεμάτων που κατά την άποψη μου πιθανόν να μην είναι σωστή για τους λύτες και ειδικά αν είναι Μαθητές και μάλιστα εξεταζόμενοι. Θα πρέπει σε ένα θέμα να λειτουργούν οι μορφές των μεγεθών που μετέχουν σε αυτές και να είναι σφικτές και όχι αυτές να είναι άνευ προσωπικότητας και αυτό είναι ίσως το πλέον σημαντικό δηλαδή να είναι μία κακή μία επιλογή που «διαχέει» και δεν συγκεντρώνει. Θα ήθελα να δούμε το μαθηματικό ερώτημα με βάση το Δ3.

Αν αντί για το F\left( x \right) = {e^{\int\limits_0^x {{f^2}\left( t \right)dt} }}, δινόταν π.χ. F\left( x \right) = {\left( {{f^k}\left( x \right) + 1} \right)^m}\;\;{\text{\dot \eta }}\;\;F\left( x \right) = \ln \left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) + 1\;...\; τι θα άλλαζε για τον υπολογισμό του ορίου; Αν δεν αλλάζει κάτι, τότε πρόκειται για κακή περίπτωση θέματος στερούμενη της αναγκαίας «προσωπικότητας» και επομένως σταματά τον λύτη στη φάση να δει την ειδική Μαθηματική λειτουργία της F\left( x \right), με κίνδυνο να πρέπει να θυμηθεί ο λύτης το πιθανό .... αν δεις αυτό...τότε κάνε αυτό ...και το θέμα θα βγει...


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5508
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 26, 2015 10:03 am

KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;
Όχι ! Αν το ήθελαν, ας το ζητούσαν !

Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;

Είναι λοιπόν προφανές ότι τέτοιο πράγμα δεν έχει νόημα ούτε να ζητηθεί ούτε να αποδειχθεί. Με το που αποδεικνύει κάποιος ότι τα δύο τμήματα είναι ίσα,

τότε αυτόματα εξασφαλίζει το τρίγωνο ορίζεται.

Λοιπόν, μην έχετε τέτοιες αγωνίες ! Έχει τόσες αιτιολογήσεις σοβαρές η εξέταση, που αυτή στερείται νοήματος .

Καλά αποτελέσματα !!!


Άβαταρ μέλους
KonstantinosK
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Δευ Δεκ 10, 2012 2:43 pm
Τοποθεσία: Βόλος

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KonstantinosK » Τρί Μάιος 26, 2015 10:45 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;
Όχι ! Αν το ήθελαν, ας το ζητούσαν !

Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;

Είναι λοιπόν προφανές ότι τέτοιο πράγμα δεν έχει νόημα ούτε να ζητηθεί ούτε να αποδειχθεί. Με το που αποδεικνύει κάποιος ότι τα δύο τμήματα είναι ίσα,

τότε αυτόματα εξασφαλίζει το τρίγωνο ορίζεται.

Λοιπόν, μην έχετε τέτοιες αγωνίες ! Έχει τόσες αιτιολογήσεις σοβαρές η εξέταση, που αυτή στερείται νοήματος .

Καλά αποτελέσματα !!!
κ. Στεργίου είμαι της ίδιας άποψης. Απλά σε κουβέντες με συναδέλφους αναφέρθηκε το συγκεκριμένο και ήθελα τη γνώμη περισσότερων συναδέλφων. Ευχαριστώ


Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Τρί Μάιος 26, 2015 11:44 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;


Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;
Μία διευκρίνιση. Τα σημεία A και B, ναι είναι ομοκυκλικά. Το \Gamma όμως (η εικόνα του μιγαδικού z_3) ανήκει σε άλλο κύκλο, καθώς |z_3| =4.

Πάντως, πιστεύω ότι δεν τίθεται θέμα περί συνευθειακών, διότι |z_1 - z_3| = |z_2 - z_3| και ανήκουν σε διαφορετικούς κύκλους.


spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Τρί Μάιος 26, 2015 12:02 pm

Στο Δ3 είναι απαραίτητο να βγάλουμε το απόλυτο απο την f? Γράφω τη λύση που έγραψα και στις εξετάσεις.


Εχουμε: \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\left( {{e^{\int\limits_0^x {{f^2}\left( t \right)dt} }} - 1} \right) \cdot \ln \left| {f\left( x \right)} \right|} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\dfrac{{{e^{\int\limits_0^x {{f^2}\left( t \right)dt} }} - 1}}{{\dfrac{1}{{\ln |f\left( x \right)|}}}}} \right]

Το οποίο είναι της μορφής 0/0, άρα από ντελοπιτάλ γίνεται:

-\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {\dfrac{{{e^{\int\limits_0^x {{f^2}\left( t \right)dt} }} f^2(x)}}{{\dfrac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{{\ln^2|f\left( x \right)|}}}}} \right]= -\mathop{\lim }\limits_{x \to {0^ + }}\frac{e^{\int_{0}^{x}{f^2(t)dt}}f^2(x)ln^2|f(x)|f(x)}{f'x)}

Ομως \displaystyle f^2(x)ln^2|f(x)|=(|f(x)|ln|f(x)|)^2

Έτσι,αν θεσουμε |f(x)|=u καθώς x\rightarrow 0^{+} είναι u\rightarrow 0^{+}

\mathop {\lim }\limits_{x \to{0^+}}|f(x)|ln|f(x)|= \mathop{\lim }\limits_{u \to{0^+}}ulnu=\mathop {\lim }\limits_{u \to{0^+}}\frac{lnu}{\frac{1}{u}}=\mathop{\lim }\limits_{u \to{0^+}}\frac{\frac{1}{u}}{\frac{-1}{u^2}}=0

απο ντελοπιταλ. Τελικά το ζητούμενο όριο ισούται με -(0\times0^{2}\times0)/1=0


MaR1oC
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Οκτ 19, 2012 3:56 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MaR1oC » Τρί Μάιος 26, 2015 1:01 pm

Καλησπέρα,
μόλις έγραψα το μάθημα εχθές ως μαθητής

Πρότεινα μια ξεχωριστή λύση για το Δ1 και θέλω να ρωτήσω κατα πόσο θεωρείται σωστή:

f'(x)(e^{f(x)} + e^{-f(x)}) = 2 \iff (e^{f(x)} - e^{-f(x)} )' = (2x)' \iff e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x + c και μετά την αντικατάσταση της

Α.Σ. προκύπτει c=0.

επομένως η σχέση της υπόθεσης μετατρέπεται στην ισοδύναμη σχέση (αφού βρήκαμε το c) e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x(1). Ορίζουμε τώρα μια νέα συνάρτηση h(x) = e^x - e^{-x} παραγωγίσιμη με παράγωγο h'(x) = e^x + e^{-x} > 0 άρα h γνησίως αύξουσα άρα και άρα 1-1.

Υπολογίζουμε τώρα με πράξεις το h(\ln (x + \sqrt{x^2  + 1})) και έπειτα απο μερικές πράξεις και παραγοντοποίηση προκύπτει ότι h(\ln (x + \sqrt{x^2  + 1}))= 2x. Επομένως η (1) γράφεται ισοδύναμα h(f(x)) = h(\ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) οπότε με τη χρήση της 1-1 ιδιότητας προκύπτει το ζητούμενο.

Το σκεπτικό είναι παρόμοιο με μια άσκηση που είχε αναρτηθεί (Θ33 / 2010) στην τράπεζα επαναληπτικών θεμάτων της ΕΜΕ και ο λύτης υπεδείκνυε αυτόν τον τρόπο.

Ευχαριστώ
τελευταία επεξεργασία από MaR1oC σε Τρί Μάιος 26, 2015 1:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μηδείς αγεωμέτρητος εισήτω...
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Μάιος 26, 2015 2:27 pm

Μια "πυροβολημένη" σκέψη για το πρόσημο του \displaystyle{G(2)} στο Δ4.

Έχουμε ότι:

\displaystyle{\int_0^2f^2(t)dt=\int_0^2ln^2(t+\sqrt{t^2+1})dt=\int_0^2*t)'ln^2(t+\sqrt{t^2+1})dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-\int_0^2\left[2tln(t+\sqrt{t^2+1}) \frac{1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{t+\sqrt{t^2+1}} \right]dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-\int_0^2\left[2tln(t+\sqrt{t^2+1}) \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right] dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-2\int_0^2\left[(\sqrt{t^2+1})'ln(t+\sqrt{t^2+1}) \right] dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-2\left[(\sqrt{t^2+1})ln(t+\sqrt{t^2+1}) \right]_0^2+2\int_0^2 \left[(\sqrt{t^2+1}) \frac{1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}}{t+\sqrt{t^2+1}} \right]dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-2\left[(\sqrt{t^2+1})ln(t+\sqrt{t^2+1}) \right]_0^2+2\int_0^2 dt=}

\displaystyle{=[tln(t+\sqrt{t^2+1})]_0^2-2\left[(\sqrt{t^2+1})ln(t+\sqrt{t^2+1}) \right]_0^2+2[t]_0^2=}

\displaystyle{=2ln^2(2+\sqrt{5})-2\sqrt{5}ln(2+\sqrt{5})+4},

οπότε \displaystyle{G(2)=6ln^2(2+\sqrt{5})-6\sqrt{5}ln(2+\sqrt{5})+4 (I)}.

Το τριώνμυο 6w^2-\sqrt{5}w+4 έχει διακρίνουσα \displaystyle{84} και ρίζες \displaystyle{w=\frac{6\sqrt{5} \pm 2\sqrt{21}}{12}},

όπου \displaystyle{6w^2-6\sqrt{5}w+4 <0 \Leftrightarrow \frac{6\sqrt{5} -2\sqrt{21}}{12}<w<\frac{6\sqrt{5} + 2\sqrt{21}}{12}}.

Όμως \displaystyle{\frac{6\sqrt{5} -2\sqrt{21}}{12}<ln(2+\sqrt{5})<\frac{6\sqrt{5} + 2\sqrt{21}}{12} (II)},

άρα από την (I) προκύπτει ότι G(2)<0.

Η (II) χρειάζεται μια επιπλέον δικαιολόγηση.

Το εύκολο είναι το αριστερό μέρος, αφού \displaystyle{\frac{6\sqrt{5} -2\sqrt{21}}{12}<1<ln(2+\sqrt{5})}.

Έπειτα είναι "εύκολο" να δείξουμε ότι \displaystyle{1,8<\frac{6\sqrt{5} + 2\sqrt{21}}{12}<1,9}.

Επίσης \displaystyle{ln(2+\sqrt{5})<ln(2e)=ln2+ln3=ln2+1}.

Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του \displaystyle{ln2} ή πιο αυστηρά

\displaystyle{\frac{3}{5}<ln2<\frac{4}{5} \Leftrightarrow 3<5ln2<4 \Leftrightarrow 3<ln(32)<4 \Leftrightarrow e^3<32<e^4 }.

Νομίζω ότι μας φτάνουν...


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5508
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 26, 2015 3:33 pm

Grosrouvre έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;


Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;
Μία διευκρίνιση. Τα σημεία A και B, ναι είναι ομοκυκλικά. Το \Gamma όμως (η εικόνα του μιγαδικού z_3) ανήκει σε άλλο κύκλο, καθώς |z_3| =4.

Πάντως, πιστεύω ότι δεν τίθεται θέμα περί συνευθειακών, διότι |z_1 - z_3| = |z_2 - z_3| και ανήκουν σε διαφορετικούς κύκλους.
Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση !

Δεν είχα τα θέματα μπροστά μου και δεν θυμόμουνα τον τρίτο μιγαδικό.Νόμιζα ότι είναι στροφή του ενός κατά ενενήντα μοίρες. Τώρα , οπως το επεσήμανες , τα πράγματα είναι ακόμα καλύτερα , αφού το σημείο είναι εξωτερικό ! Με την απόδειξη ότι τα τμήματα είναι ίσα, αποκλείεται η κορυφή να είναι το μέσο και έτσι το τρίγωνο είναι σίγουρο !

Καμία αναφορά σε όλα αυτά δεν είναι απαραίτητη.

Μπ


_Jorge_
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 24, 2009 5:01 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από _Jorge_ » Τρί Μάιος 26, 2015 4:27 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Grosrouvre έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;


Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;
Μία διευκρίνιση. Τα σημεία A και B, ναι είναι ομοκυκλικά. Το \Gamma όμως (η εικόνα του μιγαδικού z_3) ανήκει σε άλλο κύκλο, καθώς |z_3| =4.

Πάντως, πιστεύω ότι δεν τίθεται θέμα περί συνευθειακών, διότι |z_1 - z_3| = |z_2 - z_3| και ανήκουν σε διαφορετικούς κύκλους.
Ευχαριστώ πολύ για την παρατήρηση !

Δεν είχα τα θέματα μπροστά μου και δεν θυμόμουνα τον τρίτο μιγαδικό.Νόμιζα ότι είναι στροφή του ενός κατά ενενήντα μοίρες. Τώρα , οπως το επεσήμανες , τα πράγματα είναι ακόμα καλύτερα , αφού το σημείο είναι εξωτερικό ! Με την απόδειξη ότι τα τμήματα είναι ίσα, αποκλείεται η κορυφή να είναι το μέσο και έτσι το τρίγωνο είναι σίγουρο !

Καμία αναφορά σε όλα αυτά δεν είναι απαραίτητη.

Μπ
Συμφωνώ, πως με τον τρόπο που δόθηκε το θέμα, ότι δηλαδή z_2 = - z_1 και z_3 = -2iz_1 δεν υπάρχει περίπτωση να μη σχηματίζουν τρίγωνο και άρα εύλογα μπορεί να βγει ισοσκελές.

Παρόλα αυτά σε μια παραλλαγή όπου αντί για το z_3 = -2iz_1 με εικόνα \Gamma\displaystyle{(z_3) δινόνταν μιγαδικός z_4= -3z_1 με εικόνα \Delta}(z_4) τότε άνετα μπορεί το B\displaystyle{(z_2) να είναι μέσο του \Delta}A

Θα μπορούσε δηλαδή ο μαθητής να υπολογίσει τα τμήματα ΔΒ = |z_4 - z_2| = 4 και ΒΑ = |z_1 - z_2| = 4 και να νομίζει πως έχει τρίγωνο ισοσκελές αλλά να μην είναι καν τρίγωνο.
Συνημμένα
B3.png
B3.png (37.9 KiB) Προβλήθηκε 9294 φορές


Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Μάιος 26, 2015 4:51 pm

Η ΙΔΕΑ ΓΙΑ ΤΟ ΟΡΙΟ Δ3(;;;;).pdf
(134.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 565 φορές
υγ μετα χριστον προφήτης αλλα κάτι μου θύμιζε...


nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Τρί Μάιος 26, 2015 5:22 pm

Μια άσκηση(ιδέα για μελλοντικης μορφής θέμα?) αφιερωμένη στους φίλους θεματοδότες ,που τόσο πολύ έχουν κατακριθεί.(ΧΡΟΝΟΣ ΛΥΣΗΣ 15min με σχολικά μαθηματικά και με πλήρη διατύπωση)
Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R},για την οποία ισχύει : \displaystyle{xf''\left( x \right)f'''\left( x \right) > 1,\forall x > 0}
και το σημείο \displaystyle{P\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)} βρίσκεται κάτω απο το μέσο του ευθ. τμήματος \displaystyle{MN},όπου \displaystyle{M\left( {1,f\left( 1 \right)} \right)} και \displaystyle{N\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)}.
Να βρεθεί το όριο : \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( {x + 1} \right) + f\left( {x - 1} \right) - 2f\left( x \right)} \right)}
.
Ερώτηση 1 : Είναι επαρκής ο χρόνος ?
Ερώτηση 2 :Έχουν διδαχθεί οι μαθητές και όχι μόνο τέτοιας μορφής θέμα.
Ερώτηση 3:Μήπως είμαι αρκετά κακός θεματοδότης(ισχυρίζομαι οτι δεν έχω τέτοια πρόθεση)
ΣΧΟΛΙΟ1:Για να μην παρεξηγηθώ , τα θέματα απο μαθηματικη άποψη είναι άψογα και ειναι σχεδόν ταυτόσημα της νοοτροπίας με την οποία προπονώ τους μαθητές.
Θα σχολιάσω όμως μόνο ένα(υπάρχουν και άλλα ) : ότι ο χρόνος των τριών ωρών δεν έφτανε να απαντηθούν με πλήρη διατύπωση τα θέματα αυτά απο τους
περισσότερους μαθητές και οχι μόνο (ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ:(ΧΡΟΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΛΥΤΗ ΜΕ ΠΛΗΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ )Χ3)
ΣΧΟΛΙΟ2Αν ο χρονος των 15min δεν φτάνει ,για να απαντηθεί το προτεινόμενο θέμα, δινεται επι πλεον χρόνος 5 min.
ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ: ΟΤΑΝ ΠΕΦΤΟΥΜΕ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΗ ΝΑ ΣΗΚΩΘΟΥΜΕ! ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!
Ν.Ζ.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5508
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Μάιος 26, 2015 5:29 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
KonstantinosK έγραψε:Ερώτηση σχετικά με το θέμα Β3.

Δεν πρέπει να αποδείξουμε πρώτα ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά για να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;
Όχι ! Αν το ήθελαν, ας το ζητούσαν !

Από την άλλη πλευρά τρία ομοκυκλικά σημεία πώς να είναι συνευθειακά ; Δεν πρέπει τα δύο από αυτά να συμπίπτουν ;

Είναι λοιπόν προφανές ότι τέτοιο πράγμα δεν έχει νόημα ούτε να ζητηθεί ούτε να αποδειχθεί. Με το που αποδεικνύει κάποιος ότι τα δύο τμήματα είναι ίσα,

τότε αυτόματα εξασφαλίζει το τρίγωνο ορίζεται.

Λοιπόν, μην έχετε τέτοιες αγωνίες ! Έχει τόσες αιτιολογήσεις σοβαρές η εξέταση, που αυτή στερείται νοήματος .

Καλά αποτελέσματα !!!
Φίλοι συνάδελφοι και αγαπητοί μαθητές !

Αναφέρομαι στην περίπτωση του συγκεκριμένου ερωτήματος και μόνο : Αν δύο σημεία είναι αντιδιαμετρικά (όπως εδώ )[ ή και όχι] και ένα τρίτο σημείο που κινείται στον ίδιο ή σε άλλον κύκλο ισαπέχει από τα δύο πρώτα, τότε θα σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο .

Το μόνο που τονίζω είναι ότι αύριο που θα αρχίσει η διόρθωση, εγώ δεν θα αφαιρέσω μονάδες από κανέναν μαθητή που δεν έκανε αναφορά σε αυτή την παρατήρηση και το ίδιο θα κάνουν όλοι φαντάζομαι.Το ότι τρία ή πέντε ή κ σημεία που κινούνται σε ν κύκλους μπορεί να είναι συνευθειακά, είναι φανερό και από τις εκλείψεις, κάτι που θα συνέβαινε ακόμα κι αν δύο πλανήτες ή δορυφόροι κινούνταν στην ίδια τροχιά και οι άλλοι σε διαφορετικές τροχιές, όχι μόνο στο επίπεδο αλλά και στο χώρο.

Μπάμπης


chris97
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Τετ Ιαν 22, 2014 10:47 pm

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2015

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris97 » Τρί Μάιος 26, 2015 5:45 pm

Μπορεί να εκτιμήσει κάποιος πόσα μόρια θα κοπούν αν στο γ4 δεν έχει δικαιολογηθεί η συνέχεια της g?και πόσα αν στο δ4 ενώ έχουμε κάνει ο,τι έπρεπε, στο σημείο που "βάζουμε" τα ολοκληρώματα δεν έχουμε βγάλει την ισότητα?


Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται, όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί, ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν, οι μαθηματικές ιδέες είναι διαχρονικές..

Χρήστος Κ.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: chrchr και 1 επισκέπτης