Φή-μες!

Γιώργος Απόκης · #1

Στη λογική του Θανάση σε αυτή τη δημοσίευση:

Να βρείτε το $\displaystyle{\eta \mu 666^o}$

#2

$\displaystyle \eta \mu 666^\circ = \eta \mu \left( {720^\circ - 54^\circ } \right) = -\eta \mu 54^\circ$

Είναι $\displaystyle \eta \mu 54^\circ = \sigma \upsilon \nu 36^\circ \Leftrightarrow \eta \mu 3 \cdot 18^\circ = \sigma \upsilon \nu 2 \cdot 18^\circ$

Με τη χρήση του τύπου $\displaystyle \eta \mu 3x = 3\eta \mu x - 4\eta {\mu ^3}x$ και του τύπου $\displaystyle \sigma \upsilon \nu 2x = 1 - 2\eta {\mu ^2}x$ ,

έχουμε $\displaystyle 3\eta \mu 18^\circ - 4\eta {\mu ^3}18^\circ = 1 - 2\eta {\mu ^2}18^\circ \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \eta \mu 18^\circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$ , και από εδώ: $\displaystyle \eta \mu 54^\circ = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}$

edit: Είχα ξεχάσει το (-). Ο δαίμων

του τυπογραφείου ελόχευε. Καθόλου παράξενο, αν δει κανείς την εκφώνηση... Ευχαριστώ τον Γιώργο Απόκη!

Γιώργος Απόκης · #3

Ευχαριστώ Γιώργο. Το όμορφο είναι ότι ισχύει : $\displaystyle{\eta \mu 666^o=-\frac{\phi}{2}}$ , εξ ου και ο τίτλος!

#4

Καλησπερίζω τους συνονόματους!

$\displaystyle{\eta \mu {666^0} = \eta \mu ({630^0} + {36^0}) = \eta \mu (7 \cdot {90^0} + {36^0}) = - \sigma \upsilon \nu {36^0}}$ .

Και ένας γεωμετρικός υπολογισμός του $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {36^0}}$

Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο ABC

, με

και $\hat{A}=36^0$ .
Έστω

σημείο της

, ώστε

, οπότε θα είναι και AE=x

.

: cos36.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα ABC, CBE

έχουμε: $\displaystyle{\frac{x}{{1 - x}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}$

Από νόμο συνημιτόνων στο CBE

: $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {36^0} = \frac{{{x^2} + x - 1 + x}}{{2{x^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{{x^2} + x - 1 = 0} \sigma \upsilon \nu {36^0} = \frac{1}{2x} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = \frac{\phi }{2}}$

Άρα: $\boxed{\eta \mu {666^0} = - \frac{\phi }{2}}$

Ηλίας Θ. · #5

Επίσης ισχύει $\sin\left( 666^o \right)=\cos \left( 6\cdot 6 \cdot 6^o \right)$
Ο . . . σατανάς

Γιώργος Απόκης · #6

Ηλίας Θ. έγραψε:Επίσης ισχύει $\sin\left( 666^o \right)=\cos \left( 6\cdot 6 \cdot 6^o \right)$
Ο . . . σατανάς

Γιώργος Μήτσιος · #7

Γεια σας.
Μια ελαφρά παραλλαγή για την απόδειξη της σχέσης $cos36^{0}=\dfrac{\phi }{2}$ ..
και για την Καλησπέρα στον Ηλία και τους $\left( x3\right)$ Γιώργηδες !

: 6.12 Φη-μες.PNG (6.6 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\hat{A}=36^{0}..AB=AC$ και η

είναι διχοτόμος.

Από τις ισότητες των γωνιών προκύπτει AD=BD=BC.

Το Θ. διχοτόμου μας δίνει $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow {\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AC}{AD}}$

που σημαίνει ότι το

χωρίζει το

σε μέσο και άκρο λόγο (χρυσή τομή) δηλ ισχύει $\dfrac{AC}{AD}=\phi$ .. (1)

Φέρνουμε $DM\perp AB$ και έχουμε $cos36^{0}=\dfrac{AM }{AD}=\dfrac{AB/2}{AD}=\dfrac{AC}{2AD}=\dfrac{\phi }{2}.$

Φιλικά Γιώργος.

Φή-μες!

Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Re: Φή-μες!

Μέλη σε σύνδεση