Δύο μιγαδικοί ... περίπτωση!

maiksoul · #1

Έστω μιγαδικοί z,w

με $\displaystyle{ \left| z \right| = 3\,\,,\,\,\,\left| w \right| = 9 }$ και $\displaystyle{ w \notin I }$ , οι οποίοι ικανοποιούν την :

$\displaystyle{ (1)\,\,:\,\,\,\,z^{\,3\,} - 3\,z^{\,2\,} + w\,z - 3\,\overline {\,w\,\,} \, = 0\,\,\, }$

Να βρεθούν οι z,w

.

#2

maiksoul έγραψε:Έστω μιγαδικοί με $\displaystyle{ \left| z \right| = 3\,\,,\,\,\,\left| w \right| = 9 }$ και $\displaystyle{ w \notin I }$ , οι οποίοι ικανοποιούν την :

$\displaystyle{ (1)\,\,:\,\,\,\,z^{\,3\,} - 3\,z^{\,2\,} + w\,z - 3\,\overline {\,w\,\,} \, = 0\,\,\, }$

Να βρεθούν οι .

...μία προσέγγιση ελπίζω χωρίς λαθος στις πράξεις...

Είναι ${{z}^{3}}-3{{z}^{2}}+wz-3\overline{w}=0\Leftrightarrow z({{z}^{2}}+w)=3({{z}^{2}}+\bar{w})$ τότε αναγκαία

$|z||{{z}^{2}}+w|=3|{{z}^{2}}+\bar{w}|\overset{|z|=3}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,|{{z}^{2}}+w|=|{{z}^{2}}+\bar{w}|\Leftrightarrow$

$({{z}^{2}}+w)({{\bar{z}}^{2}}+\bar{w})=({{z}^{2}}+\bar{w})({{\bar{z}}^{2}}+w)\Leftrightarrow {{z}^{2}}\bar{w}+{{\bar{z}}^{2}}w={{z}^{2}}w+{{\bar{z}}^{2}}\bar{w}\Leftrightarrow$

${{z}^{2}}\bar{w}-{{z}^{2}}w+{{\bar{z}}^{2}}w-{{\bar{z}}^{2}}\bar{w}=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}(\bar{w}-w)+{{\bar{z}}^{2}}(w-\bar{w})=0\Leftrightarrow$

$({{z}^{2}}-{{\bar{z}}^{2}})(\bar{w}-w)=0$ απ όπου $z=\bar{z}\,\,(1)\,\,\,\,z=-\bar{z}\,(2)\,\,\,\,\,\,\,w=\bar{w}(3)$

Στην περίπτωση (1) αν $z\in R$ αναγκαία λόγω του $\left| z \right|=3$ είναι $z=3,\,\,\,\,\,\,\,z=-3$ τότε στην αρχική για

z=3

έχουμε $27-27+3w-3\overline{w}=0\Leftrightarrow w=\bar{w}\Leftrightarrow w\in R$ άρα λόγω $\left| w \right|=9$

είναι $w=9,\,\,\,\,\,\,\,w=-9$ που είναι δεκτές.

Για z=-3

στην αρχική έχουμε $-27-27-3w-3\overline{w}=0\Leftrightarrow w+\bar{w}=-18\Leftrightarrow 2\alpha =-18\Leftrightarrow \alpha =-9$ με

$w=\alpha +\beta i,\,\,\,{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=81$ έτσι $\beta =0$ άρα w=-9

που είναι δεκτές.

Στην περίπτωση (2) αν

φανταστικός και λόγω $\left| z \right|=3$ είναι $z=3i,\,\,\,\,\,\,z=-3i$ και για z=3i

στην αρχική

$-27i+27+3iw-3\overline{w}=0\Leftrightarrow iw-\bar{w}=-9+9i$ ή

$\alpha i-\beta -\alpha +\beta i=-9+9i\Leftrightarrow -(\alpha +\beta )+(\alpha +\beta )i=-9+9i$ άρα $\alpha +\beta =9$ με

${{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}=81$ και επειδή από

${{(\alpha +\beta )}^{2}}=81\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}+2\alpha \beta =81\Rightarrow 2\alpha \beta =0\Leftrightarrow (\alpha =0,\,\,\,\,\,\,\beta =0)$

με $\alpha =0$ απορρίπτεται λογω υπόθεσης και με $\beta =0$ είναι w=-9

ή

με δεκτή την w=9

Τέλος στην περίπτωση (3) είναι $w\in R$ άρα είναι w=-9

ή

και με

η αρχική γίνεται

${{z}^{3}}-3{{z}^{2}}-9z+27=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}(z-3)-9(z-3)=0\Leftrightarrow z=\pm 3$ δεκτές

Και με w=9

η αρχική γίνεται ${{z}^{3}}-3{{z}^{2}}+9z-27=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}(z-3)+9(z-3)=0\Leftrightarrow (z=3\,\,\,\,\,\,z=\pm 3i)$ δεκτές.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

maiksoul · #3

Βασίλη

.
Να πω ότι η άσκηση είναι μια κατασκευή μου, ελπίζω να άρεσε!

Δύο μιγαδικοί ... περίπτωση!

Δύο μιγαδικοί ... περίπτωση!

Re: Δύο μιγαδικοί ... περίπτωση!

Re: Δύο μιγαδικοί ... περίπτωση!

Μέλη σε σύνδεση