Επιστροφή στα Seventies

Αρχιμήδης 6 · #41

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae/ae0104.pdf

#42

Για όφελος των μαθητών μας, προκειμένου να μην μένουν με εσφαλμένες εντυπώσεις, θα ήθελα να σχολιάσω άλλη μία φορά τα περί χρήσης Διακρίνουσας, ότι δηλαδή είναι σωστή.

Με την ευκαιρία, και με αφορμή το σχόλιο,

Atemlos έγραψε:Θα ήθελα να μεταφέρω την άποψη του συνάδελφου Γ.Τασσοπουλου όπως αυτή δημοσιεύτηκε στο fb και με την οποία και συμφωνώ.

θα ήθελα να επισημάνω ένα προβληματικό σημείο στον συλλογισμό όσων έχουν ένσταση στην χρήση Διακρίνουσας.

Η παραπάνω παράθεση του Atemlos επικαλείται την γνώμη του φίλου Γιώργου Τασσόπουλου στο διαδίκτυο. Συγκεκριμένα (αντιγράφω από το παραπάνω ποστ του Atemlos):

Από τον Γιώργο Σ. Τασσόπουλο

Εξάλλου, όταν για την εύρεση του συνόλου τιμών της συνάρτησης $f(x) = \frac {5x}{x^2+x+1}$ ζητάμε (σύμφωνα με τον ορισμό) τις τιμές του $y\in \mathbb R$ για τις οποίες η εξίσωση $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ έχει ρίζα $x\in A_f=\mathbb R$ , δε σημαίνει ότι το είναι συνάρτηση του (όπως κακώς εννοήθηκε), αλλά παράμετρος, όπως ακριβώς όταν ζητάμε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb R$ ώστε η εξίσωση $\lambda x^2 +(\lambda -1)x + (\lambda -1)=0$ να έχει ρίζα $x\in \mathbb R$

Με λίγα λόγια, μας λέει ότι επιτρέπεται η χρήση διακρίνουσας επειδή το

είναι παράμετρος και όχι συνάρτηση. Αλλιώς δεν θα επιτρεπόταν.

Το πρόβλημα είναι ότι το

είναι συνάρτηση και δεν είναι παράμετρος.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Παράμετρος είναι μία ποσότητα δοσμένη από την αρχή για την οποία ζητάμε κάποιες ιδιότητες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

α) το παραπάνω, όπου θέλουμε να βρούμε $\lambda \in \mathbb R$ ώστε η εξίσωση $\lambda x^2 +(\lambda -1)x + (\lambda -1)=0$ να έχει ρίζα $x\in \mathbb R$

β) Το παράδειγμα του ίδιου του Atemlos εδώ όπου γράφει

Atemlos έγραψε:Εαν το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = 16{x^4} - 24{x^3} + 41{x^2} - mx + 16}$ μπορεί να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο να βρεθεί η τιμή της σταθεράς $\displaystyle{m}$

Στο τελευταίο θα παρατηρήσετε ότι ότι το

το ονομάζει (ορθά) σταθερά. Μάλιστα ο τίτλος του ποστ είναι, ορθά, Παράμετρος.

Ας έλθουμε τώρα στην συνάρτηση. Είναι άραγε το

στην ισότητα (βλέπε παραπάνω, στο παράδειγμα του Γιώργου) $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ παράμετρος;

Βλέπω ότι
- για x=1

έχω

- για

έχω

- για

έχω

και πάει λέγοντας. Δηλαδή, αλλάζοντας το

παίρνουμε ακριβώς μία τιμή του

. ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ το

ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ

. 'Οχι παράμετρος!

Για να συνοψίσω, η χρήση της διακρίνουσας επιτρέπεται όχι γιατί δουλεύουμε με παράμετρο αλλά για άλλους λόγους (το έχουν τεκμηριώσει πολλοί, αλλά θα γράψω χωριστό ποστ που θα το ξανα-ξεδιαλύνω). Οπότε το να βαφτίσουμε την συνάρτηση, παράμετρο, και μετά να ισχυριστούμε ότι με παράμετρο επιτρέπεται η χρήση διακρίνουσας (αλλιώς απαγορεύεται) έχουμε σαθρό επιχείρημα.

Θα κλείσω με μία αναφορά σε βιβλίο του Α. Κυριακόπουλου, σελίς

όπου ΚΑΝΕΙ χρήση της (κατά μερικούς απαγορευμένης) διακρίνουσας. Και το ενδιαφέρον είναι ότι ο ίδιος μιλά για την ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ (βλέπε πρώτη γραμμή της εκφώνησης στο επισυναπτόμενο), όχι για παράμετρο. Από εκεί αντλεί ο Γιώργος το παράδειγμά του, με μόνη διαφορά ότι τώρα το ονομάζει (εσφαλμένα) παράμετρο για να αιτιολογήσει την χρήση διακρίνουσας.

Ελπίζω με αυτά να ξεδιάλυνα ένα θέμα περί διακρίνουσας. Η απόδειξη της επιτρεπτής αυτής Μαθηματικής διαδικασίας είναι απλή (την έχουν γράψει πολλοί και θα την επαναλάβω στο ποστ που υποσχέθηκα). Αυτήν χρησιμοποιεί ο Α. Κυριακόπουλος το 1993

(επισυναπτόμενο), την χρησιμοποίησε σωστά τότε, και από τότε τίποτα δεν άλλαξε.

Το να δικαιολογήσουμε ότι η χρήση της διακρίνουσας ήταν σωστή τότε επειδή πρόκειται για παράμετρο και όχι συνάρτηση, δεν στέκει. Άλλωστε δεν βασίστηκε σε χρήση παραμέτρου, τότε, ο Α. Κυριακόπουλος, και ο λόγος που δεν το έκανε είναι γιατί το επιχείρημα είναι έτσι και αλλιώς σωστό.

Κλείνω με το σχόλιο ότι η παραπάνω άσκηση ήταν στάνταρ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ (*) ΚΑΙ ΟΛΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ ΕΠΟΧΗΣ και διαδασκόταν ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ. Όλοι χρησιμοποιούσαν ακριβώς την ίδια μεθοδολογία, της διακρίνουσας, όλοι μιλούσαν για συνάρτηση (όχι παράμετρο) και κανένα πρόβλημα δεν υπήρχε.

Τώρα, τι άλλαξε στον δρόμο, δεν το ξέρω.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Βλέπε για παράδειγμα το τότε Σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου, Κατσαργύρης, Μέντης κλπ, Ανάλυση, σελίς 17.

Σίλης · #43

Μιχάλη Λάμπρου, να μου επιτρέψεις. Στα συμφραζόμενα επάνω, το

σαφώς και δεν είναι συνάρτηση· είναι η τιμή της συνάρτησης

στο (τυχόν) όρισμα

. Και φυσικά και θα αλλάζει όταν αλλάζουμε το όρισμα, αλίμονο! (αυτό που δέν αλλάζει όταν αλλάζουμε το όρισμα, είναι, αντίθετα, η ίδια η συνάρτηση

: πάντα παραμένει η ίδια αντιστοίχιση)

Η διάκριση ανάμεσα σε «τιμή συνάρτησης» και «συνάρτηση» είναι τόσο θεμελιακή, που στην πράξη αφήνουμε τα νερά να θολώνουν (ειδικά σε συμφραζόμενα σχολικών μαθηματικών, αλλα και πανεπιστημιακής ανάλυσης, απ' την εμπειρία μου, αλλα και γενικότερα, στην καθομιλουμένη: «άνοιγμα» μπορεί να σημαίνει καί την πράξη του «ανοίγω» αλλα καί το αποτέλεσμα της πράξης «ανοίγω»). Αλλ' αυτό δέ σημαίνει οτι παύει να υπάρχει διάκριση, και στη συζήτηση αυτή --είναι άλλωστε και καλοκαίρι-- φαίνεται πλέον αναγκαίο να διυλίζουμε κουνούπια: όπως μαθαίνουμε απ' το δημοτικό, άλλο «πρόσθεση» άλλο «άθροισμα», άλλο «πολλαπλασιασμός» άλλο «γινόμενο», άλλο «αφαίρεση» άλλο «διαφορά», άλλο «διαίρεση» άλλο «πηλίκο».

Με το συμπάθιο λοιπόν, αλλα το

(παράμετρος-ξεπαράμετρος) είναι απλά μία αυθαίρετη μεταβλητή (τύπου $\mathbb{R}$ , προσοχή!) για την τιμή της συνάρτησης

(τύπου $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ), και την οποία φιξάρουμε στην αρχή-αρχή της απόδειξης κι' αρχίζουμε να ψάχνουμε γι' αντίστοιχο όρισμα

. Συνάρτηση είναι κανόνας αντιστοίχισης· το

, εδώ, αφορά μόνο το δεξιό κομμάτι της αντιστοίχισης.

Στην ουσία τώρα του πράγματος, οτι δηλαδή ο λόγος περι «διακρίνουσας» (εντός η εκτός εισαγωγικών) στέκει, αρκεί φυσικά να σεβόμαστε τους νόμους του $\mathbb{R}$ / $\mathbb{C}$ και της κατηγορηματικής λογικής, μίλησα ήδη παραπάνω, και πάρα πολλοί ήδη πρίν απο μένα (και ο ίδιος ο Λάμπρου βεβαίως). Δέν διαφωνώ φυσικά σ' αυτό.

Έντιτ: Και τώρα που διάβαζα το πόστ του Άτεμλος (πάρε καμιά ανάσα και σύ βρε παιδί μου!), μάλλον ούτε ο Τασσόπουλος διαφωνεί --τουλάχιστον άν αγνοήσει κανείς (εγώ) τα μή μαθηματικά του σχόλια που, παρεμπιπτόντως, θολώνουνε το μήνυμά του παρά βοηθάνε, ειδικά αν δεν ξέρεις (δέν ξέρω) τα παρασκήνια.

#44

Σίλης έγραψε:Στα συμφραζόμενα επάνω, το σαφώς και δεν είναι συνάρτηση· είναι η τιμή της συνάρτησης στο (τυχόν) όρισμα .

Δεν διαφωνώ αλλά και δεν αναιρούν αυτά που γράφω γιατί όταν στα παραπάνω εμφανίζεται το

εννοούμε

(συνάρτηση). Γι΄αυτό ακριβώς στο θέμα των Πανελληνίων 1983 από το βιβλίο του Α. Κυριακόπουλου αναπαράγει την σωστή φρασεολογία (αντιγράφω) "θεωρούμε την συνάρτηση της μεταβλητής χ με τύπο $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ .

Πάντως σίγουρα το

δεν είναι παράμετρος (αφού το

μεταβάλλεται).

Όπως και να είναι, το ερώτημα είναι αν επιτρέπεται η χρήση διακρίνουσας στις περιπτώσεις ισοτήτων της μορφής $a(x)x^2+b(x)x+c(x)=0, \, ~ a(x) \ne 0 , \, ~ x\in \mathbb R$ .

Η απάντηση είναι ΝΑΙ, όπως και αν ονομάσεις το

παραπάνω. Και η αιτία είναι ότι κάνουμε πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, και η τύπος της διακρίνουσας πηγάζει απευθείας από εκεί.

Κουράστηκα να επαναλαμβάνω κοινοτυπίες.

Το μόνο που ήθελα να πω, και θα το βροντοφωνάξω γιατί μας διαβάζουν μαθητές είναι:

Μαθητές, μη φοβάστε να χρησιμοποιείτε διακρίνουσα, όσο και αν σας λένε κάποιοι ότι δεν είναι σωστό (εκτός εάν έχουμε παράμετρο). Είναι και παραείναι σωστό, και η απόδειξη περιλαμβάνεται σε αυτήν που έχει το σχολικό βιβλίο για την περίπτωση της , απλά παίρνοντας τους στην θέση των με τον ίδιο τρόπο που μπορούμε να πάρουμε τα στην θέση των αν είχαμε να λύσουμε την

Μ.

Σίλης · #45

Να μιλήσω σιγανά, να μήν εμποδίσω το μήνυμα προς τους μαθητάς. Ούτε εγώ θέλω να επαναλάβω κάτι ώς προς την Διακρινειάδα, γι' αυτό και απαντάω, γιατι για άλλα πράγματα μιλάω σ' αυτό και το προηγούμενο πόστ.

Πάντως σίγουρα το δεν είναι παράμετρος (αφού το μεταβάλλεται).

Η έννοια «παράμετρος» αφήνεται συχνά να αιωρείται και να κατανοηθεί απ' τα συμφραζόμενα, αλλα οπωσδήποτε είναι πάντα μιά μεταβλητή (δέν είναι ασφαλώς σταθερά). Απλά, είναι μιά μεταβλητή που, για τους σκοπούς της εκάστοτε εξέτασης και απο συγκεκριμένη οπτική γωνία (όποια κι' αν είν' αυτή κάθε φορά), θέλουμε να θεωρήσουμε φιξαρισμένη, να μήν την πειράξουμε. Έτσι, η παράσταση $\lambda x$ , μπορεί να εννοηθεί ως:

μία απ' τις πολλές συναρτήσεις $f_\lambda : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $\lambda x$ , μία για κάθε φιξαρισμένο $\lambda$ (το $\lambda$ θεωρείται «παράμετρος»),
μία απ' τις πολλές συναρτήσεις $f_x : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $\lambda x$ , μία για κάθε φιξαρισμένο (το θεωρείται «παράμετρος»!),
η συνάρτηση $f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , με τύπο πάλι $\lambda x$ , οπου καί οι δύο μεταβλητές τρέχουν ελεύθερα.

Η χρήση της λέξης απ' τον Τασσόπουλο δέν είναι μεμπτή, αρκεί να καταλάβει κανείς ακριβώς με ποιά έννοια «δεν πειράζουμε το

» μέσα στην απόδειξη επάνω. Και οπωσδήποτε, η εξάρτηση του

απο το

μπορεί να γίνει αντιληπτή μόνο σε ανώτερο επίπεδο, αφού οφείλεται στην

, πράγμα που οι ποσοδείκτες στην απόδειξη αγνοούν παντελώς. Απ' τη δική τους σκοπιά, η όποια εξάρτηση μόνο σύμπτωση μπορεί να είναι.

(Έντιτ: Αναλογιστείτε σχετικά το απίστευτο εννοιολογικό άλμα που επιχειρεί το αξίωμα της επιλογής: «για κάθε

υπάρχει ένα

ωστε $\phi(x,y)$ ;... ε δέ μπορεί, κάποια συνάρτηση θα ευθύνεται γι' αυτό το πράμα: θα πρέπει να υπάρχει κανόνας

, ωστε για κάθε

να είναι $\phi(x, f(x))$ ». Είναι να σε πιάνει δέος, φοβερό αξίωμα. Τέλος πάντων.)

Λεπτά πράγματα, δέ λέω, αλλα δέ φταίω κιόλας... :-) αυτοί ειν' οι κανόνες του παιχνιδιού. Οι οποίοι τόσο θολώνουν, όσο απρόσεχτες οι διατυπώσεις και οι συμβολισμοί μας --όπως του Κυριακόπουλου στο συνημμένο.

S.E.Louridas · #46

Καλημέρα

Απλά θα ήθελα να πω τα εξής:

1) Ο αριθμός

είναι ρίζα π.χ. της εξίσωσης $\left( {{3^2} + 1} \right){x^2} + 3x - 99 = 0,$ αφού έχουμε $\left( {{3^2} + 1} \right){3^2} + 3 \cdot 3 - 99 = 0.$

2) Τώρα για την εξίσωση $a\left( x \right) \cdot {x^2} + b\left( x \right) \cdot x + c\left( x \right) = 0,\;\; \mu \varepsilon }}\;a\left( x \right) \ne 0,$ μπορούμε να πούμε ότι αν ${x_0}$ είναι ρίζα της, τότε θα ισχύει $a\left( {{x_0}} \right) \cdot x_0^2 + b\left( {{x_0}} \right) \cdot {x_0} + c\left( {{x_0}} \right) = 0,\;$ που σημαίνει ότι η ${x_0}\,$ θα είναι επί της ουσίας ρίζα της εξίσωσης $a\left( {{x_0}} \right) \cdot {t^2} + b\left( {{x_0}} \right) \cdot t + c\left( {{x_0}} \right) = 0,\;$
με ${b^2}\left( x_0 \right) \geqslant 4a\left( x_0 \right) \cdot c\left( x_0 \right),\;$ $\,x_0 \in {\Cal R},$ ...

3) Προσωπικά λοιπόν επαναλαμβάνω, ότι αν ο μαθητής χρησιμοποιούσε την μέθοδο επίλυσης με βάση τη διακρύνουσα και τους τύπους των ριζών θεωρώντας ως δευτεροβάθμια εξίσωση αν έχουν εξασφαλιστεί κ.τ.λ., για να μην επαναλαμβάνουμε τα ίδια κουράζοντας τους επισκέπτες εδώ, θα του έδινα (για την ακρίβεια θα κατακτούσε) πλήρη βαθμολογία.

4) Είναι καθαρό ότι π.χ. η $y = {x^2} - x + 1,\;\,x \in {\Cal R}\;\;\left( 1 \right)\,,$ είναι επί της ουσίας «συντομογραφία» της $y = f\left( x \right),\;\mu \varepsilon \;x \in {\Cal R}\;\kappa \alpha \iota \;f\left( x \right) = {x^2} - x + 1.$ Για την εύρεση τώρα του πεδίου τιμών της μεθοδολογικά βλέπουμε την $\left( 1 \right)$ ως εξίσωση ως προς $x \in {\Cal R}$ με το

να το θεωρούμε ως παράμετρο ( εργαζόμαστε δηλαδή σαν να ήταν παράμετρος) και προσδιορίζουμε το σύνολο που «κινείται» το

...

edit : Διόρθωση ορθογραφικού.

ghan · #47

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για όφελος των μαθητών μας, προκειμένου να μην μένουν με εσφαλμένες εντυπώσεις, θα ήθελα να σχολιάσω άλλη μία φορά τα περί χρήσης Διακρίνουσας, ότι δηλαδή είναι σωστή.

Με την ευκαιρία, και με αφορμή το σχόλιο,

Atemlos έγραψε:Θα ήθελα να μεταφέρω την άποψη του συνάδελφου Γ.Τασσοπουλου όπως αυτή δημοσιεύτηκε στο fb και με την οποία και συμφωνώ.
θα ήθελα να επισημάνω ένα προβληματικό σημείο στον συλλογισμό όσων έχουν ένσταση στην χρήση Διακρίνουσας.

Η παραπάνω παράθεση του Atemlos επικαλείται την γνώμη του φίλου Γιώργου Τασσόπουλου στο διαδίκτυο. Συγκεκριμένα (αντιγράφω από το παραπάνω ποστ του Atemlos):

Από τον Γιώργο Σ. Τασσόπουλο

Εξάλλου, όταν για την εύρεση του συνόλου τιμών της συνάρτησης $f(x) = \frac {5x}{x^2+x+1}$ ζητάμε (σύμφωνα με τον ορισμό) τις τιμές του $y\in \mathbb R$ για τις οποίες η εξίσωση $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ έχει ρίζα $x\in A_f=\mathbb R$ , δε σημαίνει ότι το είναι συνάρτηση του (όπως κακώς εννοήθηκε), αλλά παράμετρος, όπως ακριβώς όταν ζητάμε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb R$ ώστε η εξίσωση $\lambda x^2 +(\lambda -1)x + (\lambda -1)=0$ να έχει ρίζα $x\in \mathbb R$

Με λίγα λόγια, μας λέει ότι επιτρέπεται η χρήση διακρίνουσας επειδή το είναι παράμετρος και όχι συνάρτηση. Αλλιώς δεν θα επιτρεπόταν.

Το πρόβλημα είναι ότι το είναι συνάρτηση και δεν είναι παράμετρος.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Παράμετρος είναι μία ποσότητα δοσμένη από την αρχή για την οποία ζητάμε κάποιες ιδιότητες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

α) το παραπάνω, όπου θέλουμε να βρούμε $\lambda \in \mathbb R$ ώστε η εξίσωση $\lambda x^2 +(\lambda -1)x + (\lambda -1)=0$ να έχει ρίζα $x\in \mathbb R$

β) Το παράδειγμα του ίδιου του Atemlos εδώ όπου γράφει

Atemlos έγραψε:Εαν το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = 16{x^4} - 24{x^3} + 41{x^2} - mx + 16}$ μπορεί να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο να βρεθεί η τιμή της σταθεράς $\displaystyle{m}$
Στο τελευταίο θα παρατηρήσετε ότι ότι το το ονομάζει (ορθά) σταθερά. Μάλιστα ο τίτλος του ποστ είναι, ορθά, Παράμετρος.

Ας έλθουμε τώρα στην συνάρτηση. Είναι άραγε το στην ισότητα (βλέπε παραπάνω, στο παράδειγμα του Γιώργου) $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ παράμετρος;

Βλέπω ότι
- για έχω
- για έχω
- για έχω

και πάει λέγοντας. Δηλαδή, αλλάζοντας το παίρνουμε ακριβώς μία τιμή του . ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ το ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ . 'Οχι παράμετρος!

Για να συνοψίσω, η χρήση της διακρίνουσας επιτρέπεται όχι γιατί δουλεύουμε με παράμετρο αλλά για άλλους λόγους (το έχουν τεκμηριώσει πολλοί, αλλά θα γράψω χωριστό ποστ που θα το ξανα-ξεδιαλύνω). Οπότε το να βαφτίσουμε την συνάρτηση, παράμετρο, και μετά να ισχυριστούμε ότι με παράμετρο επιτρέπεται η χρήση διακρίνουσας (αλλιώς απαγορεύεται) έχουμε σαθρό επιχείρημα.

Θα κλείσω με μία αναφορά σε βιβλίο του Α. Κυριακόπουλου, σελίς όπου ΚΑΝΕΙ χρήση της (κατά μερικούς απαγορευμένης) διακρίνουσας. Και το ενδιαφέρον είναι ότι ο ίδιος μιλά για την ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ $y = \frac {5x}{x^2+x+1}$ (βλέπε πρώτη γραμμή της εκφώνησης στο επισυναπτόμενο), όχι για παράμετρο. Από εκεί αντλεί ο Γιώργος το παράδειγμά του, με μόνη διαφορά ότι τώρα το ονομάζει (εσφαλμένα) παράμετρο για να αιτιολογήσει την χρήση διακρίνουσας.

Ελπίζω με αυτά να ξεδιάλυνα ένα θέμα περί διακρίνουσας. Η απόδειξη της επιτρεπτής αυτής Μαθηματικής διαδικασίας είναι απλή (την έχουν γράψει πολλοί και θα την επαναλάβω στο ποστ που υποσχέθηκα). Αυτήν χρησιμοποιεί ο Α. Κυριακόπουλος το (επισυναπτόμενο), την χρησιμοποίησε σωστά τότε, και από τότε τίποτα δεν άλλαξε.

Το να δικαιολογήσουμε ότι η χρήση της διακρίνουσας ήταν σωστή τότε επειδή πρόκειται για παράμετρο και όχι συνάρτηση, δεν στέκει. Άλλωστε δεν βασίστηκε σε χρήση παραμέτρου, τότε, ο Α. Κυριακόπουλος, και ο λόγος που δεν το έκανε είναι γιατί το επιχείρημα είναι έτσι και αλλιώς σωστό.

Κλείνω με το σχόλιο ότι η παραπάνω άσκηση ήταν στάνταρ ΣΕ ΟΛΑ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ (*) ΚΑΙ ΟΛΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ ΕΠΟΧΗΣ και διαδασκόταν ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ. Όλοι χρησιμοποιούσαν ακριβώς την ίδια μεθοδολογία, της διακρίνουσας, όλοι μιλούσαν για συνάρτηση (όχι παράμετρο) και κανένα πρόβλημα δεν υπήρχε.

Τώρα, τι άλλαξε στον δρόμο, δεν το ξέρω.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Βλέπε για παράδειγμα το τότε Σχολικό βιβλίο Γ' Λυκείου, Κατσαργύρης, Μέντης κλπ, Ανάλυση, σελίς 17.

Αγαπητέ Μιχάλη,

Το ότι με τύπο $\displaystyle{y=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}}$ , ορίζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\displaystyle{A=\mathbb{R}}$ , δεν υπάρχει καμία αμφιβολία.
Για να εξετάσουμε όμως, αν η συνάρτηση αυτή παίρνει κάποια τιμή π.χ. την $\displaystyle{y=1}$ , πρέπει και αρκεί να ελέγξουμε αν η εξίσωση $\displaystyle{1=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}}$ , δηλαδή η $\displaystyle{{{x}^{2}}-4x+1=0}$ έχει ρίζα $\displaystyle{x\in A}$ .
Πράγματι αυτό συμβαίνει, αφού η τελευταία έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta =12>0}$ . Άρα $\displaystyle{y=1\in f\left( A \right)}$ , ομοίως: $\displaystyle{y=-2\in f\left( A \right)}$ , ενώ $\displaystyle{y=2\notin f\left( A \right)}$ .
Αν π.χ. είχαμε $\displaystyle{f:A\to B}$ με $\displaystyle{B=\left\{ 1,-2,2 \right\}}$ , δηλαδή η $\displaystyle{f}$ είχε σύνολο αφίξεως το $\displaystyle{B}$ και όχι το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , οπότε έχουμε ήδη βρει $\displaystyle{f\left( A \right)=\left\{ 1,-2 \right\}}$ , τότε το $\displaystyle{y\in B}$ είναι συνάρτηση ή αριθμός (;)
Γενικά λοιπόν, $\displaystyle{y=\lambda \in f\left( A \right)}$ σημαίνει ότι η εξίσωση: $\lambda =\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}$ , δηλαδή η $\displaystyle{\lambda {{x}^{2}}+\left( \lambda -5 \right)x+\lambda =0}$ έχει ρίζα $\displaystyle{x\in A}$ . Τι άλλο επομένως είναι το $\displaystyle{\lambda }$ , εκτός από παράμετρος, στο πρόβλημά μας (;) Πειράζει αν το λέμε απλώς $\displaystyle{y}$ (;)
Στο Σχολικό βιβλίο (Κατσαργύρη, Μεντή, Παντελίδη, Σουρλά) δεν βλέπω καμιά αντίφαση, αφού ρητά αναφέρεται (σελ. 17), ότι ζητάμε τις τιμές του $\displaystyle{y\in \mathbb{R}}$ (τους αριθμούς $\displaystyle{y}$ δηλαδή) για τους οποίους η εξίσωση, $\displaystyle{f(x)=y}$ έχει ρίζα $\displaystyle{x\in A=\mathbb{R}}$ (εύκολα μπορείς να διαπιστώσεις αν οι συγγραφείς συμφωνούν ή όχι με όσα γράφω).
Απ’ όσα γράφεις όμως, φαίνεται να εννοείς ότι πρέπει να βρούμε τη συνθήκη ώστε η εξίσωση: $\displaystyle{\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}\cdot {{x}^{2}}+\left( \frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}-5 \right)x+\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}=0}$ να έχει λύση και μάλιστα να την θεωρήσουμε, σώνει και καλά «τριώνυμο», τη στιγμή που ο ίδιος ο υπερασπιστής της μεθόδου κος Συγκελάκης αποδέχθηκε, ότι ακόμη και αν θεωρηθεί «τριώνυμο», η συνθήκη $\displaystyle{\Delta (x)\ge 0}$ , δεν είναι ικανή για να έχει λύση.
Τέλος πάντων ποια είναι η συνθήκη (;) Τι θα πούμε στους μαθητές (;)
Ομολογώ ότι αδυνατώ να καταλάβω τον συλλογισμό σου (!!)

Φιλικότατα πάντα,

Γιώργος Τασσόπουλος

#48

ghan έγραψε:Τι άλλο επομένως είναι το $\displaystyle{\lambda }$ , εκτός από παράμετρος, στο πρόβλημά μας (;) Πειράζει αν το λέμε απλώς $\displaystyle{y}$ (;)

Φίλε Γιώργο, χαιρετίσματα.

Αυτά που γράφεις δεν απαντούν στο ερώτημα, και μάλλον μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο (βλέπε παρακάτω).

Για παράδειγμα, ας μείνουμε στο παραπάνω.

Το ερώτημα ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ αν το

είναι παράμετρος ή συνάρτηση ή ότι άλλο θέλεις ας το ονομάσεις.

Το ερώτημα είναι ένα και απλό: Έχω δικαίωμα από την $a(x)x^2+b(x)x+c(x)=0, \, ~ a(x)\ne 0, \, \forall x$ όπου a,b,c

συναρτήσεις από το $\mathbb R$ στον εαυτό του, να συμπεράνω ότι ισχύει ισοδύναμα ότι

$\displaystyle{ x^2 + \frac {b(x)}{a(x)}x+ \frac {c(x)}{a(x)} = 0}$ ;

Ασφαλώς θα συμφωνήσεις πως, ναι, μπορούμε.

Τώρα, από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ισοδύναμα

$\displaystyle{ \left (x + \frac {b(x)}{2a(x)} \right ) ^2 - \frac {b^2(x)-4a(x)c(x)}{4a^2(x)} = 0, \, ~ (1)}$

Και πάλι θα συμφωνήσεις πως, ναι, μπορούμε.

Αν τώρα $b^2(x)-4a(x)c(x) <0, \, ~ \forall x$ είναι αλήθεια ότι συμπεραίνουμε πως η εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς;

Ασφαλώς θα συμφωνήσεις πως ναι, είναι σωστό αυτό.

Αν αντιθέτως είχαμε $b^2(x)-4a(x)c(x) \ge 0 \, ~ \forall x$ (για οικονομία συμβόλων ας συμβολίσω με D(x)

την ποσότητα αυτή και ας την ονομάσω διακρίνουσα), είναι ή δεν είναι αλήθεια ότι η (1)

δίνει

$\displaystyle{ \left (x + \frac {b(x)}{2a(x)} - \frac {\sqrt {D(x)}}{2a(x)} \right ) \left (x + \frac {b(x)}{2a(x)} + \frac {\sqrt {D(x)}}{2a(x)} \right ) =0}$

Και πάλι η απάντηση είναι, ναι.

Έπεται τώρα ότι $x= \frac {b(x)+\sqrt {D(x)}}{2a(x)}$ ή $x= \frac {b(x)-\sqrt {D(x)}}{2a(x)} ,\, (*)$

ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΘΑ ΣΥΜΦΩΝΗΣΕΙΣ πως ΝΑΙ, σωστό και αυτό.

Οπότε φίλε Γιώργο, ρωτάω

α) Είναι σωστά αυτά που γράφω; Παρακαλώ η απάντησή σου να είναι μονολεκτική, γιατί στα Μαθηματικά δεν έχει διφορούμενες απαντήσεις. Αλλιώς, ας μου υποδείξεις το σφάλμα μου και θα ζητήσω ταπεινά συγνώμη.

β) Πού μπήκε η παράμετρος ή συνάρτηση ή ακατανόμαστη ή όπως αλλιώς θέλεις πες την;

Η δική μου απάντηση στο β) είναι ότι ΠΟΥΘΕΝΑ ΔΕΝ ΜΠΗΚΕ η ονοματολογία. Το τελικό συμπέρασμα (*)

είναι σωστό γιατί κάναμε πράξεις μέσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και μάλιστα απολύτως μέσα στα σχολικά πλαίσια (η απόδειξη μιμείται βήμα προς βήμα την σχολική). Το καθοριστικό θέμα στα Μαθηματικά για να αποφασίζουμε αν είναι σωστός ένας συλλογισμός δεν είναι η ονοματολογία και τα semantics. Είναι το περιεχόμενο.

Ελπίζω με αυτά να εξήγησα επαρκώς γιατί στην αρχή του μηνύματός μου έγραψα ότι μπερδεύεις τα πράγματα χωρίς λόγο. Αν ξεφύγεις από την ονοματολογία και διαπιστώσεις ότι το ερώτημα δεν είναι αν εργαζόμαστε με παράμετρο ή συνάρτηση ή ακατανόμαστη όπως θέλεις πες την, αλλά με Μαθηματικά, ίσως αντιληφθείς τι θέλω να πω.

Δεν έχω άλλα επιχειρήματα να σε πείσω ότι οι ισοδυναμίες που γράφω παραπάνω είναι σωστές και ότι η χρήση διακρίνουσας είναι ορθή (ανεξάρτητα από παραμέτρους ή όπως αλλιώς λέγονται).

Τέλος, δεν θα επανέλθω στο θέμα γιατί κουράστηκα να γράφω κοινοτυπίες.

Ειδικά, δεν θα απαντήσω στα υπόλοιπα στοιχεία του μηνύματός σου για να υποδείξω που είναι τα, κατά την ταπεινή μου γνώμη, σφάλματα στον συλλογισμό σου. Ο λόγος που περιορίζω τον διάλογο είναι γιατί θέλω να επενδύσω τον χρόνο μου πιο παραγωγικά. Τσακώνω τον εαυτό μου να παρ' ασχολούμαι με μία απλή κοινοτυπία και δεν μπορώ να πείσω όλους για πράγματα ιδιαίτερα απλά. Όσοι δεν τα βλέπουν παρά την φιλότιμη προσπάθειά μου, ας θεωρηθεί είτε αποτυχία μου είτε εφαρμογή του αρχαίου ρητού, Ου παντός ες Κόρινθον πλειν.

Φιλικά,

Μιχάλης

#49

Καλησπέρα σας!

Πραγματικά το μόνο που εύχομαι κι ελπίζω είναι να μη τεθεί κάποιο θέμα του χρόνου στις Πανελλαδικές εξετάσεις που να αντιμετωπίζεται (και) με τον τρόπο που υπερασπιζόμαστε εδώ.

Αλλιώς, δε μπορεί, κάποιος θα μας κάνει φάρσα!

Tόσες αναλύσεις και τόσες αναλύσεις για κάτι τόσο απλό!

Πραγματικά το εύχομαι!

Φιλικά,

Αχιλλέας

Υ.Γ. Κάποτε εξηγούσα στους συμφοιτητές μου και τους καθηγητές στην Αμερική ότι τέθηκε λανθασμένο θέμα στις Πανελλαδικές (το 2003) και με κοιτούσαν σαν εξωγήινο. Αναρωτιέμαι τι θα έλεγαν οι καθηγητές εκεί αν τους έλεγα με τι ασχολούμαστε τώρα!

S.E.Louridas · #50

Αχιλλέα δεν ασχολούμαστε για μας, αλλά επειδή οι Μαθητές παρακολουθούν και τους δίνουμε κακά επιχειρήματα για να ασχοληθούν με τα Μαθηματικά. Ας φανταστούμε ότι κάποιοι από αυτούς πιθανόν να σκέφτονται κατά το δοκούν: Μακριά από τα Μαθηματικά και τα μαγικά τους, εδώ δεν μπορούν να συνεννοηθούν οι Μαθηματικοί για κάτι που μας μαθαίνουν στην Α' Λυκείου και έχουν την απαίτηση από εμάς; Προσωπικά με εκπλήσσει αρνητικότατα αυτή η εμμονή σε μία περίπτωση που πρόκειται για εφαρμογή μεθοδολογίας ρουτίνας. Έχω προτείνει οι συνάδελφοι που βλέπουν να υπάρχει πρόβλημα να το φέρουν ως εισήγηση στο εφετινό συνέδριο της ΕΜΕ. Ας μου επιτραπεί να αναφέρω ότι δύο συνάδελφοι Μαθηματικοί εδώ στην περιοχή μου στη Δυτική Αττική που τα παιδιά τους το έλυσαν με την μέθοδο της διακρίνοντας ψάχνουν να βρουν νομικό τρόπο να δουν αν μονάδες που έχασαν οφείλονται στο σημείο αυτό.

ghan · #51

Mihalis_Lambrou έγραψε:Φίλε Γιώργο, χαιρετίσματα.

Αυτά που γράφεις δεν απαντούν στο ερώτημα, και μάλλον μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο (βλέπε παρακάτω).

Για παράδειγμα, ας μείνουμε στο παραπάνω.

Το ερώτημα ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ αν το είναι παράμετρος ή συνάρτηση ή ότι άλλο θέλεις ας το ονομάσεις.

Φιλικά,

Μιχάλης

Αγαπητέ Μιχάλη.

Αυτά που γράφεις, τα έχω γράψει ακριβώς έτσι στο Facebook (16/6/2015). Γιατί λοιπόν ρωτάς αν συμφωνώ; Δεν ήταν όμως αυτό το θέμα μας. Το θέμα μας ήταν αν κατά την εύρεση του συνόλου τιμών το $\displaystyle{y}$ είναι παράμετρος ή συνάρτηση. Ίσως εγώ δεν κατάφερα να καταστήσω σαφές (καθ’ ότι αδέξιος κωπηλάτης) ότι με τη σχέση $\displaystyle{{{b}^{2}}(x)-4a(x)\cdot c(x)\ge 0}$ , όπου $\displaystyle{a(x)=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1},\,\,\,b(x)=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}-5,\,\,\,c(x)=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}}$ δεν είναι δυνατόν να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f(x)=\frac{5x}{{{x}^{2}}+x+1}$ . Αυτό (με βάση τον ορισμό) γίνεται με τον τρόπο που ακολουθεί και το Σχολικό βιβλίο, βρίσκοντας την παράμετρο $\displaystyle{y}$ τελικά στο $\displaystyle{\left[ -\frac{13}{7},\,\,1 \right)}$ . Απορώ πως επικαλέστηκες αυτό το παράδειγμα υπέρ της άποψής σου. Προκειμένου να γίνει σαφέστατο αυτό που θέλω να πω, ρώτησα αν $\displaystyle{y\in B=\left\{ 1,-2,2 \right\}}$ σημαίνει ότι το $\displaystyle{y}$ είναι αριθμός (παράμετρος) ή συνάρτηση και αντί γι’ αυτό μου απάντησες με όσα είχα αναφέρει στις 16/6/2015. Ισχυρίζεσαι μάλιστα, περιέργως, ότι πλέον το πρόβλημα ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ αν το $\displaystyle{y}$ είναι παράμετρος ή συνάρτηση, ενώ ακριβώς αυτή ήταν η ένστασή σου.

Δεν θα επανέλθω και εγώ για να μην κουράζω άλλο τους αναγνώστες και να μην καταχρώμαι του χρόνου σου.

Ευχαριστώ πολύ,

Γιώργος Τασσόπουλος

#52

S.E.Louridas έγραψε:Αχιλλέα δεν ασχολούμαστε για μας, αλλά επειδή οι Μαθητές παρακολουθούν και τους δίνουμε κακά επιχειρήματα για να ασχοληθούν με τα Μαθηματικά. ....

Καλησπέρα, Σωτήρη!

I know, I know

Νομίζω ότι το έκανα φανερό σε προηγούμενες τοποθετήσεις κι από τη μεριά μου, αλλιώς θα το αφήναμε να περάσει έτσι...

Edit: Το θλιβερό είναι ότι κάποιοι υπερασπίζονται τις διαπροσωπικές και επαγγελματικές τους σχέσεις και τις σχέσεις φιλίας, κι όχι τη μαθηματική λογική και αλήθεια. Τι να κάνουμε; Είμαστε μικρή χώρα! Αλλά είναι θλιβερό!

Anyway....

Φιλικά,

Αχιλλέας

#53

achilleas έγραψε:...Το θλιβερό είναι ότι κάποιοι υπερασπίζονται τις διαπροσωπικές και επαγγελματικές τους σχέσεις και τις σχέσεις φιλίας, κι όχι τη μαθηματική λογική και αλήθεια. Τι να κάνουμε; Είμαστε μικρή χώρα! Αλλά είναι θλιβερό!
...

Σε Ανατολή και Δύση είναι γνωστό ότι αν έχουμε ένα τύπο που ισχύει τότε τις "μεταβλητές" του μπορούμε να αντικαταστήσουμε οτιδήποτε αρκεί ο τύπος να έχει νόημα. Αποτελεί ουσιώδες χαρακτηριστικό των Μαθηματικών. Καήκαμε αν πρέπει να αποδεικνύουμε τον τύπο σε κάθε ειδική περίπτωση που χρειαζόμαστε. Αυτό το απλό πράγμα αμφισβητήθηκε (με ό,τι συνέπειες είχε αυτή η αμφισβήτηση) κυρίως για δύο λόγους:
1) Η διακαής επιθυμία να επιμηκυνθεί εκείνο το διαολεμένο κατά Warhol 15λεπτό.
2) Γιατί ο στίχος του Σαββόπουλου περί ιστορίας που γράφουν οι παρέες εξακολουθεί να είναι αληθινός αν το "ιστορία" αντιακατασταθεί με άλλο ουσιαστικό.
Μαυρογιάννης

#54

ghan έγραψε: Αυτά που γράφεις, τα έχω γράψει ακριβώς έτσι στο Facebook (16/6/2015). Γιατί λοιπόν ρωτάς αν συμφωνώ;

Γιώργο, χαίρομαι ιδιαίτερα για το παραπάνω.

Τόσο καιρό πάρα πολλοί (Αλέξανδρος, Αναστάσης, Αχιλλέας, Γιώργος, Δημήτρης, Θάνος, Νίκος, Σωτήρης, Χρήστος κ.α.) έκαναν φιλότιμες προσπάθειες να πείσουν για το αυτονόητο τεκμηριώνοντας επιστημονικά και μέσα στα σχολικά πλαίσια ότι η χρήση διακρίνουσας είναι επιτρεπτή σε τριώνυμα με μεταβλητούς πραγματικούς συντελεστές. Αυτό έλεγα και εγώ παραπάνω. Χαίρομαι που διαπιστώνω ότι τώρα συμφωνείς και εσύ.

Όπως και να είναι, η γνώμη αυτή έρχεται σε απευθείας σύγκρουση με το

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Αγαπητοί συντονιστές.
Δηλαδή, επιμένετε ότι στις περσινές Πανελλήνιες Εξετάσεις στο 4o θέμα Θετικής Κατεύθυνσης μπορούσαν οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν τον τύπο της διακρίνoυσας, όταν οι συντελεστές α, β και γ είναι συναρτήσεις του x.

στο οποίο είχα απαντήσει το 2011

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ναι, επιμένω.

Ο καθένας ας επιλέξει ποιο θεωρεί σωστό. Αναφαίρετο δικαίωμά του.

Για το ιστορικό της υπόθεσης βλέπε εδώ αλλά και σε διάφορα άλλα σημεία του φόρουμ μας.

Πάντως ο ίδιος ανακουφίστηκα γιατί παράλληλα άκουσα (ελπίζω η πληροφορία μου να είναι εσφαλμένη) ότι κάποιοι είχαν δώσει εντολή σε Βαθμολογικά Κέντρα να κόβεται μία μονάδα από μαθητές που χρησιμοποίησαν στις απαντήσεις τους αυτό που πολλοί, εμού συμπεριλαμβανομένου, ισχυρίζονται ότι είναι σωστή και αυτονόητη μέθοδος.

Μ.

(Επανήλθα στο θέμα γιατί δεν αναφέρθηκα σε Μαθηματικά. Αυτά τα είπα σε προηγούμενα ποστ.)

Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Re: Επιστροφή στα Seventies

Μέλη σε σύνδεση