Ανισότητα με αριθμούς

#1

Να δείξετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστή, ότι

$\sqrt{2} - \frac{1}{2} > \ln (1 + \sqrt{2}).$

#2

socrates έγραψε:Να δείξετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστή, ότι

$\sqrt{2} - \frac{1}{2} > \ln (1 + \sqrt{2}).$

Σκιαγραφώ μια απόδειξη εδώ:

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$f(x)=\dfrac{x(6+x)}{2(2x+3)}-\ln (1+x)$ για $x\geq 0$ .

Η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(x)=\dfrac{x^3}{(x+1)(2x+3)^2}$ για κάθε $x\geq 0$ .

Συνεπώς, η

είναι γνησίως αύξουσα με

$f(x)\geq f(0)=0$ για κάθε $x\geq 0$ .

Έτσι,

$\ln (1+x)< \dfrac{x(6+x)}{2(2x+3)}$ για κάθε x>0

.

Θέτοντας $x=\sqrt{2}$ παίρνουμε

$\ln (1+\sqrt{2})<\dfrac{\sqrt{2}(6+\sqrt{2})}{2(2\sqrt{2}+3)}=\dfrac{6+\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=7\sqrt{2}-9<\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$ ,

αφού

$\sqrt{2}< \dfrac{17}{12}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μια απόδειξη ακόμα:

Είναι

$\displaystyle{\ln (1+\sqrt{2})=\int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{1}{x}dx<\int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt[13]{x^{12}}}dx=13\sqrt[13]{1+\sqrt{2}}-13}$

Απομένει να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{13\sqrt[13]{1+\sqrt{2}}-13<\sqrt{2}-\frac{1}{2},}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{\sqrt{2}+\frac{25}{2}>13\sqrt[13]{1+\sqrt{2}}.}$

Αυτή γράφεται και ως

$\displaystyle{\Big(1+\frac{2\sqrt{2}-1}{26}\Big)^{13}>1+\sqrt{2}.}$

Από την ανισότητα Bernoulli

$\displaystyle{(1+x)^n>1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2,}$

αρκεί

$\displaystyle{1+\frac{2\sqrt{2}-1}{2}+13\cdot 6\Big(\frac{2\sqrt{2}-1}{26}\Big)^2>1+\sqrt{2}}$

Αυτή είναι στην πραγματικότητα πολύ απλή (γίνονται αρκετές απλοποιήσεις) και βλέπουμε αμέσως ότι ισχύει.

*** Τελικά τώρα που το ξαναβλέπω η Bernoulli δεν αρκεί. Η τελευταία ανισότητα δεν ισχύει.

nikoszan · #4

socrates έγραψε:Να δείξετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστή, ότι

$\sqrt{2} - \frac{1}{2} > \ln (1 + \sqrt{2}).$

Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = {\left( {\ln x} \right)^2} - x - \frac{1}{x},x \ge 1}$ είναι γνησίως φθίνουσα ,οπότε ισχύει
$\displaystyle{f\left( {1 + \sqrt 2 } \right) < f\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right)^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} < - 2 \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow {\left( {\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right)^2} < 2\sqrt 2 - 2 < {\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)^2}}$ , (αφού , $\displaystyle{{2\sqrt 2 - 2 < {{\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)}^2}\, \Leftrightarrow 2\sqrt 2 - 2 < 2 + \frac{1}{4} - \sqrt 2 \Leftrightarrow 12\sqrt 2 < 17 \Leftrightarrow 288 < 289}}$ ,που ισχύει)
$\displaystyle{ \Rightarrow \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) < \sqrt 2 - \frac{1}{2}}$ .
Ν.Ζ.

Ανισότητα με αριθμούς

Ανισότητα με αριθμούς

Re: Ανισότητα με αριθμούς

Re: Ανισότητα με αριθμούς

Re: Ανισότητα με αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση