Επιστροφή στα Seventies

KARKAR · #21

$R(f)=\mathbb{R}$ . Σελίδα 93

Σίλης · #22

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Το κακό είναι ότι παρασύρομαι από το γλαφυρό λόγο κι ενίοται χάνομαι (γιατί ρεμβάζω).

Επίτηδες το κάνω! Ρίχνω τον αναγνώστη στη ρέμβη για να μήν προσέχει τα λάθη μου... :-)

Έχουμε και λέμε.

Σίλης έγραψε:Ερώτημα. Ας είναι $a_i, b_i, c_i, x \in \mathbb{R}$ , με $a_i \neq 0$ για . Τί πραγματικές τιμές παίρνει το κλάσμα $\displaystyle \frac{a_1 x^{2} + b_1 x + c_1}{a_2 x^2 + b_2 x+ c_2} ;$

Στην εκφώνηση είναι καθαρότερο ν' απομονωθεί το

απ' τις παραμέτρους, καθότι είναι η ελεύθερή μας μεταβλητή (ακριβώς οπως το διατυπώνει ο Ρίζος στο αρχικό πόστ δηλαδή).

Ήδη πρέπει να πούμε οτι άν ο παρονομαστής είναι μηδέν, τότε το σύνολο που ψάχνουμε είναι κενό: το κλάσμα δέν παίρνει πραγματικές τιμές, δέν ορίζεται. (Άν είναι να δούμε συνεπώς το κλάσμα ώς συνάρτηση, και δή ολική συνάρτηση, θα πρέπει να την ορίσουμε το πολύ στο $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2a_2} (-b_2 + \sqrt{\Delta_{22}}), \frac{1}{2a_2} (-b_2 - \sqrt{\Delta_{22}}) \}$ · όχι οτι χρειάζεται να το δούμε ώς συνάρτηση βέβαια.)

Με την προϋπόθεση οτι δέν μηδενίζεται ο παρονομαστής, προχωράμε [...]

Αυτά εδώ τα λέω τόσο θολά που είμαι λάθος. Αυτό που πρέπει να πεί κανείς σ' αυτήν την περίπτωση, είναι οτι απ' το απόθεμα των που έχουμε στη διάθεσή μας (αρχικά όλο το $\mathbb{R}$ ) προκειμένου να παραγάγουμε το ενλόγω φιξαρισμένο

, όπως απαιτεί ο ορισμός του συνόλου τιμών, πρέπει να εξαιρέσουμε τις ρίζες του παρονομαστή. Αυτό ακριβώς εννοούμε άλλωστε όταν λέμε οτι το πεδίο ορισμού του

(ως συνάρτησης) θα πρέπει να εξαιρεί αυτά τα ορίσματα.

Θέτοντας λοιπόν στην όπου το $\frac{a_1}{a_2}$ , και κάνοντας ανώδυνες πράξεις, φτάνουμε στην ισοδύναμη φόρμουλα

$(2.1)\qquad \displaystyle \mathop{\exists}_{x \in \mathbb{R}} \ (a_1 b_2 - a_2 b_1) x = a_2 c_1 - a_1 c_2 .$

Με λίγες καλλωπιστικές πράξεις βλέπουμε οτι η φόρμουλα ικανοποιείται ακριβώς όταν

$(2.2)\qquad \displaystyle \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \quad \lor \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} .$

Οι καλλωπιστικές πράξεις εδώ, δυστυχώς, δέν είναι όλες ανώδυνες! (το «μπρός στα κάλλη τί 'ν' ο πόνος» δέν είν' αποδεκτό στα μαθηματικά...) Είναι λάθος αυτό που έγραψα ως αριστερό διάζευγμα, γιατι το κλάσμα $\frac{b_1}{b_2}$ δέν ειν' ανάγκη να ορίζεται. Καλύτερα λοιπόν ν' αφήσουμε τα γινόμενα στην ησυχία τους:

$(2.2')\qquad \displaystyle a_1 b_2 \neq a_2 b_1 \quad \lor \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} .$

Στην περίπτωση του δεύτερου διαζεύγματος υπονοείται οτι τα κλάσματα $\frac{b_1}{b_2}$ και $\frac{c_1}{c_2}$ θα πρέπει αφενός να ορίζονται, και αφετέρου να είναι ίσα με το $\frac{a_1}{a_2}$ --δέν υπάρχει εδώ πρόβλημα.

-----

Μετά απ' αυτές τις διορθώσεις, σκεφτόμουνα οτι θά 'τανε καλό να διατυπώσω το ρεζουμέ, όπως το κατάλαβα προσωπικά, με πιό καθαρό τρόπο.

Ας είναι λοιπόν $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ , με $a_i \neq 0$ για i = 1, 2

. Γράφουμε $\Delta_{ij} := b_i b_j - 4 a_i c_j$ για i = 1, 2

. Ας είναι επιπλέον

το κλάσμα που ορίζεται απ' την παράσταση

$\displaystyle f(x) = \frac{a_1 x^{2} + b_1 x + c_1}{a_2 x^2 + b_2 x+ c_2}$ για κάθε $x \in D_f$ ,

οπου D_f

είναι το πεδίο ορισμού (δηλαδή το $\mathbb{R}$ πλήν ενδεχομένως τις ρίζες του παρονομαστή). Γράφουμε R_f

για το σύνολο των πραγματικών τιμών του

(στο προηγούμενο πόστ έγραφα κακώς

).

Πρόταση. Είναι $\frac{a_1}{a_2} \in R_f$ άν και μόνο άν $a_1 b_2 \neq a_2 b_1 \quad$ ή $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ . Επιπλέον, για κάθε $y \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{a_1}{a_2}\}$ είναι $y \in R_f$ άν και μόνο άν $\Delta_{22}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{11} \geq 0$ .

(Για την απόδειξη, στο προηγούμενό μου πόστ.)

ΕΝΤΙΤ: Ο Δημήτρης (που δυστυχώς δέ φαίνεται να ρεμβάζει και πολύ) με διορθώνει με προσωπικό μήνυμα: δέν είναι $\Delta_{11}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{22} \geq 0$ αλλα $\Delta_{22}y^2 - (\Delta_{12} + \Delta_{21})y + \Delta_{11} \geq 0$ . Και έχει βέβαια δίκιο, ευχαριστώ. Το διόρθωσα ήδη.

-----

Τώρα, κάτι ωραίο και λεπτό. Η άσκηση ζητάει να βρούμε ένα σύνολο τιμών, και ο ορισμός του συνόλου τιμών, όπως προσπάθησα να τονίσω χθές, βασίζεται σε υπαρξιακή ποσόδειξη πάνω στο

. Σύμφωνα μ' αυτόν, συγκεκριμένα, έχουμε:

$\displaystyle \mathop{\forall}_{y \in \mathbb{R}} \big( y \in R_f \leftrightarrow \mathop{\exists}_{x \in \mathbb{R}} y = f(x) \big) ,$

ή, ολογράφως (για να μπορούμε να το συγκρίνουμε καλύτερα με την Πρόταση επάνω):

Ορισμός. Για κάθε $y \in \mathbb{R}$ είναι $y \in R_f$ άν και μόνο άν υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ τέτοιο ωστε y = f(x)

.

Φανταζόμαστε τώρα τον εξής διάλογο ανάμεσα σε δύο φανταστικά πρόσωπα:

ΓΙΩΡΓΟΣ ΡΙΖΟΣ: Άμα σου δώσω ένα κλάσμα και έναν αριθμό , μπορείς να μου πείς άν ο θ' ανήκει στο σύνολο τιμών του ;
ΣΙΛΗΣ: Αμέ, κοτζάμ «Πρόταση» βρήκαμε επάνω γι' αυτήν ακριβώς τη δουλειά.
Γ.Ρ.: Ωραία. Πάρε το κλάσμα $\frac{x^2-4}{x^2-4x+3}$ , και πές μου άν ο $\pi$ ανήκει στο σύνολο τιμών του.
Σ: [χμ... το πί, συνήθως, δέν ειναι ίσο με τη μονάδα, άρα... μούμπλε-μούμπλε δέλτα ένα ένα... μούμπλε-μούμπλε δέλτα ένα δύο... μούμπλε-μούμπλε διακρίνουσα πρέπει να είναι θετική... χμ... ε πάντα είναι θετική!... κυριλέ]... Ναί, ανήκει.
Γ.Ρ.: Ναί έ; Γιάααα δώσε μου τότε ένα $x_\pi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ωστε $\frac{x_\pi^2-4}{x_\pi^2-4x_\pi+3} = \pi$ ... Έτσι, για την επαλήθευση.
Σ: ...

Το καλό με την Πρόταση επάνω είναι βέβαια οτι, εφαρμόζοντάς την, αποφεύγουμε τη σκοτούρα να πρέπει όντως να βρούμε ένα συγκεκριμένο

κάθε φορά που κάποιος μας κάνει την ερώτηση. Αυτό ειναι και το κακό της όμως: άν αυτός ο κάποιος παίρνει τον ορισμό στα σοβαρά, η απάντηση με βάση την Πρόταση είναι μεσοβέζικη. Και υπάρχουν άνθρωποι που άμα τους απαντάς μεσοβέζικα μπορεί και να εκνευριστούν (είχα κάμποσους τέτοιους δασκάλους, για παράδειγμα)... Άρα:

Άσκηση. Άς είναι $y \in R_f$ . Βρείτε τα $x \in \mathbb{R}$ , για τα οποία y = f(x)

.

ΥΓ: Μα, «γλαφυρό λόγο»;!... Αφού μεταξύ μας μιλάμε.

#23

Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.

#24

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.

Έχω μπερδευτεί!

Άλλα έγραφε στο βιβλίο του, άλλα το 2010;

Δεν κάνει στο βιβλίο του ακριβώς ότι υποστήριζε ως λάθος στο παρακάτω μήνυμα;

Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Atemlos · #25

achilleas έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.
Έχω μπερδευτεί!

Άλλα έγραφε στο βιβλίο του, άλλα το 2010;

Δεν κάνει στο βιβλίο του ακριβώς ότι υποστήριζε ως λάθος στο παρακάτω μήνυμα;

Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#26

Atemlos έγραψε:
achilleas έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.
Έχω μπερδευτεί!

Άλλα έγραφε στο βιβλίο του, άλλα το 2010;

Δεν κάνει στο βιβλίο του ακριβώς ότι υποστήριζε ως λάθος στο παρακάτω μήνυμα;

Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Είσαι πολύ μικρή ποσότητα για να την λες στο δάσκαλο. Έλεος πια...

Παρακαλώ πολύ να λείπουν τα ad hominem. To αν είναι Ο Αχιλλέας μικρή ποσότητα το ξέρουμε πολύ καλά όσοι τον διαβάζουμε χρόνια τώρα. Αν έχετε μαθηματικά επιχειρήματα μπορείτε να τα παραθέσετε. Αλλιώς μπορείτε να σωπασετε.

#27

Έχει και πιο πρόσφατο(Νοέμβριος 2009

γράφει στην αρχή, λίγο πριν το 2010

) πόνημα, ο Δάσκαλος.
Βρίσκεται εδώ στη σελίδα

(*) όπως αριθμεί
τις σημειώσεις. Κάτι περίεργο συμβαίνει.
Λαμβάνει διακρίνουσα ενώ οι συντελεστές του τριωνύμου είναι εξαρτώμενοι του

;
Μα στο μήνυμα που έχει δημοσιεύσει προχτές φαίνεται το ανάποδο!
Δε μπορεί να συμβαίνει αυτό. Φαύλος κύκλος στα λεγόμενα του κυρίου Αντώνη;
Μήπως τότε το είχανε μέσα τα σχολικά βιβλία (το να εξαρτώνται οι συντελεστές του τριωνύμου από τη μεταβλητή)
και στη συνέχεια το βγάλανε έξω;
Το μικρό της ποσότητάς μου με κάνει και αναρωτιέμαι...

(*) Πηγή και των δύο πονημάτων: "Για την αγάπη των μαθηματικών- Π.Χρονόπουλος"

Σίλης · #28

Είστε βέβαια παλιό φόρουμ και έχετε ήδη ιστορία, κατανοητό. Εγώ πάντως παίζω το χαρτί του νέου, και απαντάω απλά στο χαριτωμένα ειρωνικό πόστ του Αχιλλέα (που δέν εξέλαβα ως κακόβουλο βέβαια). Οι αναφορές σε ποσότητες του ενός και του άλλου ανδρός είναι γενικώς παραπειστικά έως και σεξιστικά πράματα.

Η σύγχυση σ' εκείνη τη συζήτηση πιθανά να ξεκίνησε απ' τ' οτι εσφαλμένα θεωρήθηκε το

να είναι συνάρτηση του

, το οποίο έχει αρκετά προβλήματα ως ιδέα απο μόνο του, άν το πάρεις τοις μετρητοίς: το

ανήκει βέβαια στο $\mathbb{R}$ (είναι «τύπου» $\mathbb{R}$ ) δέν είναι συνάρτηση τύπου $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ όπως η f! Αυτή είναι μία κλασική σύγχυση, απ' αυτές που ευδοκιμούν σε καθεστώς απρόσεχτων διατυπώσεων (ή απρόσεχτου συμβολισμού, το ίδιο πράμα).

Στο ίδιο στίλ, άμα στη συγκεκριμένη άσκηση ο άλλος πεί «θέτω όπου y το f(x)», άμα είσαι αυστηρός θα πρέπει φυσικά να τον διορθώσεις, γιατι δέν θέλουμε να αναθέσουμε («εκχωρήσουμε» που λέν οι πληροφορικάριοι) την τιμή f(x)

στη μεταβλητή

, αλλα απλά να εξετάσουμε πότε οι δύο ανεξάρτητοι όροι f(x)

και

συμβαίνει να είναι ίσοι. Όχι εκχώρηση y := f(x)

λοιπόν (οπου δεσμεύουμε το μέν απο το δέ και τίποτα παραπάνω, δέν υπάρχει κάποιο μαθηματικό ζητούμενο), αλλα ισότητα y = f(x)

(καί οι δύο όροι παραμένουν ανεξάρτητοι, κατα προσέγγιση ποσόδειξης, και το ζητούμενο είναι να εξερευνήσουμε την ικανοποιησιμότητα της φόρμουλας).

Γι' αυτό και ο Κυριακόπουλος φερειπείν, απ' ότι κατάλαβα, εμμένει σε πράγματα σε κείνη την κουβέντα που είναι μέχρις ενός σημείου δικαιολογημένα, αλλα σε κάθε περίπτωση συμβαίνει να μήν αφορούν τη συγκεκριμένη άσκηση, πολύ περισσότερο που (απ' ότι είδα, μπορεί να μου ξέφυγε κάτι) δεν κατέστη στην κουβέντα επαρκώς φανερό οτι δέν τίθεται κάν ζήτημα εξάρτησης του απ' το .

Απο κεί και πέρα: και πές οτι υπήρχε τέτοια εξάρτηση· δέ δικαιούμαστε δηλαδή να κάνουμε άλγεβρα προσποιούμενοι οτι έχουμε τριώνυμο ενώ στην πραγματικότητα έχουμε μεγαλύτερο βαθμό; Ε εδώ, να ξαναλινκάρω στο πόστ του Μαυρογιάννη: «συνάρτηση»; «σταθερά»; «παράμετρο»; δέν ξέρω τί έχεις και πώς θα το πείς, αλλα άν πάς να κάνεις συμπλήρωση τετραγώνου ενώ ο συντελεστής του «δευτεροβάθμιου» όρου μπορεί να μηδενίζεται, ή η «διακρίνουσα» είναι αρνητική, ε τότε έχεις ήδη λειψό επιχείρημα. Μ' άλλα λόγια, όσο δέν παραβιάζεις τους νόμους του $\mathbb{R}$ (πλήρες διαταγμένο σώμα) ή και της βασικής κατηγορηματικής λογικής, μπορείς να παίζεις με φόρμουλες όσο θέλεις, χωρίς κανέναν ενδοιασμό, αλίμονο.

Αρχιμήδης 6 · #29

Νομίζω πως όλα όσα είπατε είναι κατανοητά...

#30

Atemlos έγραψε:....
achilleas έγραψε:....
Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

...
Είσαι πολύ μικρή ποσότητα για να την λες στο Δάσκαλο. Έλεος πια...

Μικρή ή όχι, σε καμιά περίπτωση δε συνέβαλα στο ελάχιστο στο να χάσουν μαθητές μονάδες για μια καθόλα σωστή λύση.

Τι να σκέφτονται άραγε αυτοί οι μαθητές διαβάζοντας τις παραπάνω παραπομπές;

Κανένας δεν είναι τόση μεγάλη ποσότητα, ώστε να επιμένει στη λανθασμένη άποψή του και να την ανακυκλώνει σε κάθε ευκαιρία με αφορμή τις πανελλαδικές.

Κανένας δε μπορεί με τέτοιο τρόπο να επηρρεάσει το μέλλον έστω κι ενός μαθητή που έχει γράψει μια ολόσωστη λύση.

Αυτή είναι η ουσία της αντίδρασής μου, κι όχι να πείσω όσους θέλουν να πιστεύουν τυφλά σε μια άποψη από τυφλό σεβασμό και μόνο.

Επιμένω πως το θέμα από μαθηματικής απόψεως δεν έπρεπε να υφίσταται καν, και δεν θα το συζητούσαμε αν δεν αφορούσε τις πανελλαδικές, αυτές που έχουν κάνει σπουδαίους πολλούς επειδή ασχολούνται μόνο με αυτές, σαν να μην υπάρχουν άλλα μαθηματικά.

Όποιος έχει εξετάσει το θέμα με ανοικτό μυαλό, δε χρειάζεται τόσα επιχειρήματα για να πεισθεί.

Για να κλείσω το θέμα, επισυνάπτω και τη γνωστή αναφορά από παλιότερη παραπομπή μου σε βιβλίο του Arnold (μια ποσότητα μεγαλύτερη κι από το .... - Θου κύριε....)

Μετά από τα τελευταία παραδείγματα και τις παραπάνω παραπομπές, ελπίζω πως κι ο προ-τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας

gian7 · #31

Αν στην κλασική απόδειξη του τύπου της διακρίνουσας, αντικαταστήσουμε τα $\alpha,\beta,\gamma$ με $f(x),g(x),h(x)\neq 0$ αντίστοιχα, υπάρχει κάποιο λάθος στην πορεία των πράξεων, γιατί δεν το βλέπω ;

Υ.Γ:Αγάπησα και αγαπώ τα μαθηματικά γιατί ο καθένας κρίνεται απ' την αλήθεια αυτών που γράφει, κάθε φορά που γράφει. Άλλαξε κατι;

#32

matha έγραψε:
Atemlos έγραψε:
achilleas έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.
Έχω μπερδευτεί!

Άλλα έγραφε στο βιβλίο του, άλλα το 2010;

Δεν κάνει στο βιβλίο του ακριβώς ότι υποστήριζε ως λάθος στο παρακάτω μήνυμα;

Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Είσαι πολύ μικρή ποσότητα για να την λες στο δάσκαλο. Έλεος πια...

Παρακαλώ πολύ να λείπουν τα ad hominem. To αν είναι Ο Αχιλλέας μικρή ποσότητα το ξέρουμε πολύ καλά όσοι τον διαβάζουμε χρόνια τώρα. Αν έχετε μαθηματικά επιχειρήματα μπορείτε να τα παραθέσετε. Αλλιώς μπορείτε να σωπασετε.

Το αντίθετο του ad hominem ποιο είναι; Όταν ας πούμε υπερασπιζόμαστε κάποιον, σε σχέση με κάτι καταφανώς εσφαλμένο που πεισματικά και ολέθρια υποστηρίζει, απλώς και μόνον επειδή ... είναι αυτός ο κάποιος;;;

Γιώργος Μπαλόγλου

ealexiou · #33

gbaloglou έγραψε:
matha έγραψε:
Atemlos έγραψε:
achilleas έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Οι λύσεις που δόθηκαν παραπάνω είναι πληρέστατες και μαθηματικά ορθές.

Συμφωνεί και ο δάσκαλος για όλους μας Αντώνης Κυριακόπουλος

https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... edit?pli=1

σελίδα 77 του βιβλίου.
Έχω μπερδευτεί!

Άλλα έγραφε στο βιβλίο του, άλλα το 2010;

Δεν κάνει στο βιβλίο του ακριβώς ότι υποστήριζε ως λάθος στο παρακάτω μήνυμα;

Πάντως, μετά από την παραπομπή αυτή, κι ο τελευταίος δύσπιστος για την ορθότητα της μεθόδου, θα πρέπει να πεισθεί.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Είσαι πολύ μικρή ποσότητα για να την λες στο δάσκαλο. Έλεος πια...

Παρακαλώ πολύ να λείπουν τα ad hominem. To αν είναι Ο Αχιλλέας μικρή ποσότητα το ξέρουμε πολύ καλά όσοι τον διαβάζουμε χρόνια τώρα. Αν έχετε μαθηματικά επιχειρήματα μπορείτε να τα παραθέσετε. Αλλιώς μπορείτε να σωπασετε.
Το αντίθετο του ad hominem ποιο είναι; Όταν ας πούμε υπερασπιζόμαστε κάποιον, σε σχέση με κάτι καταφανώς εσφαλμένο που πεισματικά και ολέθρια υποστηρίζει, απλώς και μόνον επειδή ... είναι αυτός ο κάποιος;;;

Γιώργος Μπαλόγλου

argumentum ad verecundiam ή ipse dixit
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF ... E%AF%CE%B1
Γενικά ο κάποιος μπορεί να είναι και ένας τρίτος αυθεντία σε κάτι, άρα ότι έχει πει είναι σωστό !?

Γιώργος Απόκης · #34

gbaloglou έγραψε: Το αντίθετο του ad hominem ποιο είναι; Όταν ας πούμε υπερασπιζόμαστε κάποιον, σε σχέση με κάτι καταφανώς εσφαλμένο που πεισματικά και ολέθρια υποστηρίζει, απλώς και μόνον επειδή ... είναι αυτός ο κάποιος;;;
Γιώργος Μπαλόγλου

Εδώ Γιώργο

S.E.Louridas · #35

gbaloglou έγραψε: ...Το αντίθετο του ad hominem ποιο είναι; Όταν ας πούμε υπερασπιζόμαστε κάποιον, σε σχέση με κάτι καταφανώς εσφαλμένο που πεισματικά και ολέθρια υποστηρίζει, απλώς και μόνον επειδή ... είναι αυτός ο κάποιος;;;
Γιώργος Μπαλόγλου

Φίλε Γιώργο συμφωνώ απόλυτα με τον προβληματισμό σου ειδικά στα πλαίσια ενός Μαθηματικού περιβάλλοντος που απαιτεί επιστημονική και ακριβή τεκμηρίωση.
Προσωπικά και γενικά έχω να πω ότι υπάρχουν δύο ειδών αξίες του χώρου μας, που όπως αναφέρω στην υπογραφή μου πρέπει να αντανακλώνται και να μην είναι αποτέλεσμα υποκειμενικών ή «επιβαλλόμενων» εκτιμήσεων: Η 1η είναι η κατηγορία των επιστημόνων με ανακοινώσεις, επιλύσεις εικασιών, δημοσιεύεις σε έγκριτα περιοδικά, συγγραφές που να δίνουν και το στίγμα του συγγραφέα και αυτό φαίνεται τουλάχιστον από το αν αυτές οι συγγραφές, αποτελούν στοιχεία βιβλιογραφίας έγκριτων βιβλίων, η 2η είναι αυτό που λέμε καλός δάσκαλος. Η πρώτη κατηγορία οδηγείται από την αντικειμενικότητα και η δεύτερη από την υποκειμενικότητα που την εκφράζουν οι διδασκόμενοι και μόνο. Τώρα η αποδοχή μίας επιστημονικής άποψης, έχει εγκυρότητα μόνο όταν τεκμηριώνετε με επιστημονική διαδικασία τεκμηρίωσης και μόνο τότε. Κατά τα άλλα θεωρώ το συγκεκριμένο θέμα ότι παρά συζητήθηκε χωρίς να το επιβάλει κάποια επιστημονική αναγκαιότητα, αφού αφορά κύρια μέθοδο μαθηματικής δουλειάς (μέσω διακρύνουσας κ.τ.λ., όπως διεξοδικότατα είδαμε) για επίλυση ασκήσεων που είναι σωστή, αφού εξασφαλίζονται τα πρέπει, τα ικανά και δεν θα πρέπει να αφαιρεί ούτε μόριο από τον Μαθητή - Λύτη που την χρησιμοποιεί κατά τον τρόπο αυτό.
Προσωπικά θεωρώ ότι η συζήτηση πάνω στο συγκεκριμένο θέμα για τους τρόπους επίλυσης του Δ1, έχει κλείσει.

Atemlos · #36

Θα ήθελα να αποσύρω το σχόλιο που έκανα για τον Αχιλλέα κυρίως διότι δεν είναι ΤΙΜΙΟ και ΑΝΤΡΙΚΙΟ να μειώνεις κάποιον ανώνυμα.Δεν πιστεύω σε ψευδομαγκιες του διαδικτύου. Επιπλέον θεωρώ οτι ήταν ένα σχόλιο ως προϊόν εκνευρισμού και μια λανθασμένης και βιαστικής ερμηνείας εκ μέρους μου.Σκοπός μου δεν ήταν να μειώσω κανένα εδώ μέσα και ούτε να φέρω σε δύσκολη θέση άλλους.

Φιλικά Κωνσταντίνος

Atemlos · #37

Θα ήθελα να μεταφέρω την άποψη του συνάδελφου Γ.Τασσοπουλου όπως αυτή δημοσιεύτηκε στο fb και με την οποία και συμφωνώ.

Εικόνα

S.E.Louridas · #38

Atemlos έγραψε:Θα ήθελα να αποσύρω το σχόλιο που έκανα για τον Αχιλλέα κυρίως διότι δεν είναι ΤΙΜΙΟ και ΑΝΤΡΙΚΙΟ να μειώνεις κάποιον ανώνυμα.Δεν πιστεύω σε ψευδομαγκιες του διαδικτύου. Επιπλέον θεωρώ οτι ήταν ένα σχόλιο ως προϊόν εκνευρισμού και μια λανθασμένης και βιαστικής ερμηνείας εκ μέρους μου.Σκοπός μου δεν ήταν να μειώσω κανένα εδώ μέσα και ούτε να φέρω σε δύσκολη θέση άλλους.

Φιλικά Κωνσταντίνος

Επιτρέψτε μου .... Αυτό θα πει δύναμη, αυτό θα πει ΜΆΘΗΜΑ ζωής με ΘΕΤΙΚΕΣ προεκτάσεις παντού. Θα ήθελα να δεχθείς τα άπειρα ειλικρινή μου Μπράβο Κωνσταντίνε για την τοποθέτηση σου αυτή.

S.E.Louridas · #39

Θα ήθελα λιτά να πω ότι από τους συναδέλφους εδώ ότι θεωρήθηκε ως εφαρμόσιμη η μέθοδος - διαδικασία προσδιορισμού του τύπου των ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης που οδηγεί στους τύπους αυτούς (συμπλήρωση τετραγώνου κ.τ.λ., π.χ. αυτή η διαδικασία-μέθοδος "δανεισμένη" κατά γράμμα από την αντίστοιχη του τριωνύμου, $f\left( x \right) \cdot {g^2}\left( x \right) + h\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + k\left( x \right) = f\left( x \right)\left[ {{g^2}\left( x \right) + \frac{{h\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}g\left( x \right) + \frac{{k\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right] =$ $f\left( x \right)\left[ {{{\left( {g\left( x \right) + \frac{{h\left( x \right)}}{{2f\left( x \right)}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{h\left( x \right)}}{{2f\left( x \right)}}} \right)}^2} + \frac{{k\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right] = ...$ , όταν αναφερόμαστε στη συνάρτηση $f:{\Cal R} \to {\Cal R},\;\;{\mu \varepsilon }}\;f\left( x \right) \ne 0,\;\forall x \in {\Cal R}\,$ και τις συναρτήσεις $h,\,g,\;k\,:{\Cal R} \to {\Cal R},$ δεν ισχύει ; Γιατί αν ισχύει, που ισχύει, ισχύουν και τα καταληκτικά της αποτελέσματα ), για την εύρεση του τύπου της συνάρτησης και σίγουρα δεν ταυτίστηκε η έννοια του τριωνύμου 2ου βαθμού ... με εκείνη του επίμαχου συναρτησιακού τύπου (θεωρώντας ότι κατάλαβα καλά, όπως ήδη έγραψα πριν την παρέμβαση του Γ. Τασσόπουλου και σε άλλο σημείο του διαδικτύου πέραν του mathematica μας). Ο κάθε λύτης έχει το δικαίωμα επιλογής μεθόδων επίλυσης αρκεί να μην αλλοιώνεται το περιβάλλων των ικανών συνθηκών για την εφαρμογή τους. Ας μη ξεχνάμε ότι πριν την λύση μίας άσκησης προϋπάρχει η Ανάλυση που κάνουμε για να επιλέξουμε την μέθοδο ώστε να οδηγηθούμε στην διαδικασία της επίλυσης της άσκησης ή του προβλήματος αιτιολογώντας τα βήματα μας, τουλάχιστον όταν η λύση είναι δική μας ή την έχουμε κατανοήσει επαρκώς για να τη μετουσιώσουμε σε διδακτική πρόταση που να λειτουργεί.

Υ.Γ.1. Εδώ άλλοι επιλύουν θέματα με παράξενες αντικαταστάσεις (τέτοιες περιπτώσεις "άλλων" μπορεί να εντοπιστούν ακόμα και στο διαδίκτυο) που αυτοί που τις καταθέτουν δεν μπορούν να τις αιτιολογήσουν με τίποτα για το πώς τους ήρθαν (ίσως γιατί τις πήραν έτοιμες) και όλα καλά όλα ωραία για τη θεία έμπνευση και την ζηλευτή παρουσίαση και ήμαστε έτοιμοι να "τιμωρήσουμε" βαθμολογικά ένα διαβασμένο μαθητή που του έκοψε για να επιλύσει με ένα διαφορετικό τρόπο από τον κυκλοφορούντα; Προφανώς και θα ήταν τουλάχιστον ατόπημα ή κάτι άλλο παράξενο να συμβαίνει μέσα μας να αφήνουμε ευγενείς αιχμές ... υπονοώντας ότι κάθε μαθητής μετά την Α' Λυκείου πολλώ δε μάλλον φοιτητής Μαθηματικών ακόμα δε περισσότερο και Μαθηματικός κάθε βαθμίδας δεν γνωρίζει τι είναι το τριώνυμο του 2ου βαθμού ...ας μην τρελαθούμε κιόλας ...

Υ.Γ.2. Θα ήθελα να σταθώ στην ευγένεια του Γιώργου Τασσόπουλου κατά τη τοποθέτηση του ... κάτι που κατά την γνώμη μου λέει πολλά ... προς πάσα κατεύθυνση ...

Υ.Γ.3. Βολτέρος: Μπορεί να διαφωνώ με αυτό που λες αλλά αν χρειαστεί θα δώσω και τη ζωή μου για να μπορείς να το λες.

#40

Μιάς και υπέπεσε στην αντιληψή μου, βάζω και μια ακόμη βιβλιογραφική αναφορά.
Το βιβλίο είναι το "Advanced Trigonometry" των C.V.Durell-A.Robson ( το είχα μάθει από τον Αναστάση και τον Μιχάλη) εκδόσεις Dover.
Κάποιος από τους δύο το είχε χαρακτηρίσει "βίβλο" αν θυμάμαι καλά(τώρα τελευταία πάντως αυτό δε συμβαίνει..)
Στη σελίδα 110 συμβαίνουν τα παρακάτω...( εδώ απλά κάνει συμπλήρωση τετραγώνου αλλά τελικά ποιά η διαφορά;)
Υ,Γ: Θα μπορούσαν άνετα οι συγγραφείς να καυχηθούν ότι..έπιασαν το θέμα των πανελληνίων εξετάσεων.

Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Μέλη σε σύνδεση