Υπάρχει σύνολο;

opener · #1

Καλησπέρα!!

Μια απορία που προέκυψε καθώς προσπαθούσα να καταλάβω πόσο "μεγάλο" είναι ένα πυκνό και $G_{\delta}$ υποσύνολο του $\mathbb{R}$ . Μια σύνεπεια του θεωρήματος του Baire μας λέει ότι ένα τέτοιο σύνολο είναι σίγουρα υπεραριθμήσιμο.

Ετσι λοιπόν, υπάρχει πυκνό, $G_{\delta}$ υποσύνολο των πραγματικών πεπερασμένου μέτρου;
Ειδικότερα, υπάρχει πυκνό, $G_{\delta}$ σύνολο μέτρου 0;

#2

Ναι υπάρχει.

Αρκεί για κάθε

να βρούμε ανοικτό υποσύνολο U_n

του $\mathbb{R}$ μέτρου το πολύ 1/n

που να περιέχει τους ρητούς. Πράγματι η τομή αυτών των ανοικτών συνόλων θα είναι πυκνό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ (αφού θα περιέχει τους ρητούς) και θα έχει μέτρο

(αφού θα έχει μέτρο το πολύ 1/n

για κάθε

).

Για αυτό το κομμάτι παίρνουμε μια απαρίθμηση $q_1,q_2,\ldots$ των ρητών. Παίρνουμε επίσης μια ακολουθία $\delta_1,\delta_2,\ldots,$ θετικών αριθμών με άθροισμα 1/2n

. Π.χ. μπορούμε να πάρουμε $\delta_k = \frac{1}{2n \cdot 2^k}$ . Τότε μπορούμε να πάρουμε $U_n = \cup_{k=1}^{\infty} (q_k - \delta_k,q_k + \delta_k)$ .

Το U_n

περιέχει ασφαλώς όλους τους ρητούς, είναι ανοικτό ως αριθμήσιμη ένωση ανοικτών, και έχει μέτρο το πολύ $2\sum_{k=1}^{\infty} \delta_k = 1/n$ . (Θα έχει μικρότερο μέτρο αφού τα σύνολα αυτά δεν είναι ξένα μεταξύ τους.)

Υπάρχει σύνολο;

Υπάρχει σύνολο;

Re: Υπάρχει σύνολο;

Μέλη σε σύνδεση