Όριο

vassilisg98 · #1

Καλησπέρα σε όλο τον κόσμο του

και καλή επιτυχία σε όλους τους υποψηφίους. Να υπολογιστεί το όριο : $\lim_{x\to\ 0}\frac{x^4(e^x-x-1)}{(sinx-x)^2}$

#2

vassilisg98 έγραψε:Καλησπέρα σε όλο τον κόσμο του και καλή επιτυχία σε όλους τους υποψηφίους. Να υπολογιστεί το όριο : $\lim_{x\to\ 0}\frac{x^4(e^x-x-1)}{(sinx-x)^2}$

Η παράσταση ισούται $\displaystyle{ \frac{\frac {e^x-x-1}{x^2}}{\left(\frac {sinx-x}{x^3}\right )^2} }$ .

Κάνουμε χωριστά l' Hospital στον αριθμητή (δύο φορές) και στην παράσταση μέσα στη παρένθεση του παρονομαστή (τρεις φορές). Θα βρούμε αντίστοιχα $\frac {1}{2}$ και $-\frac {1}{6}$ (άμεσο). Άρα η απάντηση είναι $\displaystyle{\frac {\frac{1}{2}}{\left (-\frac{1}{6}\right )^2} = 18}$ .

vassilisg98 · #3

Θα ήθελα να δω μια απάντηση χωρίς DLH

#4

vassilisg98 έγραψε:Θα ήθελα να δω μια απάντηση χωρίς DLH

Εκτενείς υποδείξεις:

α) Για το όριο στο

της $\frac {sinx-x}{x^3}$ αρκεί να εργαστούμε με το πλευρικό όριο $x\to 0+$ , λόγω συμμετρίας. Δείχνουμε πρώτα την ανισότητα

$\boxed {\displaystyle{ x- \frac {x^3}{3!} \le \sin x \le x- \frac {x^3}{3!}+ \frac {x^5}{5!} (x \ge 0) (*)}}$

Ο τρόπος που το δείχνουμε είναι: Αρχίζουμε από την ανισότητα $\sin x \le x$ . Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη από

έως

. Θα βρούμε μετά τις αναγωγές

$\displaystyle{ 1- \frac {X^2}{2!} \le \cos X \le 1 \, (X \ge 0)}$

Επαναλαμβάνουμε το ίδιο βήμα ολοκλήρωσης από

έως

, αλλά τώρα στην ανισότητα που μόλις δείξαμε. Θα βρούμε

$\displaystyle{ x- \frac {x^3}{3!} \le \sin x \le x \, (x \ge 0)}$

Το κάνουμε άλλες δύο φορές, και θα καταλήξουμε στην (*)

. Αυτή γράφεται

$\displaystyle{-\frac {1}{3!}\le \frac {sinx-x}{x^3} \le -\frac {1}{3!} + \frac {x^2}{5!}$

Το όριο τώρα στο 0^+

είναι άμεσο, από ισοσυγκλίνουσες.

β) Για το δεύτερο όριο, εργαζόμαστε πρώτα για $x\ge 0$ . Αρχίζουμε από την ανισότητα

$\displaystyle{e^{-x} \le 1 \le e^x}$

Με παρόμοια ιδέα με την περίπτωση α), ολοκληρώνοντας δύο φορές θα καταλήξουμε στις

$\displaystyle{ e^x \ge 1+x+ \frac {x^2}{2!} }$ και $\displaystyle{ e^{-x} \ge 1-x+ \frac {x^2}{2!} }$ για θετικά

. Οι δύο μαζί γράφονται

$\boxed{ \displaystyle{ 1+x+ \frac {x^2}{2!} \le e^x \le \frac {1}{1-x+ \frac {x^2}{2!}}}\, (x\ge 0)}$

Αφαιρώντας 1+x

και μετά διαιρώντας με x^2

στα τρία μέλη θα καταλήξουμε στην

$\displaystyle{ \frac {1}{2} \le \frac {e^x -1 -x}{x^2} \le \frac {1}{2}}+ \frac {x}{2}}\, (x\ge 0)$

και λοιπά, με ισοσυγκλίνουσες.

Φιλικά,

Μιχάλης

vassilisg98 · #5

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για το χρόνο σας . Κρίμα που μαθηματικοί με όρεξη και αγάπη για τη δουλειά τους σαν και σας είναι ελάχιστοι ..

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση