Τα αυτονόητα!

#1

Καλησπέρα σε όλους.

Ο Μιχάλης ΕΔΩ κάνει τον εξής συλλογισμό:

(...) Το τελικό συμπέρασμα είναι σωστό γιατί κάναμε πράξεις μέσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και μάλιστα απολύτως μέσα στα σχολικά πλαίσια. Το καθοριστικό θέμα στα Μαθηματικά για να αποφασίζουμε αν είναι σωστός ένας συλλογισμός είναι το περιεχόμενο (...)

Στην ανακοίνωση των Δ.Μ. του

γράψαμε:
(...) Είναι αυτονόητο, και αποτελεί βασική μαθηματική πρακτική, ότι οι μαθητές μπορούν στην θέση των εμφανιζόμενων συμβόλων-αριθμών να αντικαθιστούν οποιουσδήποτε άλλους αριθμούς ή συναρτήσεις χωρίς καμία επεξήγηση (...) Άρα σε εξετάσεις ένας μαθητής νομιμοποιείται να γράψει τα παραπάνω παρά το γεγονός ότι δεν υπάρχουν αυτούσια στα σχολικά του βιβλία (...).

Η μαθηματική ορθότητα της μεθόδου της διακρίνουσας στην περίπτωση των μεταβλητών συντελεστών, δεν μπορεί να αμφισβητηθεί, παρά τα ειρωνικά σχόλια που γράφτηκαν περί πιστοποίησης της εγκυρότητάς τους μέσω ψηφισμάτων, ανακοινώσεων, διαταγμάτων, (παραδόξως ξεχάστηκε η αναφορά σε απόδειξη, έλλειψη αντιπαραδείγματος και διεθνή βιβλιογραφία).

Για να μην μείνει ίχνος ομίχλης, θα ήθελα να στρέψουμε τη συζήτηση σ' αυτό το πλαίσιο:
Χρειάζεται, άραγε, απόδειξη η μέθοδος, αφού δεν υπάρχει σε σχολικό βιβλίο;

Αν ΝΑΙ, τότε, με ποια λογική η παραπάνω μέθοδος χρειάζεται απόδειξη, ενώ η ισοδυναμία π.χ. $a\left( x \right) \cdot b\left( x \right) = c\left( x \right)\;\; \wedge \;\;a\left( x \right) \ne 0\;\; \Leftrightarrow \;\;\;b\left( x \right) = \frac{{c\left( x \right)}}{{a\left( x \right)}}$ δεν χρειάζεται, εφόσον ούτε κι αυτή υπάρχει ατόφια σε σχολικό βιβλίο;

Επίσης, σε άπειρες ασκήσεις, εφαρμόζουμε Αντιμεταθετική ιδιότητα σε πράξεις Συναρτήσεων; Άραγε, πρέπει να την αποδεικνύουμε;

Αναζητώντας κι άλλες πράξεις και μετασχηματισμούς, που χρησιμοποιούνται αναπόδεικτα ως προφανή θυμήθηκα το εξής από την εποχή των Δεσμών:

Η μέθοδος της ορίζουσας για την επίλυση γραμμικών συστημάτων αναφέρεται στα σχολικά βιβλία μόνο στην περίπτωση όπου οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Δεν έχω βρει ούτε ίχνος αναφοράς σχετικής πρότασης σε σχολικό (ή και άλλο βιβλίο) που να επεκτείνει τη μέθοδο όταν εμπλέκονται συναρτήσεις. Κι όμως, λύναμε με τη μέθοδο των οριζουσών τέτοια συστήματα, όπως π.χ. το παρακάτω σύστημα για το οποίο οι συναρτήσεις ορίζονται στο

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {a_1}\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {b_1}\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = {c_1}\left( x \right)\\ {a_2}\left( x \right) \cdot f\left( x \right) + {b_2}\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = {c_2}\left( x \right) \end{array} \right.,\;\;{a_1}\left( x \right) \cdot {b_2}\left( x \right) \ne {a_2}\left( x \right) \cdot {b_1}\left( x \right)$

Θυμάται κανείς στη δεκαετία 1991-2000 να είχαν εκφραστεί αντιρρήσεις στην παραπάνω μέθοδο;
Έχει κανείς πρόχειρο παράδειγμα από τη βιβλιογραφία των Δεσμών;

Θα ήθελα τις γνώμες σας κι άλλα παραδείγματα.

#2

Γιώργο δεν χρειάζεται τη γνώμη κανενός το αυτονόητο.

Εγώ στη τάξη έλυνα πάντα ένα σύστημα μιγαδικών. Μπορείτε να φανταστείτε πως!!!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θα έπρεπε ο μαθητής να κάνει την ίδια απόδειξη της Α΄ Λυκείου για να την χρησιμοποιήσει, επειδή η γνωστή απόδειξη αφορά πραγματικούς;

#3

Καλησπέρα Γιώργο, μου θύμισες την ορίζουσα Wronski.

Μετά από όλα αυτά ο Wronski ίσως πρέπει να ψάξει περισσότερο. Ορίζουσα με μεταβλητές παραστάσεις;

Σίλης · #4

Να πώ την αμαρτία μου, καθότι το φόρουμ έχει σαφή εκπαιδευτικό προσανατολισμό, θα περίμενα να πάρει τροπή η κουβέντα προς το πώς θα «έπρεπε» να παρουσιάζεται το θέμα της γενικευμένης διακρίνουσας στην τάξη: τί ακριβώς αλλάζει και πρέπει να προσέχουμε σε σχέση με την απλή περίπτωση οπου οι συντελεστές είναι σταθερές; να συνοψιστούν παραδείγματα χρήσης, κατελπίδαν με κάποια κατηγοριοποίηση, και λοιπά. Να συνταχτεί στην τελική ένα μαθηματικό κείμενο, με στεγνό, απρόσωπο ύφος, που θα μπορούσε δηλαδή να στέκει ώς «εφαρμογή» ή εκτενέστερη ενότητα εντός σχολικού βιβλίου. Έχει τα φόντα η κοινότητα του φόρουμ να αναλάβει κάτι τέτοιο;

Γιατι νομίζω οτι θα ήταν πολύ-πολύ προτιμότερο αντί για την ανακοίνωση που γράψατε ως «μαθεμάτικα», η οποία ούτε απρόσωπα γραμμένη είναι, ούτε και διδακτική, παρα αντιμετωπίζει το ζήτημα ώς αυτονόητο. Για πολλούς, οπωσδήποτε, δέν είναι όμως. Εννοώ πολλούς μαθητές, η τελοσπάντων άπειρους με τη σχολική άλγεβρα, γιατι κατα τ' άλλα, είναι φανερό οτι όλοι όσοι έχουν εκφέρει γνώμη εδωμέσα συμφωνούν στα μαθηματικά της υπόθεσης, αλλα δέν είναι ίσως εξίσου φανερό οτι αυτό στο οποίο κάποιοι διαφωνούν είναι στη διδακτική του προσέγγιση.

#5

Σίλης έγραψε:(...) Να συνταχτεί στην τελική ένα μαθηματικό κείμενο, με στεγνό, απρόσωπο ύφος, που θα μπορούσε δηλαδή να στέκει ώς «εφαρμογή» ή εκτενέστερη ενότητα εντός σχολικού βιβλίου. Έχει τα φόντα η κοινότητα του φόρουμ να αναλάβει κάτι τέτοιο; (...)

Αυτό να το πάρουμε ως απλή προτροπή ή πραγματικά υπάρχουν αμφιβολίες για το αν έχει τα φόντα η κοινότητα;

Νομίζω ότι η τεκμηρίωση, μεταξύ των άλλων, του Μιχάλη, στην παραπομπή, ΕΔΩ το ξεκαθαρίζει σε βάθος.

Εμένα μού αρκεί και αυτό που γράφει ο Νίκος Μαυρογιάννης:
Σε Ανατολή και Δύση είναι γνωστό ότι αν έχουμε ένα τύπο που ισχύει τότε τις "μεταβλητές" του μπορούμε να αντικαταστήσουμε οτιδήποτε αρκεί ο τύπος να έχει νόημα. Αποτελεί ουσιώδες χαρακτηριστικό των Μαθηματικών. Καήκαμε αν πρέπει να αποδεικνύουμε τον τύπο σε κάθε ειδική περίπτωση που χρειαζόμαστε.

Επίσης τα παραδείγματα που σε διάφορες αναρτήσεις συζητήσαμε (επίκαιρη εξίσωση, επιστροφή στα seventies, νέα κατηγορία ασκήσεων, παλιά κατηγορία ασκήσεων...) νομίζω ότι υπερκαλύπτουν τη "διδακτική τους προσέγγιση". Όποιος έχει την όρεξη και την υπομονή ας τα ταξινομήσει. Ευπρόσδεκτο θα είναι!

Τέλος πάντων. Για άλλο πράγμα ήθελα να γράψω. Ανακάλυψα κάτι πάνω στο θέμα που έλεγα! Πάνε 20 περίπου χρόνια, αλλά κάτι θυμόμουν!

Άσκηση:

Αν οι συναρτήσεις f, g

ορίζονται στο

και οι συναρτήσεις $f\left( x \right) \cdot \eta \mu x + g\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x,\;\;f\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x- g\left( x \right) \cdot \eta \mu x$ είναι συνεχείς στο

, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f, g

είναι συνεχείς στο

.

Μέρες παίδευα το μυαλό μου να θυμηθώ που την είχα συναντήσει. Θα υποκλιθώ ταπεινά σ' όποιον θυμηθεί ή ανακαλύψει την πηγή της (εκτός του δημιουργού της, εννοείται

).

edit: Έκανα μια διόρθωση στους τύπους! Ευχαριστώ τον Μιχάλη Λάμπρου για την άμεση παρέμβαση.

Σίλης · #6

Αυτό να το πάρουμε ως απλή προτροπή ή πραγματικά υπάρχουν αμφιβολίες για το αν έχει τα φόντα η κοινότητα;

Κάτι ανάμεσα. Όπου «τα φόντα» διάβαζε «την διάθεση», όχι βέβαια «το νόου χάου».

Είναι μέν προτροπή γιατί προσωπικά διστάζω να βάλω κάτι τέτοιο μπρός, μου λείπει το νόου χάου (τελευταία φορά που δίδαξα σε παιδιά τέτοιων ηλικιών στην ελλάδα, ήταν πρίν καμιά δεκατριάρα χρόνια, κι' όχι οτι το έκανα για πολλά χρόνια), οπότε κάνω την ομολογουμένως ποταπή κίνηση να σας πετάξω το μπαλάκι. Απ' την άλλη, ναί, είναι ειλικρινής μου απορία άν γενικώς υπάρχει η διάθεση μές στο φόρουμ για τέτοιου τύπου συνεργασία (συ-συγγραφή), για διδακτικούς λόγους --και ειδικά για το συγκεκριμένο θέμα που έχει προκαλέσει μαθηματικές παρεξηγήσεις. Δέν έχω δεί κάτι τέτοιο ώς τα τώρα, εξού και η απορία. Βλέπω κατα κανόνα νήματα με μαθηματικά αποτελέσματα (οπου απλά θέτονται και λύνονται ασκήσεις δηλαδή), αλλα νήματα γιά την μαθηματική πρακτική (που να θεματοποιούν δηλαδή τη μαθηματική μεθοδολογία, να εξηγούν την ευρετική πίσω απ' αυτό που μοιάζει τέχνασμα, να συγκρίνουν ταξινομικά κατηγορίες παραπλήσιων ασκήσεων) πολύ λιγότερο συχνά.

Θυμάμαι στα χρόνια μου τέτοιες σημειώσεις να κυκλοφορούν χέρι με χέρι σε φωτοτυπίες, γραμμένες απο φροντιστές (για Θεσσαλονίκη αρχές Ενενήντα μιλάω), που έτειναν προς αυτό: προς μία εμβάθυνση --όχι μόνο πλάτυνση!-- του σχολικού ασκησεολόγιου. Κάτι τέτοια --που εναγνοία ή ενγνώσει των συγγραφέων, μοιραία διέρρεαν πέρ' απ' το εκάστοτε φροντιστήριο-- ήτανε φυσικά χρυσάφι για τους μαθητές και μαθήτριες με παραπάνω ενδιαφέρον για το αντικείμενο. Δέν θα ήτανε περίεργο λοιπόν εδωμέσα, σε ένα φόρουμ τόσο πήχτρα στους εκπαιδευτικούς, οι ζυμώσεις να επέτρεπαν μία συνεργασία τέτοιου ύφους σε μεγαλύτερη κλίμακα. Υπάρχει ασφαλώς στο φόρουμ πολύ-πολύ υλικό, αυτό το έχω δεί. Αλλα δέν έχω δεί τόσο να συνθέτεται αυτό το υλικό.

Ή μήπως ρε παιδιά υπάρχει απλά κάποιος «φάκελος» στο φόρουμ οπου μαζεύετε τέτοια πράματα, και απο στραβομάρα τον έχω χάσει;...

#7

Σίλης έγραψε: Όπου «τα φόντα» διάβαζε «την διάθεση», όχι βέβαια «το νόου χάου».

Θα το κάνω, όπως άλλωστε υποσχέθηκα σε άλλο ποστ, γιατί ακόμα(!) υπάρχουν μερικοί που είτε νομίζουν ότι η μέθοδος της διακρίνουσας δεν εφαρμόζεται είτε ότι για τα σχολικά πλαίσια χρειάζεται τεκμηρίωση (αφού -νομίζουν- ότι το σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται επαρκώς στο θέμα).

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Άσκηση:

Αν οι συναρτήσεις ορίζονται στο και οι συναρτήσεις $f\left( x \right) \cdot \eta \mu x + g\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x,\;\;f\left( x \right) \cdot \sigma \upsilon \nu x- g\left( x \right) \cdot \eta \mu x$ είναι συνεχείς στο , να δείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο .

Χάριν πληρότητας ας δούμε μία λύση: Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε την πρώτη επί ημίτονο και την δεύτερη επί συνημίτονο και λοιπά και λοιπά. Θα γράψω όμως μία λύση (με ορίζουσα) που αυτήν ασφαλώς εννοεί ο Γιώργος, η οποία είναι πιο οικονομική στην γραφή της. Στην πραγματικότητα πρόκειται για την ίδια λύση αφού η απόδειξη του τύπου της ορίζουσας που θα χρησιμοποιήσω ακολουθεί απαράλλακτα την ίδια μέθοδο. Αλλά ακριβώς εδώ είναι και η ουσία: Στα Μαθηματικά όταν έχουμε αποδείξει κάτι, μπορούμε να το χρησιμοποιούμε. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του τριωνύμου, μπορούμε να χρησιμοποιούμε την μέθοδο της διακρίνουσας χωρίς να κάνουμε φτου και από την αρχή την συμπλήρωση τετραγώνου, κάθε φορά που την χρειαζόμαστε. Θα επανέλθω σε αυτό το σημείο όταν γράψω το ποστ που υποσχέθηκα.

Πίσω στο πρόβλημά μας.

Θέτουμε $f\left( x \right) \sin x + g\left( x \right)\cos x = F(x), \;\;f\left( x \right) \cos x - g\left( x \right) \sin x, \, ~ (*)$ , οι οποίες εξ υποθέσεως είναι συνεχείς.

Για κάθε πραγματικό

βλέπουμε τις (*)

ως σύστημα ως προς f(x), g(x)

. Έχει ορίζουσα $\begin{vmatrix} \sin x& \cos x \\ \cos x & -\sin x \end{vmatrix} = -1 \ne 0$

οπότε

$f(x) = \frac {\begin{vmatrix} F( x) & \cos x \\ G(x) & -\sin x \end{vmatrix} }{-1} = F(x) \sin x + G(x) \cos x$

και όμοια για την

. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι οι f,g

είναι συνεχείς.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αλλά ακριβώς εδώ είναι και η ουσία: Στα Μαθηματικά όταν έχουμε αποδείξει κάτι, μπορούμε να το χρησιμοποιούμε. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του τριωνύμου, μπορούμε να χρησιμοποιούμε την μέθοδο της διακρίνουσας χωρίς να κάνουμε φτου και από την αρχή την συμπλήρωση τετραγώνου, κάθε φορά που την χρειαζόμαστε.

Καλησπέρα σε όλους!

Ακριβώς αυτό εννοούσα αναρτώντας αυτό το παράδειγμα από το βιβλίο του Νίκου Ζανταρίδη "Γενικά Θέματα Μαθηματικών 4ης Δέσμης, Εκδ. Γκατζούλη, 1997, σελ. 92.

Ο Νίκος το λύνει με την ίδια μέθοδο με τον Μιχάλη.

Τα αυτονόητα!

Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Re: Τα αυτονόητα!

Μέλη σε σύνδεση