Όρια Γ' Λυκείου

vassilisg98 · #1

Να βρεθεί το όριο $\lim_{x\to\ 1}\frac{f(x)}{g(x)}$ όταν: $\lim_{x\to\ 1}\frac{f(x)}{\sqrt{x}-1}=3$ , $\lim_{x\to\ 1}\frac{g(x)}{\sqrt{x+3}-2}=6$ .
Για να μπαίνουμε στο πνεύμα της θερινής προετοιμασίας

...

gavrilos · #2

vassilisg98 · #3

Προχωράμε... Αν $\lim_{x\to\ 2}\frac{f(x)-x}{x-2}=3$ να βρεθεί το $\lim_{x\to\ 2}\frac{\sqrt{f(x)+2}-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$ .

gavrilos · #4

Ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-x}{x-2}=3\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2-(x-2)}{x-2}=3\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2}{x-2}=4}$ .

Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to 2} f(x)-2=\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2}{x-2}\cdot \lim_{x\to 2} x-2=4\cdot 0=0\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} f(x)=2\Leftrightarrow \lim_{x\to 2} \sqrt{f(x)+2}=2}$ .

Τώρα $\displaystyle{\lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{f(x)+2}-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\lim_{x\to 2} \frac{(\sqrt{f(x)+2}-2)(\sqrt{x}+2)(\sqrt{f(x)+2}+2)}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+2)(\sqrt{f(x)+2}+2)}=\lim_{x\to 2} \frac{(f(x)-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-2)(\sqrt{f(x)+2}+2)}}$ .

Αυτό ισούται με $\displaystyle{\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-2}{x-2}\cdot \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{f(x)+2}+2}=4\cdot \frac{2\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}}$ .

Edit:Έκανα τροποποίηση μετά από υπόδειξη του Θανάση (socrates).

Όρια Γ' Λυκείου

Όρια Γ' Λυκείου

Re: Όρια Γ' Λυκείου

Re: Όρια Γ' Λυκείου

Re: Όρια Γ' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση